Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D{C}_1=x$ (m), $C_1{A}_1=a$, $C_1{B}_1=b$ với $b-a=AB=12$ m. Trong tam giác vuông: $\tan 49^{\circ }=\frac{x}{a}\Rightarrow a=\frac{x}{\tan 49^{\circ }}$; $\tan 35^{\circ }=\frac{x}{b}\Rightarrow b=\frac{x}{\tan 35^{\circ }}$. Suy ra $x\left(\frac{1}{\tan 35^{\circ }}-\frac{1}{\tan 49^{\circ }}\right)=12$, tức $x(1,42815-0,86929)=12\Rightarrow x\approx \frac{12}{0,55886}\approx 21,47$ m. Vậy $CD=D{C}_1+C{C}_1=21,47+1,3\approx 22,77\approx 22,8$ m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin 45^0=30\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=15\sqrt{2}$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D{C}_1=x$ (m). Trong tam giác vuông tại $C_1$: $C_1{A}_1=x\cot 49^{\circ }$ và $C_1{B}_1=x\cot 35^{\circ }$. Vì $A_1{B}_1=AB=12$ m nên $C_1{B}_1-C_1{A}_1=12$, tức $x(\cot 35^{\circ }-\cot 49^{\circ })=12$. Với $\cot 35^{\circ }\approx 1,42815$, $\cot 49^{\circ }\approx 0,86929$, ta có $x=\frac{12}{1,42815-0,86929}\approx \frac{12}{0,55886}\approx 21,47$ m. Vậy $CD=D{C}_1+C{C}_1=21,47+1,3\approx 22,8$ m, trùng với đáp án nguồn 22,8.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin 45^0=30\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=15\sqrt{2}$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{C}=180^{\circ }-10^{\circ }-8^{\circ }=162^{\circ }$ nên ý d) đúng. Theo định lý sin: $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{500\sin 8^{\circ }}{\sin 162^{\circ }}\approx \frac{500\cdot 0,1392}{0,3090}\approx 225m$ nên ý b) đúng. Chiều cao $h=AC\cdot \sin 10^{\circ }\approx 225,1\cdot 0,1736\approx 39m\ne 40m$ nên ý c) sai. Về thời gian: $BC=\frac{500\sin 10^{\circ }}{\sin 162^{\circ }}\approx 281m$; thời gian lên dốc $\frac{0,225}{6}\approx 0,0375h\approx 2,25$ phút, xuống dốc $\frac{0,281}{18}\approx 0,0156h\approx 0,94$ phút; tổng $\approx 3,2$ phút, An đến lúc khoảng 6 giờ 43 phút, trước 6 giờ 45 phút nên không muộn, ý a) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian đi $\approx 2,25+0,94\approx 3,2$ phút, An đến khoảng 6 giờ 43 phút, trước giờ vào học 6 giờ 45 phút nên không muộn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC=\frac{500\sin 8^{\circ }}{\sin 162^{\circ }}\approx 225,1\approx 225m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h=AC\sin 10^{\circ }\approx 39m$, không phải $40m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ACB}=180^{\circ }-10^{\circ }-8^{\circ }=162^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 30^{\circ }=89-80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=89-40\sqrt{3}\approx 19,72$. Suy ra $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\approx \sqrt{19,72}\approx 4,4$. Khớp với đáp án nguồn 4,4.

Theo bảng đáp án chính thức (trang 9, mã đề 0111, Phần II câu 2): 2a) Sai; 2b) Sai; 2c) Đúng; 2d) Đúng. Nguồn chỉ cung cấp bảng đáp án, không có lời giải chi tiết.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 30^{\circ }=89-80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=89-40\sqrt{3}\approx 19,72$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{89-40\sqrt{3}}\approx 4,44\approx 4,4$, khớp với đáp án nguồn $4,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OM=x$. Chọn trục bờ biển, $A$ và $B$ nằm về hai phía của $O$ với $OA=4$, $OB=5$. Tàu $M$ chuyển động theo phương tạo góc $60^{\circ }$ với bờ (về phía $B$ như hình vẽ), nên góc giữa tia $OM$ và tia $OB$ là $60^{\circ }$, góc giữa tia $OM$ và tia $OA$ là $120^{\circ }$.

Áp dụng định lí cosin:
$$M{A}^2=O{A}^2+O{M}^2-2\cdot OA\cdot OM\cdot \cos 120^{\circ }=16+x^2+4x$$
$$M{B}^2=O{B}^2+O{M}^2-2\cdot OB\cdot OM\cdot \cos 60^{\circ }=25+x^2-5x$$

Vì $MA=MB$ nên $M{A}^2=M{B}^2$:
$$16+4x=25-5x\Rightarrow 9x=9\Rightarrow x=1$$

Vậy khoảng cách từ con tàu $M$ đến cảng $O$ là $1km$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A, B, I thẳng hàng nên góc BIK = 50°. Xét tam giác IKA: góc K = 45°, góc I = 50° nên góc A = 85°. Định lý sin: IA = 300·sin45°/sin85° ≈ 212,95 m. Xét tam giác IKB: góc K = 60°, góc I = 50° nên góc B = 70°. Định lý sin: IB = 300·sin60°/sin70° ≈ 276,48 m. Vậy AB = IB − IA ≈ 276,48 − 212,95 ≈ 63,53 ≈ 64 m, khớp đáp án nguồn (64).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $A$ nằm giữa $I$ và $B$ trên cùng một tia từ $I$ hợp với bờ $IK$ góc $50^{\circ }$.

