Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sau 15 giây: flycam thứ nhất đi được $OA=8\cdot 15=120$ m, flycam thứ hai đi được $OB=6\cdot 15=90$ m, hai đoạn thẳng tạo với nhau góc $\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 120^{\circ }=120^2+90^2-2\cdot 120\cdot 90\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=14400+8100+10800=33300.$$ Suy ra $AB=\sqrt{33300}\approx 182,483$ m. Vậy sau 15 giây hai flycam cách nhau khoảng $182,5$ m (làm tròn đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=11^2+35^2-2\cdot 11\cdot 35\cdot \cos 60^{\circ }=121+1225-385=961$, nên $BC=\sqrt{961}=31$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 7+15+20 = 42 nên nửa chu vi p = 21 (a đúng). Theo định lí cosin: cos C = (AC²+BC²−AB²)/(2·AC·BC) = (225+49−400)/210 = −126/210 = −3/5, nên d sai. sin C = 4/5, diện tích S = ½·AC·BC·sin C = ½·15·7·4/5 = 42 (b đúng). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB/(2 sin C) = 20/(2·4/5) = 25/2 ≠ 25/4, nên c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 7+15+20 = 42, nửa chu vi = 21.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos C = −3/5 nên sin C = 4/5; S = ½·15·7·(4/5) = 42.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/(2 sin C) = 20/(8/5) = 25/2, không phải 25/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos C = (15²+7²−20²)/(2·15·7) = −126/210 = −3/5 (âm vì góc C tù).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, người thứ nhất đi được OA = 4·2 = 8 km, người thứ hai đi được OB = 5·2 = 10 km. Hai con đường tạo góc AOB = 120°. Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB: AB² = OA² + OB² − 2·OA·OB·cos120° = 8² + 10² − 2·8·10·(−1/2) = 64 + 100 + 80 = 244. Vậy AB = √244 ≈ 15,6205 ≈ 15,6 km. Sau 2 giờ hai người cách nhau khoảng 15,6 km.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=7^2+15^2-2\cdot 7\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ }=49+225-210\cdot \frac{1}{2}=274-105=169$. Suy ra $BC=13$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 9+10+17=36 nên nửa chu vi p=18 (đúng). Diện tích theo Heron: S=√(18·9·8·1)=√1296=36 (đúng). Bán kính ngoại tiếp R=abc/(4S)=9·10·17/144=1530/144=85/8 ≠ 85/4 (sai). cosC=(BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC)=(81+100−289)/180=−108/180=−3/5 (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 9+10+17=36, nửa chu vi p=36/2=18.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(p(p−a)(p−b)(p−c))=√(18·9·8·1)=√1296=36.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=9·10·17/(4·36)=1530/144=85/8, không phải 85/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosC=(BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC)=(81+100−289)/180=−108/180=−3/5.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 30 phút (0,5 giờ), máy bay thứ nhất đi được $OA=600\cdot 0,5=300$ km, máy bay thứ hai đi được $OB=500\cdot 0,5=250$ km, với $\widehat{AOB}=60^{\circ }$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }=300^2+250^2-2\cdot 300\cdot 250\cdot \frac{1}{2}=90000+62500-75000=77500.$$ Suy ra $AB=\sqrt{77500}\approx 278,388$ km, làm tròn đến hàng phần mười ta được $AB\approx 278,4$ km. Vậy sau 30 phút hai máy bay cách nhau khoảng $278,4$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=10^2+16^2-2\cdot 10\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }=100+256-160=196$. Suy ra $BC=\sqrt{196}=14$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{18}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{18}{2\cdot \frac{1}{2}}=18$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi $=11+13+20=44$ nên nửa chu vi $p=22$ (a đúng).

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{400+121-169}{440}=\frac{352}{440}=\frac{4}{5}$, nên $\sin B=\frac{3}{5}$.
Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 11\cdot \frac{3}{5}=66\ne 132$ (b sai).

$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{13}{2\cdot \frac{3}{5}}=\frac{65}{6}$ (c đúng).

