Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Gọi đường kính của nửa hình tròn là $x(cm)(x>0)$. Độ dài cạnh bên của hình chữ nhật là $\sqrt{66^2-x^2}$.

Diện tích nửa hình tròn là $\frac{\pi x^2}{8}$. Diện tích hình chữ nhật là $x\sqrt{66^2-x^2}$. Theo giả thiết ta có:

$$\frac{\pi x^2}{8}=0,3.x.\sqrt{66^2-x^2}$$

$$\Rightarrow 5\pi x=12\sqrt{66^2-x^2}\Rightarrow x^2=\frac{627264}{25{\pi }^2+144}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{627264}{25{\pi }^2+144}}$$

Vậy chiều cao của cột mốc là $\sqrt{66^2-x^2}+\frac{x}{2}\approx 72,5cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tính độ dài đoạn thẳng $AD$ rồi nhân với thời gian đi mỗi km.

Bước 1: Trong tam giác $BCD$, áp dụng định lí cosin:
$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos \widehat{BCD}=10^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot \cos 145^{\circ }$$
$$=164+160\cos 35^{\circ }\approx 164+131,064=295,064\Rightarrow BD\approx 17,177\text{ km}.$$

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong tam giác $BCD$:
$$\frac{\sin \widehat{CBD}}{CD}=\frac{\sin \widehat{BCD}}{BD}\Rightarrow \sin \widehat{CBD}=\frac{8\sin 145^{\circ }}{17,177}\approx 0,2671\Rightarrow \widehat{CBD}\approx 15,49^{\circ }.$$

Bước 3: Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}-\widehat{CBD}\approx 101^{\circ }-15,49^{\circ }=85,51^{\circ }$.

Bước 4: Trong tam giác $ABD$, định lí cosin:
$$A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos \widehat{ABD}$$
$$\approx 144+295,064-2\cdot 12\cdot 17,177\cdot \cos 85,51^{\circ }\approx 439,064-32,27=406,79$$
$$\Rightarrow AD\approx 20,17\text{ km}.$$

Bước 5: Cứ 1 km mất 5 phút nên thời gian đi hết đoạn $AD$ là:
$$20,17\times 5\approx 100,85\text{ phuˊt}\approx 1,68\text{ giờ}\approx 1\text{ giờ }41\text{ phuˊt}.$$

Vậy người đó mất khoảng $1,68$ giờ (khoảng 1 giờ 41 phút) để đi hết đoạn đường $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả thiết hình học: $P,Q$ nằm cùng phía so với đoạn $AB$, cùng phương ngắm, nên góc ở $A$ giữa tia $AB$ và tia ngắm bằng góc nâng, góc ở $B$ giữa tia $BA$ và tia ngắm bằng góc nâng từ $B$.

a) Vì tia ngắm từ $A$ tới $P$ tạo với phương nằm ngang góc $60^{\circ }$ nên $\widehat{BAP}=60^{\circ }$. Trong tam giác $ABP$: $\widehat{ABP}=40^{\circ }$ (tia $BP$ nghiêng lên $40^{\circ }$ so với mặt đất về phía $A$), suy ra $\widehat{APB}=180^{\circ }-60^{\circ }-40^{\circ }=80^{\circ }$. Theo định lý sin:
$$BP=\frac{AB\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}=\frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{0,8660}{0,9848}\approx 0,8794\text{km}.$$

b) Tương tự với $Q$: $\widehat{BAQ}=35^{\circ }$, $\widehat{ABQ}=25^{\circ }$ nên $\widehat{AQB}=120^{\circ }$ và
$$BQ=\frac{AB\cdot \sin 35^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{0,5736}{0,8660}\approx 0,6623\text{km}.$$

Vì $P,Q$ cùng phía và được ngắm từ $B$ với các góc nâng $40^{\circ }$ và $25^{\circ }$ theo cùng phương nên $\widehat{PBQ}=40^{\circ }-25^{\circ }=15^{\circ }$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $PBQ$:
$$P{Q}^2=B{P}^2+B{Q}^2-2\cdot BP\cdot BQ\cdot \cos 15^{\circ }$$
$$\approx 0,7733+0,4386-2(0,8794)(0,6623)(0,9659)\approx 1,2119-1,1253=0,0866.$$
Vậy $PQ\approx \sqrt{0,0866}\approx 0,2943\approx 0,29\text{km}$.

