Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$:
- Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1\Rightarrow a=-1$.
- Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)\Rightarrow 2a+b=0\Rightarrow b=-2a=2$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)\Rightarrow \frac{b}{c}=-2\Rightarrow c=-\frac{b}{2}=-1$.
Khi đó: $a+2b+3c=(-1)+2(2)+3(-1)=-1+4-3=0$.
Chọn A.

Chọn C.
Nhìn vào đồ thị ta thấy nhánh bên phải đi xuống nên hệ số $a<0$. Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ và có các điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$ với giá trị cực đại bằng 3. Hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ thỏa mãn $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0,x=2$ và $y(0)=-1,y(2)=3$.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có nét cuối đi lên, suy ra $a>0$. Do đó ta loại các phương án B, C (bậc 4) và D ($a<0$).
Phương án A: $y=x^3-3x^2+3$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, đồ thị đi qua điểm cực đại $(0;3)$ và điểm cực tiểu $(2;-1)$, hoàn toàn phù hợp với hình vẽ.
Chọn A.

Từ bảng biến thiên:
- Khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$ nên hệ số $a<0$, loại phương án A và C.
- Tại $x=0$, $y=2$, do đó hệ số tự do $c=2$. Loại phương án B (có $y(0)=1$).
Vậy hàm số cần tìm là $y=-x^4+2x^2+2$.
Chọn D.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Dựa vào hình dạng đồ thị:
- Đây là dạng đồ thị của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
- Nhánh bên phải đi xuống khi $x\to +\infty$ nên hệ số $a<0$, loại đáp án D.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$, tức $f(0)=3$, loại đáp án A.
- Phương án C là hàm bậc bốn trùng phương, không phù hợp dạng đồ thị.
Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=-x^3-3x^2+3$.

Đồ thị là của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, nên là hàm số $y=x^3-3x+1$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) Sai: Đồ thị đi qua $(0;2)$.
b) Đúng: Trên $(2;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.
c) Sai: Trên $[1;3]$, ${\min }_{[1;3]}y=y(2)=-2$.
d) Sai: Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$.

Đường cong trong hình là đồ thị hàm số bậc ba có nhánh ngoài cùng bên phải đi xuống ($a<0$) và có hai điểm cực trị, nên hàm số là $y=-x^3+3x+1$.

Bảng biến thiên có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$ và hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, nên hàm số là $y=\frac{x+1}{x-2}$.

Chọn A.
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $(0;0)$ và có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. Trong 4 hàm số, chỉ có $y=\frac{x}{2x+1}$ thỏa mãn đi qua điểm $(0;0)$.

Ta có $y=-x^4+2x^2-2=-(x^2-1{)}^2-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó đồ thị hàm số $y=-x^4+2x^2-2$ luôn nằm dưới trục hoành.
Chọn B.

Từ bảng biến thiên, đường tiệm cận đứng là $x=-1$ (loại A, B).
Đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên $y^{\prime }>0,\forall x\ne -1$.
- Xét hàm số ở đáp án C: $y=\frac{2x-3}{x+1}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-(-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$ (thỏa mãn).
- Xét hàm số ở đáp án D: $y=\frac{2x+3}{x+1}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-3}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ (loại).
Chọn C.

Đồ thị có dạng của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
Nhánh ngoài cùng bên phải đi lên nên ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty \Rightarrow a>0$, loại A và C.
Đồ thị có 2 điểm cực trị nên là hàm số bậc 3, loại B (hàm trùng phương).
Do đó đồ thị đã cho là của hàm số $y=x^3-3x^2+1$.
Chọn D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(-1;4)$ khi và chỉ khi:
$4=\frac{2(-1{)}^2-6m(-1)+4}{-m(-1)+2}\iff 4=\frac{2+6m+4}{m+2}\iff 4(m+2)=6m+6$
$\iff 4m+8=6m+6\iff 2m=2\iff m=1$?
Khoan, theo lời giải chi tiết:
$4=\frac{2-6m+4}{-m+2}\iff 4(-m+2)=6-6m\iff -4m+8=6-6m\iff 2m=-2\iff m=-1$.
Vậy $m=-1$.
Chọn C.

Chọn C.
Đồ thị là của hàm số bậc ba có nhánh phải đi lên ($a>0$), cắt trục tung tại $(0;-2)$ và có hai điểm cực trị là $x=-2,x=0$. Hàm số $y=x^3+3x^2-2$ thỏa mãn.

Chọn D.
Quan sát đồ thị hàm số:
- Nhánh cuối cùng đi xuống khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a<0$, loại A và C.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$, tức là $y(0)=1$. Ở đáp án B có $y(0)=-1$ (loại), đáp án D có $y(0)=1$ (thỏa mãn).
Vậy hàm số đó là $y=-x^3+3x+1$.

Chọn A.
Quan sát đồ thị hàm số:
- Đường tiệm cận ngang nằm dưới trục hoành ($y=-1$).
Xét các đáp án:
+ A: $y=\frac{2x+2}{-2x+1}$ có tiệm cận ngang $y=\frac{2}{-2}=-1$ (thỏa mãn).
+ B: $y=\frac{2x+2}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=2>0$ (loại).
+ C: $y=\frac{x-2}{-x+1}$ có tiệm cận ngang $y=-1$.
+ D: $y=\frac{x+3}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=1>0$ (loại).
- Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(-1;0)$:
+ Đáp án A: $2x+2=0\iff x=-1$ (thỏa mãn).
+ Đáp án C: $x-2=0\iff x=2>0$ (loại).
Vậy đồ thị là của hàm số $y=\frac{2x+2}{1-2x}$.

Đồ thị có dạng đường cong của hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh ngoài cùng hướng lên nên $a>0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)$ nên $c=2$.
Hàm số có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b<0$.
Tại điểm cực tiểu $x=1$, giá trị tương ứng là $y=1$.
- Với hàm số $y=x^4-2x^2+2$: $y(1)=1-2+2=1$ (thỏa mãn).
- Với hàm số $y=x^4-4x^2+2$: điểm cực tiểu là $x=\sqrt{2}$, $y(\sqrt{2})=-2$ (loại).
Vậy đồ thị đã cho là của hàm số $y=x^4-2x^2+2$.
Chọn C.

Chọn C.
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$. Thay $x=0$ vào các phương án, chỉ có $y=\frac{x-1}{2x+1}$ cho $y=-1$.

Chọn C.
Nhánh ngoài cùng đi xuống nên $a<0$.
Đồ thị có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b>0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c<0$.
Vậy $a<0,b>0,c<0$.