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{169+121-400}{286}=\frac{-110}{286}=-\frac{5}{13}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi $=44$, nửa chu vi $=22$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{4}{5}$, $\sin B=\frac{3}{5}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 11\cdot \frac{3}{5}=66\ne 132$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{13}{6/5}=\frac{65}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{169+121-400}{286}=-\frac{5}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 giờ 30 phút (1,5 giờ): thuyền thứ nhất đi được $OA=18\cdot 1,5=27$ km, thuyền thứ hai đi được $OB=24\cdot 1,5=36$ km. Hai hướng tạo góc $\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Theo định lí cosin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 120^{\circ }=27^2+36^2-2\cdot 27\cdot 36\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=729+1296+972=2997.$$ Vậy $AB=\sqrt{2997}\approx 54,\mathrm{744...}\approx 54,7$ km. Kết luận: sau 1 giờ 30 phút hai thuyền cách nhau khoảng $54,7$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-40=49$, nên $BC=7$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Nửa chu vi: $p=\frac{5+8+7}{2}=10$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos A=\frac{3}{5}>0$ nên góc $A$ là góc nhọn (a sai). Với $A\in (0^{\circ };180^{\circ })$: $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}>0$ (c sai vì $\sin A$ không thể âm). Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$ (b đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$, đường cao từ $A$: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{3}{5}>0$ với $A\in (0^{\circ };180^{\circ })$ suy ra $A$ là góc nhọn, không phải góc tù.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ là góc nhọn nên $\sin A=+\frac{4}{5}>0$, không thể bằng $-\frac{4}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=14\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=c=4$, $BC=a=7$, $AC=b=9$.
a) Định lý cơ bản của lượng giác: với mọi góc $A$ đều có ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ → đúng.
b) Theo định lý cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$ → đúng.
c) $\sin A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{21}{2\sqrt{5}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}$ → đúng.
d) Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=6\sqrt{5}\approx 13,42\ne 180$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hằng đẳng thức lượng giác ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ đúng với mọi góc $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $\cos A=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=6\sqrt{5}\approx 13,42$, không bằng $180$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=10$, $BC=6$, $\hat{B}=60^{\circ }$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=136-120\cdot \frac{1}{2}=136-60=76$. Suy ra $AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=c=7, AC=b=8, BC=a=9. Theo định lí cosin: cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (64+49−81)/(2·8·7) = 32/112 = 2/7, nên a) đúng. Khi đó sin A = √(1−4/49) = 3√5/7. Diện tích S = ½·AB·AC·sin A = ½·7·8·(3√5/7) = 12√5, nên b) sai (24√5). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a/(2 sin A) = 9/(2·3√5/7) = 21/(2√5) = 21√5/10 ≈ 4,70 ≠ √5, nên c) sai. Đường cao ứng với cạnh BC: h_a = 2S/a = 2·12√5/9 = 8√5/3, nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (49+64−81)/112 = 32/112 = 2/7.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = 3√5/7 nên S = ½·7·8·3√5/7 = 12√5 ≠ 24√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2 sin A) = 9/(6√5/7) = 21√5/10 ≈ 4,70 ≠ √5.
d) (AI giải đề cho tôi)
h = 2S/BC = 24√5/9 = 8√5/3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC với CA = 60 m, CB = 100 m, góc ACB = 120°:
$$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos 120^{\circ }=60^2+100^2-2\cdot 60\cdot 100\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$=3600+10000+6000=19600$$
Suy ra $AB=\sqrt{19600}=140$ (m).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là $AB=140$ m.

a) đúng. b) sai. c) sai. d) sai.

Đặt $a=BC=15$, $b=CA=12$, $c=AB=10$.
a) Cạnh $BC$ lớn nhất nên góc $A$ lớn nhất. $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{144+100-225}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{19}{240}>0$$ nên góc $A$ nhọn. Do đó tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Đúng.
b) $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2\cdot 144+2\cdot 100-225}{4}=\frac{263}{4}$, suy ra $AM=\frac{\sqrt{263}}{2}$. Sai.
c) Chu vi tam giác $ABC$ là $15+12+10=37$. Đúng.
d) Theo ý A, $\cos A=\frac{19}{240}\ne \frac{19}{24}$. Sai.
a) Cạnh $BC$ lớn nhất nên góc $A$ lớn nhất.
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{144+100-225}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{19}{240}>0$$ nên góc $A$ nhọn.
Do đó tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Đúng.
b) $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2\cdot 144+2\cdot 100-225}{4}=\frac{263}{4}$, suy ra $AM=\frac{\sqrt{263}}{2}$. Sai.
c) Chu vi tam giác $ABC$ là $15+12+10=37$. Đúng.
d) Theo ý A, $\cos A=\frac{19}{240}\ne \frac{19}{24}$. Sai.

a) Đúng. Biết hai cạnh $b$, $c$ và góc xen giữa $\hat{A}$ nên áp dụng trực tiếp định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.

b) Sai. Định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

c) Sai. Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$.

d) Đúng. Ta có $a^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$, suy ra $a=7$.

Khi đó $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
a) Đúng. Biết hai cạnh $b$, $c$ và góc xen giữa $\hat{A}$ nên áp dụng trực tiếp định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
b) Sai. Định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
c) Sai. Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$.
d) Đúng. Ta có $a^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$, suy ra $a=7$.

Khi đó $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.