Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$, suy ra $\hat{A}=60^{\circ }$.

Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$.

Đường cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx 4,95$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với góc $\hat{C}=60^{\circ }$, $CA=200$ m, $CB=180$ m:
$$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos 60^{\circ }=200^2+180^2-2\cdot 200\cdot 180\cdot \frac{1}{2}$$
$$=40000+32400-36000=36400$$
Suy ra $AB=\sqrt{36400}=20\sqrt{91}\approx 190,79$ (m).
Vậy khoảng cách $AB$ bằng $20\sqrt{91}\approx 190,79$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6:

a) Với $a=7,b=8,c=6$: nửa chu vi $p=\frac{7+8+6}{2}=\frac{21}{2}$.

Theo công thức Heron:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{21}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{6615}{16}}=\frac{21\sqrt{15}}{4}.$$

Chiều cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot \frac{21\sqrt{15}}{4}}{7}=\frac{3\sqrt{15}}{2}.$

b) Với $b=7,c=5,\cos A=\frac{3}{5}$ (vì $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$):
$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14.$$

Theo định lí cosin:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}.$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$

Nửa chu vi $p=\frac{4\sqrt{2}+7+5}{2}=6+2\sqrt{2}$, bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{36-8}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{28}=3-\sqrt{2}.$$

Vậy $S=\frac{21\sqrt{15}}{4}$, $h_a=\frac{3\sqrt{15}}{2}$; và $S=14$, $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $r=3-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi: $p=\frac{21+17+10}{2}=24$.

a) Diện tích theo công thức Heron:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84.$$
Chiều cao $h_a$: $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8$.

b) Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=\frac{7}{2}=3,5.$$
Trung tuyến $m_a$ (từ đỉnh A xuống cạnh BC=a):
$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 17^2+2\cdot 10^2-21^2}=\frac{1}{2}\sqrt{578+200-441}=\frac{\sqrt{337}}{2}.$$
Vậy $S=84$, $h_a=8$, $r=3,5$, $m_a=\frac{\sqrt{337}}{2}\approx 9,18$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: a) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{13^2+15^2-12^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{169+225-144}{390}=\frac{250}{390}=\frac{25}{39}$. Vậy $A=\arccos \frac{25}{39}\approx 50,2^{\circ }$. b) Với $AB=c=5$, $AC=b=8$, $\hat{A}=60^{\circ }$, định lí cosin cho: $B{C}^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, suy ra $BC=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=64+100-80=84$. Suy ra $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có các cạnh 7, 9, 12. Nửa chu vi: $p=\frac{7+9+12}{2}=14$ → a) đúng. Diện tích theo Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{980}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$ → b) sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{50}\ne \frac{7\sqrt{5}}{10}$ → c) sai. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{14\sqrt{5}}{14}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$ → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{7+9+12}{2}=14$
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{50}\ne \frac{7\sqrt{5}}{10}$
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $a=3,b=4,c=5$ (cm). Nửa chu vi $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=6$ (cm), nên ý a) $p=12$ cm là SAI. b) Công thức Heron $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ là ĐÚNG. c) $S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-1)}=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6(c{m}^2)$, ĐÚNG (thực tế tam giác vuông tại $A$ vì $3^2+4^2=5^2$, diện tích $=\frac{3\cdot 4}{2}=6$). d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\frac{60}{24}=2,5$ (cm) $\ne 3,5$ cm, nên ý d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{3+4+5}{2}=6$ (cm), không phải 12 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây đúng là công thức Heron tính diện tích tam giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6(c{m}^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{60}{24}=2,5$ (cm) $\ne 3,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<A<\pi$ và $\cos A=\frac{3}{5}>0$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ → a) đúng. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$ → b) đúng. Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, suy ra $a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$ → c) sai. Nửa chu vi $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4\sqrt{2}+12}{2}=6+2\sqrt{2}$, bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{36-8}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$ → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<A<\pi$ và $\cos A=\frac{3}{5}>0$ nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$p=6+2\sqrt{2}$, $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$. Suy ra $b=7$. Vậy đáp án A.

Áp dụng định lý cosin có: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB.BC.\cos \widehat{ABC}=819\Rightarrow AC\approx 29$. Kết quả: 29

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos 30^{\circ }=300+400-2\cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=700-600=100\Rightarrow AB=10$ (ý a đúng). Định lí sin: $\frac{\sin A}{BC}=\frac{\sin C}{AB}\Rightarrow \sin A=\frac{20\cdot \frac{1}{2}}{10}=1\Rightarrow A=90^{\circ }$, suy ra $B=60^{\circ }$ (ý b sai). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=50\sqrt{3}$ (ý c đúng). Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$, $C^{\prime }=45^{\circ }$ nên cân, cạnh huyền $B^{\prime }{C}^{\prime }=50\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{50}{\sqrt{2}}=25\sqrt{2}$, $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(25\sqrt{2}{)}^2=625$. Tỉ số $\frac{S_{ABC}}{S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{50\sqrt{3}}{625}=\frac{2\sqrt{3}}{25}\ne \frac{2\sqrt{2}}{25}$ (ý d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^2=300+400-600=100\Rightarrow AB=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=1\Rightarrow A=90^{\circ }\Rightarrow B=60^{\circ }\ne 90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=50\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=625$, tỉ số $=\frac{2\sqrt{3}}{25}\ne \frac{2\sqrt{2}}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+36-64}{60}=\frac{-3}{60}=-0,05$. Suy ra $A=\arccos (-0,05)\approx 92,9^{\circ }\approx 93^{\circ }$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=(7+9+12)/2=14$ nên a đúng. Diện tích theo Heron: $S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{980}=14\sqrt{5}$, nên b sai ($13\sqrt{5}$ sai). Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{10}$, nên c sai. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=S/p=14\sqrt{5}/14=\sqrt{5}$, nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=(7+9+12)/2=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=abc/(4S)=756/(56\sqrt{5})=27\sqrt{5}/10\ne 7\sqrt{5}/10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=S/p=14\sqrt{5}/14=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-40=49\Rightarrow BC=7$. Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Đường cao từ $A$: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{20\sqrt{3}}{7}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: AB = 60 m, góc A = 85°, góc B = 45° nên góc C = 180° - 85° - 45° = 50°. Theo định lí sin: BC/sin A = AB/sin C, suy ra BC = 60·sin85°/sin50° ≈ 60·0,9962/0,7660 ≈ 78,03 ≈ 78 m. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 4 = 78).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{A}=85^{\circ }$, $\hat{B}=45^{\circ }$ nên $\hat{C}=180^{\circ }-85^{\circ }-45^{\circ }=50^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 50^{\circ }}=\frac{60}{\sin 50^{\circ }}$. Suy ra $AC=\frac{60\sin 45^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{60\cdot 0,7071}{0,7660}\approx 55,4\approx 55$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4: 55).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=100+256-160=196\Rightarrow AC=14$ (b đúng). $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{100+196-256}{280}=\frac{1}{7}$ (a đúng). $\cos C=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2\cdot BC\cdot AC}=\frac{256+196-100}{448}=\frac{11}{14}$. Khi đó $T=3\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{7}+\frac{11}{14}=\frac{21-4+11}{14}=2\ne 3$ (c sai). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{100+196-256}{280}=\frac{1}{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=10^2+16^2-2\cdot 10\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }=196\Rightarrow AC=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $\cos B=\frac{1}{2},\cos A=\frac{1}{7},\cos C=\frac{11}{14}$ ta được $T=\frac{3}{2}-\frac{2}{7}+\frac{11}{14}=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$.