Kiểm tra độ cao: từ $A$, chiều cao $P$ là $AP\sin 60^{\circ }$ với $AP=\frac{\sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx 0,6527$, cho $h_P\approx 0,5653$; từ $B$: $0,8794\sin 40^{\circ }\approx 0,5653$ — khớp. Tương tự $Q$: $h_Q\approx 0,2799$ từ cả hai vị trí — khớp, dữ kiện nhất quán.

Đáp số: a) $\widehat{BAP}=60^{\circ }$, $BP\approx 0,88\text{km}$; b) $PQ\approx 0,29\text{km}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cũ đi qua B, C có độ dài $AB+BC+CD=12+9+15=36$ km.

Trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 135^{\circ }=144+81-216\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=225+108\sqrt{2}\approx 377,74$, nên $AC\approx 19,435$ km.

Trong tam giác $ACD$ với $\hat{D}=45^{\circ }$, $CD=15$: theo định lí cosin
$$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos 45^{\circ }$$
$$377,74=x^2+225-15\sqrt{2}x\Rightarrow x^2-21,213x-152,74=0.$$
Giải phương trình (lấy nghiệm dương): $x=\frac{21,213+\sqrt{21,213^2+4\cdot 152,74}}{2}\approx \frac{21,213+32,57}{2}\approx 26,89$ km.

Kiểm tra lại: góc $\widehat{ACD}\approx 154^{\circ }$, tổng các góc tứ giác $135^{\circ }+45^{\circ }+25,9^{\circ }+154,1^{\circ }=360^{\circ }$, thỏa mãn.

Độ dài giảm được: $36-26,89\approx 9,1$ km.

Chuyển giả thiết về quan hệ giữa các góc: Theo định lí sin, $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Giả thiết trở thành $$\sin A\cos B+\sin A\cos C=\sin B+\sin C.$$ Biến đổi vế phải: Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $B=180^{\circ }-(A+C)$ và $C=180^{\circ }-(A+B)$, do đó $$\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C,\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B.$$ Thay vào đẳng thức trên và rút gọn: $$\cos A(\sin B+\sin C)=0.$$ Xác định góc $A$: Vì $B,C$ là các góc của một tam giác nên $\sin B>0$, $\sin C>0$, suy ra $\sin B+\sin C>0$. Do đó $\cos A=0$, tức là $A=90^{\circ }$. Xác định góc $B$: Khi đó $\cos (A-B)=\cos (90^{\circ }-B)=\sin B=\frac{1}{2}$. Vì $A=90^{\circ }$ nên $0^{\circ }<B<90^{\circ }$, suy ra $B=30^{\circ }$. Đáp số: $B=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là đỉnh cây (nơi gãy), $A$ là gốc cây, $B$ là ngọn cây đã ngã. Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=76^{\circ }$, $\hat{B}=35^{\circ }$, nên $\hat{C}=180^{\circ }-76^{\circ }-35^{\circ }=69^{\circ }$, và $AB=6m$.

Theo định lí sin:
$$\frac{AC}{\sin 35^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 76^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 69^{\circ }}=\frac{6}{\sin 69^{\circ }}$$

Suy ra:
$$AC=\frac{6\sin 35^{\circ }}{\sin 69^{\circ }}\approx \frac{6\cdot 0,5736}{0,9336}\approx 3,69(m)$$
$$BC=\frac{6\sin 76^{\circ }}{\sin 69^{\circ }}\approx \frac{6\cdot 0,9703}{0,9336}\approx 6,24(m)$$

Chiều cao cây trước khi gãy bằng tổng hai đoạn thân $AC+BC$:
$$AC+BC\approx 3,69+6,24=9,92(m)$$

