Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Đáp án mã đề 132, câu 13: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng (SĐĐĐ).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=BC=12, b=AC=9, c=AB=7, p=(12+9+7)/2=14.
a) Theo định lí cosin: cos C = (a²+b²−c²)/(2ab) = (144+81−49)/216 = 176/216 = 22/27 ≈ 0,815, nên C ≈ 35,4° ≠ 45°. Sai.
b) Công thức Heron đúng là S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)); biểu thức đề thiếu thừa số p nên sai.
c) S = √(14·2·5·7) = √980 = 14√5 ≈ 31,3 ≠ 13√5. Sai.
d) Định lí cosin tại A: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (b²+c²−a²)/(2bc). Đúng.
Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos C = (a²+b²−c²)/(2ab) = (144+81−49)/216 = 22/27 ≈ 0,815 nên C ≈ 35,4° ≠ 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Heron đúng là S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)); biểu thức trong đề thiếu thừa số p.
c) (AI giải đề cho tôi)
p = 14, S = √(14·2·5·7) = √980 = 14√5 ≈ 31,3 ≠ 13√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại A: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC), đúng như phát biểu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, nên $AC=\frac{BC\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{6}\approx 9,798\approx 9,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9,8).

Gọi CH là chiều cao của ngọn núi.
Trong $△ABC,\hat{C}=30^0$; $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow BC=\frac{70.\sin 120^0}{\sin 30^0}=70\sqrt{3}$ (0,5)

Trong $△BHC$: $CH=BC.\sin B=70\sqrt{3}.\sin 60^0=105(m)$
Vậy chiều cao của ngọn núi là 105 m. (0,5)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos 105^{\circ }$. Vì $\cos 105^{\circ }\approx -0,2588$ nên $B{C}^2\approx 74+70\cdot 0,2588=92,116$, suy ra $BC\approx 9,60(cm)$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng theo định lí cosin: $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. B sai vì hệ thức lượng trong tam giác là $\frac{a}{\sin A}=2R$, tức $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng theo công thức Heron. D đúng theo công thức diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C$. Vậy phát biểu sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{64+9-49}{2\cdot 8\cdot 3}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\hat{B}=60^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: công thức diện tích $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin \hat{B}$ là công thức chuẩn. b) Sai: tính $A{C}^2=B{A}^2+B{C}^2-2\cdot BA\cdot BC\cdot \cos 45^{\circ }=36+32-48=20\Rightarrow AC=2\sqrt{5}$. Theo định lí sin, $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{5}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{10}\ne 2\sqrt{10}$. c) Đúng: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 24\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12$. d) Sai: $AC=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 114: 1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin \hat{B}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC=2\sqrt{5}$, nên $R=\frac{AC}{2\sin 45^{\circ }}=\sqrt{10}\ne 2\sqrt{10}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=36+32-2\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\Rightarrow AC=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: $r=\frac{S}{p}$ với $p$ là nửa chu vi. Ở đây $S=20\sqrt{3}$, chu vi bằng 20 nên $p=10$. Suy ra $r=\frac{20\sqrt{3}}{10}=2\sqrt{3}\approx 3,\mathrm{4641...}\approx 3,5$ (làm tròn đến hàng phần mười). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5 (bảng đáp án, Mã đề 114, Phần III câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác MNP: $\frac{MN}{\sin P}=\frac{MP}{\sin N}=\frac{NP}{\sin M}=2R$, trong đó cạnh $MN$ đối diện góc $P$, cạnh $MP$ đối diện góc $N$, cạnh $NP$ đối diện góc $M$.
- Từ $\frac{MN}{\sin P}=\frac{MP}{\sin N}$ suy ra $MN=\frac{MP.\sin P}{\sin N}$: đúng → chọn A.
- B sai vì $\sin N=\frac{MP.\sin M}{NP}$ (không phải $\sin P$).
- C sai vì $\sin P=\frac{MN.\sin M}{NP}$ (không phải $\sin N$).
- D sai vì $MP=\frac{NP.\sin N}{\sin M}$ (không phải $\sin P$).
Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 114, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: AB = 40m, góc B = 32°, góc A = 68°, nên góc C = 180° - 68° - 32° = 80°. Theo định lý sin: BC/sin A = AB/sin C, suy ra BC = 40·sin 68°/sin 80° ≈ 40·0,9272/0,9848 ≈ 37,7m. Vậy khoảng cách giữa hòn đảo và gốc cây gần nhất là 37,7m, khớp với đáp án A (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức diện tích tam giác $S=p\cdot r$ với $p$ là nửa chu vi. Ta có $p=\frac{12}{2}=6$ và $S=12$, suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{12}{6}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 113, câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC với góc A: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 113, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 3 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=20\cdot 3=60$ km, tàu thứ hai đi được $AC=30\cdot 3=90$ km, góc $\angle BAC=60°$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60°=3600+8100-2\cdot 60\cdot 90\cdot \frac{1}{2}=11700-5400=6300$. Vậy $BC=\sqrt{6300}=30\sqrt{7}$ km. Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin 45^{\circ }}=\frac{12}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\approx 8,49$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 8,49.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 45^{\circ }}=\frac{10}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7,07$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,07.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Theo định lý sin, $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$, không phải $R$.
b) Đúng. Đây là định lý cosin: $A{C}^2=B{A}^2+B{C}^2-2\cdot BA\cdot BC\cdot \cos B$.
c) Đúng. Công thức diện tích: $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin B$.
d) Đúng. $A{C}^2=10^2+12^2-2\cdot 10\cdot 12\cdot \cos 60^{\circ }=100+144-120=124\Rightarrow AC=\sqrt{124}$. Khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin cho $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$, nên khẳng định $=R$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lý cosin áp dụng cho góc $B$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo công thức diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}ab\sin C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=100+144-2\cdot 10\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=124\Rightarrow AC=\sqrt{124}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 30^{\circ }=64+100-160\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=164-80\sqrt{3}\approx 164-138,56=25,44$. Suy ra $AC\approx \sqrt{25,44}\approx 5,04\approx 5$ cm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $\hat{B}=60^{\circ }$, $AB=5$, $BC=8$: $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-80\cdot \frac{1}{2}=49.$$ Suy ra $AC=\sqrt{49}=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: 7).