Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\widehat{DBC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABD$: $\widehat{DBC}=\widehat{BAD}+\widehat{ADB}$, suy ra $\widehat{ADB}=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$ → a) Đúng. Theo định lý sin trong tam giác $ABD$: $\frac{AD}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}$ nên $AD=80\cdot \frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=80\sqrt{3}$m, không phải $80\sqrt{2}$m → b) Sai. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\cdot \sin \widehat{DAC}=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ → c) Đúng. $CD=80\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$m, không phải $70$m → d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\widehat{DBC}$ là góc ngoài tại $B$ của tam giác $ABD$ nên $\widehat{ADB}=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Theo định lý sin, $AD=AB\cdot \frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=80\sqrt{3}$m, không phải $80\sqrt{2}$m.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\cdot \sin \widehat{DAC}=AD\cdot \sin 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $CD=80\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$m, không phải $70$m.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $ABC$ và $ACD$.

**Tam giác $ABC$:** Theo định lí cosin:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 70^{\circ }=30^2+40^2-2\cdot 30\cdot 40\cdot \cos 70^{\circ }\approx 2500-820,8=1679,2$$
Suy ra $AC\approx 40,978$ m.

Diện tích tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 70^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 40\cdot \sin 70^{\circ }\approx 563,8{\text{ m}}^2$$

**Tam giác $ACD$:** có $AC\approx 40,978$ m, $CD=25$ m, $AD=35$ m. Nửa chu vi:
$$p=\frac{40,978+25+35}{2}\approx 50,489\text{ m}$$
Theo công thức Heron:
$$S_{ACD}=\sqrt{p(p-AC)(p-CD)(p-AD)}\approx \sqrt{50,489\cdot 9,511\cdot 25,489\cdot 15,489}\approx \sqrt{189575}\approx 435,4{\text{ m}}^2$$

**Diện tích cánh đồng:**
$$S=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 563,8+435,4=999,2{\text{ m}}^2$$

Vậy diện tích cánh đồng ngô xấp xỉ $999,2{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\widehat{ABD}=180^{\circ }-\widehat{DBC}=120^{\circ }$. Trong tam giác $ABD$: $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$, nên a) sai (không phải $45^{\circ }$). Định lý sin: $\frac{AD}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}\Rightarrow AD=40\cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=40\sqrt{3}$ m, nên b) đúng. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ với $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, c) đúng. Suy ra $CD=40\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=20\sqrt{3}\approx 34,64\approx 35$ m, d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ABD}=120^{\circ }$ (kề bù với $\widehat{DBC}=60^{\circ }$), nên $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }\ne 45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=40\sqrt{3}$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$: $CD=AD\cdot \sin \widehat{DAC}=AD\cdot \sin 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=40\sqrt{3}\cdot \sin 30^{\circ }=20\sqrt{3}\approx 34,64\approx 35$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ao là ngũ giác ABCDE. Tách thành ba tam giác: ABC, ACD, ADE.

1) Tam giác ABC vuông tại B (AB ⊥ BC), AB = 20 m, BC = 48 m:
$AC=\sqrt{20^2+48^2}=\sqrt{400+2304}=\sqrt{2704}=52$ m.
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 48=480$ m².

2) Tam giác ACD vuông tại C (AC ⊥ CD), AC = 52 m, CD = 39 m:
$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 39=1014$ m².
Cạnh AD $=\sqrt{52^2+39^2}=\sqrt{2704+1521}=\sqrt{4225}=65$ m.

3) Tam giác ADE có AE = 35 m, DE = 45 m, AD = 65 m. Nửa chu vi $p=\frac{35+45+65}{2}=72,5$ m. Theo công thức Heron:
$S_{ADE}=\sqrt{72,5\cdot 37,5\cdot 27,5\cdot 7,5}=\sqrt{560742,1875}\approx 748,83$ m².

Diện tích ao:
$S=480+1014+748,83\approx 2242,83\approx 2243$ m².