Vậy chiều dài của cây trước khi bị gãy xấp xỉ $9,92m$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B,C$ thẳng hàng với $A$ nằm giữa $C$ và $B$ (theo hình vẽ), đặt $AC=x$, thì $BC=x+24$. Trong tam giác vuông $ACD$: $h=x\tan 63^{\circ }$. Trong tam giác vuông $BCD$: $h=(x+24)\tan 48^{\circ }$. Suy ra $\frac{h}{\tan 63^{\circ }}+24=\frac{h}{\tan 48^{\circ }}$, tức $h\left(\frac{1}{\tan 48^{\circ }}-\frac{1}{\tan 63^{\circ }}\right)=24$. Với $\tan 48^{\circ }\approx 1,1106$, $\tan 63^{\circ }\approx 1,9626$: $h\left(0,9004-0,5095\right)=24\Rightarrow h\approx \frac{24}{0,3909}\approx 61,4$ m. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=BC=9$, $b=AC=6$, $c=AB$, $\cos A=\frac{1}{3}$.

a) Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow 81=36+c^2-4c\Rightarrow c^2-4c-45=0\Rightarrow c=9$ (nhận, $c=-5$ loại). Vậy $AB=9\ne 8$ → sai.

b) $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=18\sqrt{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{9\cdot 6\cdot 9}{72\sqrt{2}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, nên $S_{ht}=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$ → sai.

c) Độ dài trung tuyến $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{72+162-81}{4}=\frac{153}{4}$, $BM=\frac{9}{2}$. Trong tam giác $AMB$: $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot BM}=\frac{\frac{153}{4}+\frac{81}{4}-81}{2\cdot \frac{\sqrt{153}}{2}\cdot \frac{9}{2}}=-\frac{5}{\sqrt{153}}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,405\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$ → sai.

d) Nửa chu vi $p=\frac{9+6+9}{2}=12$, $r=\frac{S}{p}=\frac{18\sqrt{2}}{12}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, nên $S_{nt}=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $81=36+c^2-4c\Rightarrow c^2-4c-45=0\Rightarrow c=9$. Vậy $AB=9\ne 8$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S=18\sqrt{2}$, $R=\frac{abc}{4S}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, $S_{ht}=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$, khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$A{M}^2=\frac{153}{4}$, $BM=\frac{9}{2}$, $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot BM}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,405\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$, khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$p=12$, $r=\frac{S}{p}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $S_{nt}=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{64+36-100}{96}=0\Rightarrow A=90^{\circ }$. Độ dài phân giác trong góc $A$: $l_A=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}=\frac{2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }}{14}=\frac{96\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{14}=\frac{24\sqrt{2}}{7}\approx 4,85m$. Vậy độ dài đường phân giác trong góc $A$ xấp xỉ $4,85m$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, nên $a=4\sqrt{2}$.

Vì $\cos A=\frac{3}{5}$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.

Nửa chu vi: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4\sqrt{2}+12}{2}=6+2\sqrt{2}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{36-8}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{28}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}$.

Vậy $r=3-\sqrt{2}$ với $a=3,b=2$, do đó $a-2b=3-4=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a=BC$. Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }=b^2+c^2-bc$.
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin 60^{\circ }=\frac{bc\sqrt{3}}{4}$, đồng thời $S=\frac{1}{2}ah$, nên $h=\frac{2S}{a}=\frac{bc\sqrt{3}}{2a}$.
Vậy $h=\frac{\sqrt{3}bc}{2\sqrt{b^2+c^2-bc}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là vị trí điểm gãy trên thân cây; gốc cây tại $A$, ngọn cây (đã ngã chạm đất) tại $B$. Tam giác $ABC$ có $AB=6m$, $\hat{A}=76^{\circ }$, $\hat{B}=35^{\circ }$, suy ra $\hat{C}=180^{\circ }-76^{\circ }-35^{\circ }=69^{\circ }$.

