Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=(\sqrt{2}{)}^2+3^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 3\cdot \cos 135^{\circ }$. Vì $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $B{C}^2=2+9-2\cdot \sqrt{2}\cdot 3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=11+6=17$. Vậy $BC=\sqrt{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $A=30^{\circ }$, $C=100^{\circ }$ nên $B=180^{\circ }-30^{\circ }-100^{\circ }=50^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 100^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,9848}{0,7660}\approx 64,28$. Vậy chọn D. (Các đáp án ghi $AC$ nhưng thực chất là độ dài cạnh $AB$ cần tính.)

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi tam giác $p=12$ nên nửa chu vi $p_{half}=6$. Đường kính đường tròn nội tiếp bằng 1 nên bán kính $r=\frac{1}{2}$. Diện tích tam giác theo công thức $S=p_{half}\cdot r=6\cdot \frac{1}{2}=3$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1012: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ nên $\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $AB<BC$ nên góc $C$ nhọn, suy ra $\hat{C}=45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: H(0,0), A(0,4), B(20,0), cây mọc thẳng đứng tại B nên C có hoành độ 20.
a) Tam giác AHB vuông tại H: S = ½·AH·HB = ½·4·20 = 40 m². Đúng.
b) AB = √(4²+20²) = 4√26 ≈ 20,396. Nếu góc ACB = 45° thì tam giác ABC có góc A = góc C = 45° nên góc B = 90°, khi đó AC là cạnh huyền: AC = AB/sin45° = 4√26·√2 = 8√13 ≈ 28,84 m ≠ 10 m. Sai.
c) AB = 4√26 ≈ 20,396; cos(góc ABC) = (BA·BC)/(|BA||BC|). Với tọa độ C(20, 17,33): BA = (−20,4), BC = (0,17,33), cos B = 4/20,396 ≈ 0,1961 → B ≈ 78,69° ≈ 78°41'. Đúng.
d) AB tạo với phương ngang góc arctan(4/20) ≈ 11,31° (hướng xuống dưới); vì góc BAC = 45° nên AC tạo với phương ngang góc 45° − 11,31° = 33,69°. Từ A(0,4): 20 = AC·cos33,69° → AC ≈ 24,037; chiều cao cây BC = 4 + 24,037·sin33,69° ≈ 4 + 13,33 = 17,33 m. Đúng.
Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng — khớp đáp án mã 1011 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·4·20 = 40 m².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu góc ACB = 45° thì góc B = 90°, AC = 8√13 ≈ 28,84 m ≠ 10 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos B = 4/(4√26) ≈ 0,1961 → B ≈ 78,69° ≈ 78°41'.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC ≈ 24,037, BC = 4 + AC·sin33,69° ≈ 17,33 m.

(AI giải đề cho tôi)
Đường kính đường tròn nội tiếp bằng 1 nên bán kính $r=\frac{1}{2}$. Nửa chu vi tam giác là $p=\frac{24}{2}=12$. Diện tích tam giác tính theo công thức $S=p\cdot r=12\cdot \frac{1}{2}=6$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1011: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ nên $\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{5\cdot \sin 60^{\circ }}{5\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$. Vì $BC=5\sqrt{3}>AB=5$ nên góc $C$ nhỏ hơn góc $A=60^{\circ }$, do đó $\hat{C}=30^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=31$, nên $a=\sqrt{31}$. Đúng. b) $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{31}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{93}}{3}\approx 3,22$, không phải $\frac{2\sqrt{93}}{3}\approx 6,44$. Sai. c) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}$. Đúng. d) Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{93}}{62}$. Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 232: Đ-S-Đ-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos 60^{\circ }=31\Rightarrow a=\sqrt{31}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{93}}{3}$, khác $\frac{2\sqrt{93}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{93}}{62}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3+16-7}{2\cdot \sqrt{3}\cdot 4}=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\hat{A}=30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 232, Câu 2: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos \hat{C}=3+4-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }=7-4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=7+6=13$. Vậy $AB=\sqrt{13}$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=7$, nên $BC=\sqrt{7}$ (a đúng, b đúng). Với định lí sin: $\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\approx 0,6547$, suy ra $B\approx 40,9^0\approx 41^0$ (làm tròn đến hàng đơn vị), không phải $40^0$ (c sai). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ne 3\sqrt{3}$ (d sai). Kết quả khớp bảng đáp án chính thức DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^0=7\Rightarrow BC=\sqrt{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lí cosin trong tam giác ABC.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{2\sin 60^0}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\approx 0,6547\Rightarrow B\approx 40,9^0\approx 41^0$, không phải $40^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin 60^0=\frac{3\sqrt{3}}{2}$, không bằng $3\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 90 phút (1,5 giờ): máy bay thứ nhất đi $OA=640\cdot 1,5=960$ km theo hướng đông; máy bay thứ hai đi $OB=850\cdot 1,5=1275$ km theo hướng lệch bắc $30^{\circ }$ về phía đông. Góc giữa hai hướng bay bằng $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=960^2+1275^2-2\cdot 960\cdot 1275\cdot \cos 60^{\circ }=921600+1625625-1224000=1323225$, nên $AB=\sqrt{1323225}\approx 1150,3$ km. Làm tròn đến hàng đơn vị: $1150$ km, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R$. Suy ra đường kính $2R=\frac{6}{\sin 120^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin tại đỉnh B: $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$. Suy ra $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{12^2+7^2-16^2}{2\cdot 12\cdot 7}=\frac{144+49-256}{168}=\frac{-63}{168}=-0,375$. Làm tròn đến hàng phần chục: $\cos B\approx -0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp: $S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{r(a+b+c)}{2}=pr$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi. Vậy đáp án A đúng. Các phương án B, C, D sai (C, D nhầm với công thức $S=\frac{abc}{4R}$ với bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Chu vi = 8+9+10 = 27 cm nên nửa chu vi p = 13,5 cm → a đúng. Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (64+81−100)/144 = 45/144 = 0,3125, suy ra A ≈ 71,79° ≈ 72° → b đúng. sin A = √(1−0,3125²) ≈ 0,9499, diện tích S = ½·AB·AC·sin A ≈ ½·8·9·0,9499 ≈ 34,20 cm² ≠ 35,08 cm² → c sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/(2 sin A) ≈ 10/(2·0,9499) ≈ 5,26 cm ≠ 6,13 cm → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi tam giác là 8+9+10 = 27 cm, nên nửa chu vi p = 27/2 = 13,5 cm. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (8²+9²−10²)/(2·8·9) = 45/144 = 0,3125, nên A ≈ 71,79° ≈ 72° (làm tròn đến độ). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin A = √(1−0,3125²) ≈ 0,9499, S = ½·8·9·0,9499 ≈ 34,20 cm², không phải 35,08 cm². Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2 sin A) ≈ 10/(2·0,9499) ≈ 5,26 cm, không phải 6,13 cm. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $\hat{C}=180^{\circ }-44^{\circ }-46^{\circ }=90^{\circ }$, tam giác vuông tại $C$. Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ nên $c=\frac{6\cdot \sin 90^{\circ }}{\sin 44^{\circ }}=\frac{6}{\sin 44^{\circ }}\approx \frac{6}{0,6947}\approx 8,638\approx 8,6$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \sin A=10\sin A=5\sqrt{3}$, suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $\hat{A}>90^{\circ }$ nên $A=120^{\circ }$, do đó $\cos A=-\frac{1}{2}$. (a) Đúng; (b) Đúng. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+16-2\cdot 5\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=41+20=61$, nên $BC=\sqrt{61}\ne \sqrt{62}$, (c) Sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{61}{3}}\approx 4,51\ne \sqrt{20}\approx 4,47$, (d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$10\sin A=5\sqrt{3}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A>90^{\circ }$ và $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $A=120^{\circ }$, $\cos A=-\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+16+20=61\Rightarrow BC=\sqrt{61}\ne \sqrt{62}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{\sqrt{61}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{61}{3}}\ne \sqrt{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+64-36}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{53}{80}=0,6625$, suy ra $A\approx 48^{\circ }31^{\prime }$. Nửa chu vi $p=\frac{6+5+8}{2}=9,5$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9,5\cdot 3,5\cdot 4,5\cdot 1,5}=\sqrt{\frac{3591}{16}}=\frac{\sqrt{3591}}{4}\approx 14,98$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{3591}}{38}\approx 1,58$.