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 25+29+36 = 90 nên nửa chu vi p = 45 (đúng). Theo định lí cosin: cos C = (BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC) = (625+841−1296)/(2·25·29) = 170/1450 = 17/145, nên phát biểu d (cos C = −17/145) sai. sin C = √(1−(17/145)²) = 144/145, diện tích S = ½·25·29·(144/145) = 360 (đúng). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = abc/(4S) = 25·29·36/(4·360) = 26100/1440 = 145/8 ≠ 145/4 nên phát biểu c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
p = (25+29+36)/2 = 90/2 = 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos C = 17/145 nên sin C = 144/145, S = ½·25·29·144/145 = 360.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = abc/(4S) = 25·29·36/1440 = 145/8, không phải 145/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos C = (25²+29²−36²)/(2·25·29) = 170/1450 = 17/145 > 0, không phải −17/145.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $DBC$ vuông tại $C$ có $\widehat{DBC}=45^{\circ }$ nên $\widehat{BDC}=45^{\circ }$, do đó $\widehat{ADB}=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ (a đúng). Theo định lý sin trong tam giác $ABD$: $\frac{AD}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}$, với $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ nên $AD=10\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=10(\sqrt{3}+1)$ m (b đúng). Trong tam giác vuông $ACD$, $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ chứ không phải $AD\cdot \cos 30^{\circ }$ (c sai). Chiều cao cột cờ $CD=10(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{1}{2}=5(\sqrt{3}+1)\approx 13,66\approx 14$ m (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ADB}=\widehat{DBC}-\widehat{DAC}=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ (góc ngoài tam giác $ABD$ tại $B$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\sin 45^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=10(\sqrt{3}+1)$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ với góc $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \cos 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=10(\sqrt{3}+1)\cdot \sin 30^{\circ }=5(\sqrt{3}+1)\approx 13,66\approx 14$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $ABC$ và $ACD$ theo đường chéo $AC$.

**Tam giác $ABC$:** Theo định lí cosin:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 105^{\circ }=256+196-448\cdot (-0,258819)\approx 567,951,$$
suy ra $AC\approx 23,8318$ m.

Diện tích:
$$S_1=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 14\cdot \sin 105^{\circ }=112\cdot 0,965926\approx 108,184{\text{m}}^2.$$

**Tam giác $ACD$:** có ba cạnh $AD=20$, $CD=15$, $AC\approx 23,8318$. Nửa chu vi $p=\frac{20+15+23,8318}{2}\approx 29,4159$. Theo công thức Heron:
$$S_2=\sqrt{p(p-20)(p-15)(p-23,8318)}\approx \sqrt{29,4159\cdot 9,4159\cdot 14,4159\cdot 5,5841}\approx \sqrt{22295}\approx 149,32{\text{m}}^2.$$

**Diện tích khu đất:**
$$S=S_1+S_2\approx 108,184+149,32\approx 257,5{\text{m}}^2.$$

Vậy diện tích khu đất xấp xỉ $257,5{\text{m}}^2$. Hình vẽ trong đề (trang 10) khớp với dữ kiện: $AB=16$, $BC=14$, $CD=15$, $AD=20$, góc $B=105^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $DBC$ vuông tại $C$ có $\widehat{DBC}=45^{\circ }$, nên $\widehat{BDC}=45^{\circ }$. Trong tam giác $ABD$: $\widehat{DAB}=30^{\circ }$, $\widehat{ABD}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$, suy ra $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-135^{\circ }=15^{\circ }$ → a) đúng. Theo định lý sin: $\frac{AD}{\sin 135^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}$, với $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $AD=60\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=60(\sqrt{3}+1)$ m → b) đúng. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ → c) đúng. Tính $CD=60(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{1}{2}=30(\sqrt{3}+1)\approx 81,96\approx 82$ m, không phải 81 m → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ABD}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$ nên $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-135^{\circ }=15^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{60\sin 135^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=60(\sqrt{3}+1)$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\sin 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=30(\sqrt{3}+1)\approx 81,96\approx 82$ m, không phải 81 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ao là ngũ giác ABCDE với $AB=36$, $BC=27$, $CD=24$, $DE=35$, $EA=40$ (theo hình vẽ trang 8), $AB\perp BC$, $AC\perp CD$.

1) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$:
$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{36^2+27^2}=\sqrt{2025}=45\text{m},S_{ABC}=\frac{36\cdot 27}{2}=486{\text{m}}^2.$$

2) Tam giác $ACD$ vuông tại $C$:
$$AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{45^2+24^2}=\sqrt{2601}=51\text{m},S_{ACD}=\frac{45\cdot 24}{2}=540{\text{m}}^2.$$

3) Tam giác $ADE$ có ba cạnh $AD=51$, $DE=35$, $EA=40$. Nửa chu vi $p=\frac{51+35+40}{2}=63$. Theo công thức Heron:
$$S_{ADE}=\sqrt{63(63-51)(63-35)(63-40)}=\sqrt{63\cdot 12\cdot 28\cdot 23}=\sqrt{486864}\approx 697,76{\text{m}}^2.$$

Diện tích ao:
$$S=486+540+697,76\approx 1723,76\approx 1724{\text{m}}^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $ABD$ có góc ngoài tại $B$ bằng $60^{\circ }$ nên $\widehat{ABD}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, do đó $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$ (a đúng). Theo định lý sin: $\frac{AD}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}\Rightarrow AD=24\cdot \frac{\sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=24\sqrt{3}$ m (b đúng). Trong tam giác vuông $ACD$ (vuông tại $C$), góc tại $A$ là $30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \sin 60^{\circ }$ (c sai). Chiều cao cây $CD=24\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=12\sqrt{3}\approx 20,78\approx 21$ m (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc ngoài tại $B$ bằng $60^{\circ }$ nên $\widehat{ABD}=120^{\circ }$, suy ra $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\cdot \sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=24\sqrt{3}$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có góc $A=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \sin 60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=24\sqrt{3}\cdot \sin 30^{\circ }=12\sqrt{3}\approx 20,78\approx 21$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Nối $AC$. Trong tam giác $ABC$ có $AB=10$, $BC=15$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=100+225-150=175\Rightarrow AC=5\sqrt{7}\approx 13,2288\text{m}.$$
Diện tích tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15\cdot \sin 60^{\circ }=75\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 64,9519{\text{m}}^2.$$
Trong tam giác $ADC$ có $AD=11$, $CD=9$, $A{C}^2=175$:
$$\cos \widehat{ADC}=\frac{A{D}^2+C{D}^2-A{C}^2}{2\cdot AD\cdot CD}=\frac{121+81-175}{198}=\frac{3}{22},$$
$$\sin \widehat{ADC}=\sqrt{1-\frac{9}{484}}=\frac{5\sqrt{19}}{22}.$$
Diện tích tam giác $ADC$:
$$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 9\cdot \frac{5\sqrt{19}}{22}=\frac{495\sqrt{19}}{44}\approx 49,0331{\text{m}}^2.$$
Vậy diện tích mảnh vườn:
$$S=S_{ABC}+S_{ADC}\approx 64,9519+49,0331\approx 113,985\approx 114,0{\text{m}}^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì B nằm giữa A và C, góc ngoài tại B của tam giác ABD là 120°, nên góc ABD = 180° − 60° = 120°. Tổng ba góc: góc ADB = 180° − 45° − 120° = 15° → a) đúng. Định lý sin: AD/sin120° = AB/sin15° = 20/sin15°, với sin15° = (√6−√2)/4 và sin120° = √3/2, suy ra AD = 20·(√3/2)·4/(√6−√2) = 40√3(√6+√2)/4 = 10√3(√6+√2) = 10(3√2+√6) m → b) đúng. Tam giác ACD vuông tại C với góc DAC = 45° nên CD = AD·sin45°, không phải AD·sin60° → c) sai. CD = 10(3√2+√6)·(√2/2) = 5(6+2√3) = 30+10√3 ≈ 47,32 m, làm tròn đến hàng đơn vị là 47 m → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc ABD = 180° − 60° = 120° (góc ngoài tại B), nên góc ADB = 180° − 45° − 120° = 15°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AD = AB·sin120°/sin15° = 20·(√3/2)/((√6−√2)/4) = 10(3√2+√6) m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ACD vuông tại C, góc DAC = 45°, nên CD = AD·sin45°, không phải AD·sin60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD = 10(3√2+√6)·sin45° = 30+10√3 ≈ 47,32 m ≈ 47 m.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trang 3 khớp dữ kiện: $AB=40$, $BC=30$, $CD=25$, $DE=30$, $EA=45$, với $AB\perp BC$, $AC\perp CD$. Tách ngũ giác $ABCDE$ thành ba tam giác $△ABC$, $△ACD$, $△ADE$.

1) $△ABC$ vuông tại $B$: $S_1=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 30=600{\text{m}}^2$; $AC=\sqrt{40^2+30^2}=50$ m.

2) $△ACD$ vuông tại $C$: $S_2=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 25=625{\text{m}}^2$; $AD=\sqrt{50^2+25^2}=25\sqrt{5}\approx 55,9017$ m.