Theo định lý sin:
$$\frac{AC}{\sin 35^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 76^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 69^{\circ }}=\frac{6}{\sin 69^{\circ }}$$

Suy ra:
$$AC=\frac{6\sin 35^{\circ }}{\sin 69^{\circ }}\approx \frac{6\cdot 0,5736}{0,9336}\approx 3,69m$$
$$BC=\frac{6\sin 76^{\circ }}{\sin 69^{\circ }}\approx \frac{6\cdot 0,9703}{0,9336}\approx 6,24m$$

Chiều dài cây trước khi gãy bằng tổng hai đoạn thân: $AC+BC\approx 3,69+6,24\approx 9,92m$.

Vậy chiều dài của cây trước khi bị gãy xấp xỉ $9,92m$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABM$: $BM=4$, đặt $AM=x$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2-2\cdot AM\cdot BM\cdot \cos AMB$ nên $9=x^2+16-8x\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}$, tức $x^2-\frac{20\sqrt{13}}{13}x+7=0$. Giải được $x=\sqrt{13}$ hoặc $x=\frac{7\sqrt{13}}{13}\approx 1,93$. Vì $AM>3$ nên $AM=\sqrt{13}$.

Vì $\cos AMC=-\cos AMB=-\frac{5\sqrt{13}}{26}$, áp dụng định lí cosin trong tam giác $AMC$ với $MC=4$: $A{C}^2=A{M}^2+M{C}^2-2\cdot AM\cdot MC\cdot \cos AMC=13+16+8\sqrt{13}\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}=29+20=49$. Vậy $AC=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$, $C$ thẳng hàng và góc ở $A$ lớn hơn ($63^{\circ }>48^{\circ }$), $A$ nằm giữa $B$ và $C$. Trong tam giác vuông $ACD$: $AC=\frac{h}{\tan 63^{\circ }}=h\cot 63^{\circ }$. Trong tam giác vuông $BCD$: $BC=h\cot 48^{\circ }$. Vì $BC=AB+AC$: $h\cot 48^{\circ }=24+h\cot 63^{\circ }$, suy ra $h=\frac{24}{\cot 48^{\circ }-\cot 63^{\circ }}=\frac{24}{0,9004-0,5095}\approx \frac{24}{0,3909}\approx 61,4$ m. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABD có AB = 4, AD = BC = 5, BD = 7. Theo định lí cosin: $\cos \widehat{BAD}=\frac{A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\frac{16+25-49}{40}=-\frac{1}{5}$. Vì $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAD}$ nên $\cos \widehat{ABC}=\frac{1}{5}$. Xét tam giác ABC theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{1}{5}=41-8=33$. Vậy $AC=\sqrt{33}\approx 5,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài giải Câu 49: Cho $a=21$cm, $b=17$cm, $c=10$cm.

a) Theo định lí cosin:
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{17^2+10^2-21^2}{2\cdot 17\cdot 10}=\frac{289+100-441}{340}=\frac{-52}{340}=-\frac{13}{85}\approx -0,1529$, nên $A\approx 98^{\circ }48^{\prime }$ (góc tù).

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{441+100-289}{420}=\frac{252}{420}=0,6$, nên $B\approx 53^{\circ }{8}^{\prime }$.

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{441+289-100}{714}=\frac{630}{714}=\frac{15}{17}$, nên $C\approx 28^{\circ }{4}^{\prime }$.

Kiểm tra: $A+B+C\approx 180^{\circ }$.

b) Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot 10\cdot \frac{84}{85}=84$ (cm²).
(Chú ý: $\sin A=\sqrt{1-{\left(-\frac{13}{85}\right)}^2}=\frac{84}{85}$. Kiểm tra bằng công thức Heron: $p=\frac{21+17+10}{2}=24$, $S=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84$ cm².)

c) Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=3,5$ cm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{21\cdot 17\cdot 10}{4\cdot 84}=\frac{3570}{336}=10,625$ cm.

d) Chiều cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho Câu 53 tồn tại ở trang 20 (tháp $BC$ trên đồi, góc $30^{\circ }$ tại $B$, góc $60^{\circ }$ tại $C$ so với phương thẳng đứng, $AH=h$ là chiều cao đồi).

Gọi $d$ là khoảng cách ngang từ $A$ đến đường thẳng đứng qua tháp, $AH=h$ là chiều cao đồi.