Xét tam giác $IKA$: $\widehat{KIA}=50^{\circ }$, $\widehat{IKA}=45^{\circ }$ nên $\widehat{IAK}=85^{\circ }$. Theo định lý sin:
$$IA=\frac{IK\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 85^{\circ }}=\frac{300\cdot 0,70711}{0,99619}\approx 212,95\text{ m}.$$

Xét tam giác $IKB$: $\widehat{KIB}=50^{\circ }$, $\widehat{IKB}=60^{\circ }$ nên $\widehat{IBK}=70^{\circ }$. Theo định lý sin:
$$IB=\frac{IK\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}=\frac{300\cdot 0,86603}{0,93969}\approx 276,48\text{ m}.$$

Vì $A$ nằm giữa $I$ và $B$:
$$AB=IB-IA\approx 276,48-212,95=63,53\approx 64\text{ m}.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (64).

(AI giải đề cho tôi)
Sào tre tạo với đáy và thành bồn một tam giác vuông với cạnh huyền 5m, cạnh dọc ứng chiều cao bồn 4m. Phần sào bị ướt 1,5m song song với chiều cao mực nước, nên theo định lý Ta-lét (hai tam giác đồng dạng): $\frac{h}{4}=\frac{1,5}{5}$, suy ra $h=4\cdot \frac{1,5}{5}=1,2$ (m). Vậy mực nước trong thùng cao 1,2m.

(AI giải đề cho tôi)
Sào tre tạo thành đoạn thẳng nghiêng từ đáy bồn đến mép trên bồn, dài 5m; chiều cao bồn là 4m. Phần sào bị ướt (1,5m) ứng với đoạn sào từ đáy đến mặt nước. Vì mặt nước song song với đáy bồn, tam giác đồng dạng cho tỉ số $\frac{h}{4}=\frac{1,5}{5}$, suy ra $h=4\cdot \frac{1,5}{5}=1,2$ (m). Vậy mực nước trong thùng cao 1,2m.

(AI giải đề cho tôi)
Sào tre tạo thành một đường thẳng từ đáy bồn đến mép trên bồn. Tam giác tạo bởi sào, chiều cao bồn và đáy đồng dạng với tam giác tạo bởi phần sào bị ướt, mực nước và mặt nước. Chiều cao mực nước $h$ thỏa mãn $$\frac{h}{4}=\frac{1,5}{5}\Rightarrow h=\frac{1,5\cdot 4}{5}=1,2.$$ Vậy mực nước cao $1,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$ với hai cạnh $b=AC$, $c=AB$ góc xen giữa $A$: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. Với hai cạnh $a=BC$, $b=AC$ góc xen giữa $C$ (góc giữa $BC$ và $CA$): $S=\frac{1}{2}ab\sin C$. Do đó đáp án C. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AC=8cm, B=45°, C=60° nên A=75°. a) Theo định lí sin, R = AC/(2sinB) = 8/(2·√2/2) = 4√2 cm → Đúng. b) Định lí sin cho BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải R → Sai. c) BC = AC·sinA/sinB = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4·√2 = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm, không phải 10,92 cm → Sai. d) S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 8√3(√3+1) = 24+8√3 cm² → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2sinB) = 8/(2·(√2/2)) = 4√2 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải R.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC = 8·sin75°/sin45° = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm ≠ 10,92 cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 24+8√3 cm².

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=45^{\circ }$, $\hat{B}=60^{\circ }$ nên $\hat{C}=75^{\circ }$, với $AC=12$ km. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$.
- $AB=\frac{12\sin 75^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{12\cdot 0,9659}{0,8660}\approx 13,392$ km.
- $BC=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{12\cdot 0,7071}{0,8660}\approx 9,798$ km.
Tổng quãng đường thuyền đi: $AB+BC+CA\approx 13,392+9,798+12=35,19\approx 35,2$ km. Kết quả trùng với đáp án nguồn 35,2 (bảng đáp án Phần III, Mã đề 1002, Câu 4).

Áp dụng định lí cosin vào tam giác $\Delta ABC$, ta có:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25^2+30^2-2\cdot 25\cdot 30\cdot \cos 120^{\circ }=2275$$
Suy ra $BC=5\sqrt{91}\approx 47,7m$.

Vậy độ dài dây cáp điện thoại nối từ nhà đến trụ cáp là $47,7m$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AC=8cm, B=45°, C=60° nên A=180°−45°−60°=75°. a) Định lí sin: BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R (không phải R), nên ý a) Sai. b) R = AC/(2sinB) = 8/(2·√2/2) = 4√2 cm → Đúng. c) BC = AC·sinA/sinB = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4 ÷ (√2/2) = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm ≠ 10,92 cm → Sai. d) S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 8√3(√3+1) = 24+8√3 cm² → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin cho BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải = R, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2sinB) = 8/(2·sin45°) = 8/√2 = 4√2 cm, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
A = 75°; BC = 8·sin75°/sin45° = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm, không phải 10,92 cm, nên Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 24+8√3 cm², đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=45^{\circ }$, $\hat{B}=60^{\circ }$ nên $\hat{C}=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$, với $AC=12$ km. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$, tức $\frac{AB}{\sin 75^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{12}{\sin 60^{\circ }}$.
Suy ra $AB=\frac{12\sin 75^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,9659}{0,8660}\approx 13,377$ km; $BC=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,7071}{0,8660}\approx 9,798$ km.
Tổng quãng đường thuyền đi là $AB+BC+CA\approx 13,377+9,798+12=35,175\approx 35,2$ km, trùng với đáp án nguồn 35,2.