Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=22,5$ km, $AC=32,5$ km, $\widehat{BAC}=80,5^{\circ }$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 80,5^{\circ }$$
$$B{C}^2=22,5^2+32,5^2-2\cdot 22,5\cdot 32,5\cdot \cos 80,5^{\circ }\approx 506,25+1056,25-1462,5\cdot 0,16505\approx 1321,1$$
Suy ra $BC\approx 36,3$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Tam giác $ABC$ có $\hat{B}=60^{\circ }$, $BA=7cm$, $BC=8cm$.

a) Theo định lí hàm số côsin trong tam giác $ABC$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=7^2+8^2-2\cdot 7\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=49+64-56=57.$$
Suy ra $AC=\sqrt{57}\approx 7,55cm$.

b) Diện tích tam giác $ABC$:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=28\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}\approx 24,25c{m}^2.$$

Vậy $AC=\sqrt{57}cm$ và $S_{ABC}=14\sqrt{3}c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=89-40=49$, nên $b=7$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19 (Mã đề 1002): Đề cho tam giác ABC với $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $AB=5$ cm, $AC=8$ cm.

a) Đề hỏi tính độ dài cạnh $AB$ nhưng $AB=5$ cm đã cho trước; ý định của đề là tính cạnh $BC$ (cạnh đối diện góc A). Áp dụng định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$$
Suy ra $BC=7$ cm.

b) Diện tích tam giác ABC:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{\text{cm}}^2\approx 17,32{\text{cm}}^2.$$

(Nguồn lời giải: ai — nguồn không có đáp án chính thức cho câu tự luận này.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin trong tam giác ABC: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$. Suy ra $BC=AC\cdot \frac{\sin A}{\sin B}=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=6\sqrt{2}\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=6\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6$ cm. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: góc C = 180° - 60° - 50° = 70°. Theo định lí sin: AC/sin B = AB/sin C, nên AC = 30·sin50°/sin70° ≈ 30·0,7660/0,9397 ≈ 24,456 ≈ 24,5 m. Hình ở trang 3 xác nhận AB = 30 m, góc A = 60°, góc B = 50°.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là vị trí xuất phát, B là điểm rẽ, C là vị trí dừng. AB = 3 km, BC = 6 km. Thuyền rẽ sang phải lệch hướng ban đầu một góc 45°, nên góc trong tam giác tại B là góc bù: $\widehat{ABC}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$. Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 135^{\circ }=9+36-36\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45+18\sqrt{2}\approx 70,456$. Suy ra $AC=\sqrt{45+18\sqrt{2}}\approx 8,39$ km. Vậy thuyền cách vị trí xuất phát khoảng 8,39 km.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Tam giác $ABC$ có $AB=2cm$, $AC=1cm$, $\hat{A}=60^{\circ }$.

a) Theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=4+1-2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=3.$$
Vậy $BC=\sqrt{3}cm$.

b) Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}c{m}^2.$$
Vậy $S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=49\Rightarrow a=7$ cm. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ cm². Nửa chu vi $p=\frac{7+5+8}{2}=10$ cm. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=30^{\circ }$, $\hat{B}=120^{\circ }$ nên $\hat{C}=30^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $BC=\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}=\frac{10\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin A=6\sin A=3\sqrt{3}$, suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (ý c đúng). Khi đó ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ (ý a đúng). Ý b là định lý cosin trong tam giác, luôn đúng. Ý d: $4{\cos }^{2}A+2\sin A=4\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\ne 1+\sqrt{2}$ nên ý d sai. Kết quả Đ-D-D-S khớp đáp án nguồn mã đề 0102 (DDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lý cosin trong tam giác: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=6\sin A=3\sqrt{3}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$4{\cos }^{2}A+2\sin A=4\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\ne 1+\sqrt{2}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{C}=180^{\circ }-7^{\circ }-5^{\circ }=168^{\circ }$. Theo định lý sin: $AC=\frac{800\sin 5^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}=\frac{800\cdot 0,08716}{0,20791}\approx 335,34$ m (đoạn lên dốc), $BC=\frac{800\sin 7^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}=\frac{800\cdot 0,12187}{0,20791}\approx 468,86$ m (đoạn xuống dốc). Thời gian lên dốc: $\frac{0,33534}{4}$ giờ $\approx 301,8$ s. Thời gian xuống dốc: $\frac{0,46886}{19}$ giờ $\approx 88,8$ s. Tổng $\approx 390,6$ s $=6$ phút $30,6$ giây, làm tròn $b=31$ giây. Vậy $a=6$, $b=31$, $a+b=37$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=9+64-2\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=73-24=49$, suy ra $BC=7$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin đúng là $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên mệnh đề C (dấu $+$) sai. Các mệnh đề A (định lí sin), B (công thức diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A$), D (công thức Heron) đều đúng. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin đúng là $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên mệnh đề A (bằng $R$) là sai. Các mệnh đề B (công thức Heron), C (định lý cosin), D (công thức diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A$) đều đúng. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin A=6\sin A=3\sqrt{3}$ suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì $0<A<\pi$ nên $\sin A>0$). Do đó ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
a) Đúng: ${\cos }^{2}A=\frac{1}{4}$.
b) Sai: $\sin A=+\frac{\sqrt{3}}{2}$, không phải $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ vì $A$ là góc trong tam giác.
c) Đúng: đây chính là định lý cosin $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$.
d) Sai: $2{\cos }^{2}A+\sqrt{3}\sin A=2\cdot \frac{1}{4}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\ne 1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=6\sin A=3\sqrt{3}$ nên $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra ${\cos }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A$ là góc trong tam giác nên $\sin A>0$; cụ thể $\sin A=+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý cosin trong tam giác: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2{\cos }^{2}A+\sqrt{3}\sin A=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là đỉnh dốc. Trong tam giác $ABC$: $\hat{C}=180^{\circ }-7^{\circ }-5^{\circ }=168^{\circ }$, nên $\sin C=\sin 12^{\circ }$.