Từ $C$ (chân tháp, cao hơn $A$ một đoạn $h$), điểm $A$ được nhìn dưới góc $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng, nên $\tan 60^{\circ }=\frac{d}{h}\Rightarrow d=h\sqrt{3}$.

Từ $B$ (đỉnh tháp, cao hơn $A$ một đoạn $h+100$), điểm $A$ được nhìn dưới góc $30^{\circ }$ so với phương thẳng đứng, nên $\tan 30^{\circ }=\frac{d}{h+100}\Rightarrow d=\frac{h+100}{\sqrt{3}}$.

Suy ra $h\sqrt{3}=\frac{h+100}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3h=h+100\Rightarrow 2h=100\Rightarrow h=50$.

Vậy chiều cao ngọn đồi $AH=50m$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$, không phải $\sin A$.
b) Đúng. $B{C}^2=14^2+18^2-2\cdot 14\cdot 18\cdot \cos 62^{\circ }=520-504\cdot 0,4695\approx 283,39$, nên $BC\approx 16,83\approx 16,8cm$ (qui tròn đến 1/10).
c) Đúng. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{18\sin 62^{\circ }}{16,83}\approx \frac{18\cdot 0,8829}{16,83}\approx 0,9443\Rightarrow B\approx 70,79^{\circ }\approx 70^{\circ }47^{\prime }$.
d) Đúng. Chọn hệ trục $A(0;0)$, $B(14;0)$, $C(18\cos 62^{\circ };18\sin 62^{\circ })\approx (8,4505;15,8931)$. Vì $MA=MB=10$ nên $M$ nằm trên trung trực của $AB$, có hoành độ $7$ và tung độ $\sqrt{100-49}=\sqrt{51}\approx 7,1411$ (M trong tam giác). Khi đó $MC=\sqrt{(8,4505-7{)}^2+(15,8931-7,1411{)}^2}\approx \sqrt{2,104+76,598}\approx 8,87\approx 8,9cm$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin dùng $\cos A$, không phải $\sin A$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=196+324-504\cos 62^{\circ }\approx 283,39\Rightarrow BC\approx 16,83\approx 16,8cm$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{18\sin 62^{\circ }}{16,83}\approx 0,9443\Rightarrow B\approx 70,79^{\circ }\approx 70^{\circ }47^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0)$, $B(14;0)$, $C(8,4505;15,8931)$, điểm $M(7;\sqrt{51})\approx (7;7,1411)$ nên $MC\approx 8,87\approx 8,9cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin tại đỉnh B với $AB=c=9$, $AC=b=14$, $\hat{B}=60^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$196=81+B{C}^2-9BC\Rightarrow B{C}^2-9BC-115=0$$
$$BC=\frac{9+\sqrt{541}}{2}\approx 16,13(nhận,gi\acute{a}trị\hat{a}mloại).$$

Tính góc $C$ bằng định lí sin:
$$\sin C=\frac{AB\sin B}{AC}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{14}=\frac{9\sqrt{3}}{28}\approx 0,5571\Rightarrow C\approx 33^{\circ }51^{\prime }\approx 33,85^{\circ }.$$

Vì $AC>AB$ nên $C$ là góc nhọn, vậy $C=\arcsin \frac{9\sqrt{3}}{28}\approx 33,85^{\circ }$.

$$A=180^{\circ }-B-C=120^{\circ }-C\approx 86,15^{\circ }.$$

Kiểm tra bằng cosin tại $A$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{27-\sqrt{541}}{56}\approx 0,0668\Rightarrow A\approx 86,17^{\circ }$ (khớp trong sai số làm tròn).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08.$$

Diện tích:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot \frac{9+\sqrt{541}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}\left(9+\sqrt{541}\right)}{8}\approx 62,89.$$

Kết luận: $BC=\frac{9+\sqrt{541}}{2}\approx 16,13$; $A\approx 86,15^{\circ }$; $C\approx 33,85^{\circ }$; $R=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08$; $S=\frac{9\sqrt{3}(9+\sqrt{541})}{8}\approx 62,89$.