3) $△ADE$ có $AE=45$, $ED=30$, $AD=25\sqrt{5}$. Tính chính xác bằng công thức Heron dạng $16S^2=2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2-a^4-b^4-c^4$ với $a=45$, $b=30$, $c^2=3125$:
$$16S_3^2=2\cdot 45^2\cdot 30^2+2\cdot 30^2\cdot 3125+2\cdot 3125\cdot 45^2-45^4-30^4-3125^2=7250000,$$
$$S_3=\sqrt{453125}\approx 673,15{\text{m}}^2.$$

Diện tích ao: $S\approx 600+625+673,15=1898,15\approx 1898{\text{m}}^2$.

Chọn D

Do $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.30.40=600m^2.$$
Gọi $x(0<x<30)$ là độ dài cạnh $AM$. Khi đó
$$S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}.AM.AN\iff 300=\frac{1}{2}x.AN\iff AN=\frac{600}{x}.$$
Độ dài đoạn $MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2}=\sqrt{x^2+\frac{600^2}{x^2}}=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $x^2=\frac{600^2}{x^2}\iff x=\sqrt[4]{600^2}=10\sqrt{6}$.
Yêu cầu bài toán là chi phí xây đoạn tường $MN$ ít nhất tương ứng với độ dài đoạn $MN$ phải ngắn nhất.
Hay đoạn tường $MN$ ngắn nhất là $20\sqrt{3}m$.
Chi phí thấp nhất để xây đoạn tường $MN$ là $T=20\sqrt{3}.1,5.0,25=\frac{15\sqrt{3}}{2}\approx 12,99$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=8, A=60°, B=75° nên C=45°. a) Theo định lý sin: BC/sin60° = AB/sin45° ⇒ BC = 8·(√3/2)/(√2/2) = 4√6. R = BC/(2sin60°) = 4√6/√3 = 4√2 ⇒ a đúng. b) C=45° nên cos C = √2/2 > 0 ⇒ b sai. c) AC = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4·√2 = 4√3+4. S = ½·AB·AC·sin60° = ½·8·(4√3+4)·(√3/2) = 24+8√3 = 8(3+√3) ≠ 8(3+√2) ⇒ c sai. d) BC = 4√6 ⇒ d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C=45°. BC = 8·sin60°/sin45° = 4√6; R = BC/(2sin60°) = 4√6/√3 = 4√2. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
C = 180°−60°−75° = 45° > 0 nên cos C = √2/2 > 0. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC = 8·sin75°/sin45° = 4√3+4; S = ½·8·(4√3+4)·sin60° = 24+8√3 = 8(3+√3), không phải 8(3+√2). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: BC = 8·sin60°/sin45° = 4√6. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là cảng Đà Nẵng, $C$ là cảng Quy Nhơn ($AC=180$ hải lý), $B$ là vị trí tàu đổi hướng sau 4 giờ.

**Tính $AB$:** Tàu chạy với tốc độ 24 hải lý/giờ trong 4 giờ nên $AB=24\cdot 4=96$ hải lý.

**a) Góc quay đầu:**
Tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=20^{\circ }$, $AB=96$, $AC=180$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 20^{\circ }=96^2+180^2-2\cdot 96\cdot 180\cdot \cos 20^{\circ }$$
$$B{C}^2\approx 9216+32400-34560\cdot 0,9397\approx 41616-32474,1\approx 9141,9$$
$$BC\approx 95,61\text{ hải lyˊ}$$

Áp dụng định lí sin:
$$\frac{\sin C}{AB}=\frac{\sin A}{BC}\Rightarrow \sin C=\frac{96\cdot \sin 20^{\circ }}{95,61}\approx \frac{96\cdot 0,3420}{95,61}\approx 0,3434\Rightarrow \widehat{ABC}\text{ (tại }C)\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 20,1^{\circ }$$

Suy ra $\widehat{ABC}=180^{\circ }-20^{\circ }-20,1^{\circ }\approx 139,9^{\circ }$.

Góc quay đầu của tàu bằng góc ngoài tại đỉnh $B$ (giữa hướng đi cũ và hướng mới):
$$180^{\circ }-\widehat{ABC}\approx 180^{\circ }-139,9^{\circ }\approx 40,1^{\circ }$$

Vậy thuyền trưởng phải quay đầu khoảng $40,1^{\circ }$ (làm tròn $40^{\circ }$).

