Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C đều là góc nhọn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và K là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Biết rằng tỷ số diện tích hai tam giác BHK và tam giác ABC bằng $\frac{9}{25}$. Tính $\cos B$ (Làm tròn tới phần mười)

(1,0 điểm) Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng theo đường gấp khúc $ABCD$ như mô hình dưới đây:



Cho biết độ dài các đoạn thẳng $AB=10$ km, $BC=CD=30$ km; số đo các góc $\widehat{ABC}=100^{\circ }$, $\widehat{BCD}=150^{\circ }$. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm một đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm được bao nhiêu kilômét so với đường cũ? Làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị.

Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Chu vi tam giác $MNP$ nhỏ nhất khi các điểm $M,N,P$

Cho tam giác $ABC$ có ${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2{\sin }^{2}A$. Khi đó giá trị của $\cos A$ thuộc nửa khoảng nào sau đây?

Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=3$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Khi đó độ dài cạnh $BC$ là $1+\sqrt{p}$. Giá trị của $p$ thuộc khoảng nào sau đây.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^{\circ };\widehat{BAD}=120^{\circ }$ và $BD=3\sqrt{3}$. Khi đó độ dài đoạn $AC$ bằng

Cho một cổ vật hình trụ có chiều cao đo được là $81\text{ cm}$, do bị hư hại nên khi tiến hành đo đạc lại thu được $AB=50\text{ cm},BC=70\text{ cm},CA=80\text{ cm}$, với $A,B,C$ thuộc đường tròn nắp trên như hình vẽ. Thể tích khối cổ vật ban đầu gần nhất với số nào sau đây?

Cửa hàng A có đặt trước sảnh một cái nón lớn với chiều cao $1,35\text{ m}$ và sơn cách điệu hoa văn trang trí một phần mặt ngoài của hình nón ứng với cung nhỏ $AB$ như hình vẽ:


Biết $AB=1,34\text{ m}$, $\widehat{ACB}=150^{\circ }$ và giá tiền trang trí là $\mathrm{2.000.000}$ đồng mỗi mét vuông. Hỏi số tiền mà cửa hàng A cần dùng để trang trí là bao nhiêu?

Tại một ngã ba đường ($B,H,C$ thẳng hàng) có ba tòa nhà nằm ở ba vị trí $A,B,C$ như hình vẽ.



Người ta đặt một trạm phát tín hiệu tại điểm $I$ cách đều cả ba tòa nhà. Biết rằng $BH=2,5\text{ km}$, $AH=6,5\text{ km}$ và $CH=6,5\text{ km}$. Hãy tính giá trị của $100A{I}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một con nhện đang treo mình dưới một sợi tơ theo phương thẳng đứng thì bị một cơn gió thổi theo phương ngang làm dây treo lệch đi so với phương thẳng đứng một góc $60^{\circ }$. Biết trọng lượng của con nhện là $P=0,1\text{ N}$. Độ lớn của lực mà gió tác dụng lên con nhện ở vị trí như hình vẽ là $\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a$ là số nguyên tố, $b$ là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

Câu 2. Xét tam giác $ABC$ có $AC=2AB$ và $BC=10\text{ cm}$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=\frac{1}{4}AC$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=\frac{1}{4}AB$, trên cạnh $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $AF=\frac{1}{4}AD$ và tiếp tục lấy các điểm $G,H,I,J\dots$ (vô hạn lần) theo quy luật đó. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau.

Một chiếc thang có dạng hình thang cân có chiều dài thanh bên $6$m. Khoảng cách hai chân thang là $80$cm và hai ngọn thang là $60$cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc giữa đường thẳng chân tường và thanh bên của hình thang (Đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2. Cho hai vị trí $A,B$ cách nhau $615\text{ m}$ và cùng nằm về một phía bờ sông, giả sử bờ sông có dạng thẳng; khoảng cách từ $A$ và từ $B$ đến bờ sông lần lượt là $118\text{ m}$ và $487\text{ m}$ như hình vẽ sau:



Một người đi từ $A$ đến bờ sông để lấy nước mang về $B$. Tìm quãng đường ngắn nhất (tính theo đơn vị mét) mà người đó có thể đi *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*?

Trong lớp học, màn hình tivi hình chữ nhật có chiều cao $1\text{ m}$ được đặt ở độ cao $1,2\text{ m}$ so với tầm mắt của học sinh (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí ngồi sao cho góc nhìn lớn nhất ($\widehat{BOC}$ là góc nhìn).



Nếu xét những học sinh ngồi nhìn thẳng màn hình thì học sinh ngồi bàn thứ mấy nhìn được rõ nhất? Biết bàn đầu tiên cách tivi $1,2\text{ m}$ và mỗi bàn kế tiếp nhau cách nhau $0,4\text{ m}$.

Một phần của sân trường được định vị bởi các điểm $A,B,C,D$, như hình vẽ.

Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB=25\text{ m}$, $AD=18\text{ m}$, $BC=15\text{ m}$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta lấy độ cao ở các điểm $B,C,D$ thấp xuống hơn so với độ cao ở $A$ lần lượt là $10\text{ cm}$, $a\text{ cm}$, $6\text{ cm}$. Hỏi giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?