Theo định lý sin:
$$AC=\frac{800\sin 5^{\circ }}{\sin 12^{\circ }}\approx \frac{800\cdot 0,08716}{0,20791}\approx 335,4\text{m (đoạn leˆn doˆˊc)},$$
$$BC=\frac{800\sin 7^{\circ }}{\sin 12^{\circ }}\approx \frac{800\cdot 0,12187}{0,20791}\approx 468,9\text{m (đoạn xuoˆˊng doˆˊc)}.$$

Đổi tốc độ: lên dốc $4$ km/h $=\frac{4000}{3600}=\frac{10}{9}$ m/s; xuống dốc $19$ km/h $=\frac{95}{18}$ m/s.

Thời gian:
$$t_{\text{leˆn}}=\frac{335,4}{10/9}\approx 301,9\text{s},t_{\text{xuoˆˊng}}=\frac{468,9\cdot 18}{95}\approx 88,9\text{s}.$$

Tổng thời gian $\approx 390,7$ giây $\approx 6$ phút $31$ giây. Vậy Trí đến trường lúc 6 giờ 6 phút 31 giây, tức $a=6$, $b=31$, nên $a+b=37$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (37).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=8$, $AC=10$, $\widehat{ACB}=60^{\circ }$: $$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=100+64-2\cdot 10\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=164-80=84.$$ Suy ra $AB=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Kết quả khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a-d,a,a+d$ với $d>0$. Góc $120^{\circ }$ đối diện cạnh lớn nhất $a+d$. Theo định lí cosin: $\cos 120^{\circ }=\frac{a^2+(a-d{)}^2-(a+d{)}^2}{2a(a-d)}=\frac{a^2-4ad}{2a(a-d)}=-\frac{1}{2}$, suy ra $2a^2-8ad=-2a^2+2ad\Rightarrow 4a^2=10ad\Rightarrow a=\frac{5}{2}d$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}a(a-d)\sin 120^{\circ }=\frac{a(a-d)\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3}\Rightarrow a(a-d)=60$. Thay $a=\frac{5}{2}d$: $\frac{5}{2}d\cdot \frac{3}{2}d=\frac{15}{4}{d}^2=60\Rightarrow d^2=16\Rightarrow d=4$. Vậy ba cạnh là $6,10,14$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{14}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{14}{\sqrt{3}}\approx 8,0829\approx 8,08$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 8,08.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a,a+d,a+2d$ với $d>0$. Góc $120^{\circ }$ đối diện cạnh lớn nhất $a+2d$. Theo định lí cosin: $\cos 120^{\circ }=\frac{a^2+(a+d{)}^2-(a+2d{)}^2}{2a(a+d)}=\frac{a^2-2ad-3d^2}{2a(a+d)}=-\frac{1}{2}$. Suy ra $2a^2-ad-3d^2=0\iff (2a-3d)(a+d)=0$, vì $a,d>0$ nên $d=\frac{2a}{3}$. Ba cạnh là $a,\frac{5a}{3},\frac{7a}{3}$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{5a}{3}\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{5a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a+2d}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{14/3}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{9}\approx 2,69$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,69.