**b) Thời gian từ khi đổi hướng đến Quy Nhơn:**
Quãng đường còn lại $BC\approx 95,61$ hải lý, tốc độ 24 hải lý/giờ:
$$t=\frac{BC}{24}\approx \frac{95,61}{24}\approx 3,98\text{ giờ}\approx 4\text{ giờ}$$

Vậy sau khoảng $3,98$ giờ (xấp xỉ 4 giờ) kể từ khi đổi hướng, tàu đến cảng Quy Nhơn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tứ giác là $ABCD$ với góc vuông tại $A$, $AB=35$ m (cạnh đứng), $AD=45$ m (cạnh đáy), $BC=20$ m (cạnh trên), $CD=52$ m (cạnh nghiêng). Nối $BD$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$:
$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{35^2+45^2}=\sqrt{3250}=5\sqrt{130}\approx 57,009\text{ m}$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 35\cdot 45=787,5{\text{ m}}^2$$

Tam giác $BCD$ có ba cạnh $BC=20$, $CD=52$, $BD\approx 57,009$. Nửa chu vi $p\approx 64,504$. Theo công thức Heron:
$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-20)(p-52)(p-BD)}\approx \sqrt{64,504\cdot 44,504\cdot 12,504\cdot 7,496}\approx \sqrt{269065}\approx 518,7{\text{ m}}^2$$

(Kiểm tra bằng công thức $S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$ với $a=20,b=52,c=\sqrt{3250}$: $S=\frac{1}{4}\sqrt{4305084}\approx 518,7$ m² — khớp.)

Diện tích mảnh vườn:
$$S=S_{ABD}+S_{BCD}\approx 787,5+518,7=1306,2{\text{ m}}^2$$

Vậy diện tích mảnh vườn của bác An xấp xỉ $1306,2$ m² (khoảng $1306$ m²).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chiều cao đỉnh núi $C$ so với mặt đất, $d$ là khoảng cách ngang từ $A$ đến chân núi. Điểm $B$ cao hơn $A$ một đoạn $AB=70m$. Theo hình vẽ: từ $A$, phương nhìn $AC$ nâng lên $30^{\circ }$ nên $\tan 30^{\circ }=\frac{H}{d}$; từ $B$, phương nhìn $BC$ nâng lên $15^{\circ }30^{\prime }$ nên $\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{H-70}{d}$.

Trừ hai vế: $70=d\left(\tan 30^{\circ }-\tan 15^{\circ }30^{\prime }\right)$.

Với $\tan 30^{\circ }\approx 0,57735$ và $\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,27732$, hiệu bằng $\approx 0,30003$, suy ra $d\approx \frac{70}{0,30003}\approx 233,31m$.

Do đó $H=d\tan 30^{\circ }\approx 233,31\times 0,57735\approx 134,7\approx 135m$.

Vậy chiều cao ngọn núi so với mặt đất khoảng $135m$.

Quãng đường theo đường cũ $(A\to B\to C)$: $s_1=AB+BC=15+20=35$ (km).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, độ dài đoạn đường hầm $AC$:
$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}}=\sqrt{15^2+20^2-2\cdot 15\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }}$$
$$=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\approx 18,03\text{ (km)}.$$

Quãng đường rút ngắn được: $\Delta s=35-5\sqrt{13}\approx 16,97$ (km). Ô tô chạy 5 km tốn 1 lít xăng nên lượng xăng tiết kiệm là $\frac{35-5\sqrt{13}}{5}=7-\sqrt{13}\approx 3,39$ (lít). Số tiền tiết kiệm được:
$$T=\left(7-\sqrt{13}\right)\cdot 26.000\approx 88.256\text{ (đoˆˋng)}.$$

Làm tròn đến hàng nghìn: khoảng 88.000 đồng.

Đáp số: Tiết kiệm được khoảng 88.000 đồng.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Vì $G$ là trọng tâm nên $BG=\frac{2}{3}BM=4$ và $GN=\frac{1}{3}CN=3$.
Ba điểm $C,G,N$ thẳng hàng, $G$ nằm giữa $C$ và $N$ nên $\widehat{BGN}=180^{\circ }-\widehat{BGC}=60^{\circ }$.
Trong tam giác $BGN$: $B{N}^2=B{G}^2+G{N}^2-2\cdot BG\cdot GN\cdot \cos 60^{\circ }=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=13$, suy ra $BN=\sqrt{13}$.
Vậy $AB=2BN=2\sqrt{13}$.
Đáp án: $2\sqrt{13}$.