Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $(1;2)$, cực tiểu tại $(-1;-2)$ và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $d=0$. Khi đó $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(-1)=0$: $3a+2b+c=0$ và $3a-2b+c=0$, suy ra $b=0$, $c=-3a$. Vì $f(1)=a+c=2$ nên $a-3a=2\Rightarrow a=-1$, do đó $c=3$. Vậy $f(x)=-x^3+3x$ (kiểm tra: $f(-1)=1-3=-2$ đúng). Do đó $a+b+c+d=f(1)=-1+0+3+0=2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên d=-1; tiệm cận xiên y=x+1 nên a=1, a+b=1 ⇒ b=0; cực đại O(0;0) ⇒ c=0. Vậy y=x²/(x−1)=x+1+1/(x−1).
a) Đúng: tiệm cận xiên y=x+1.
b) Đúng: y'=x(x−2)/(x−1)², y'=0 tại x=0 (cực đại, y=0) và x=2 (cực tiểu, y=4) ⇒ T(2;4).
c) Sai: trên (1;2) hàm số nghịch biến (y'<0), chỉ đồng biến trên (2;+∞).
d) Đúng: y'=1−1/(x−1)². Tiếp tuyến song song ⇒ x_A+x_B=2. Tính được hệ số góc AB là m=(p−2)/(p−1) với p=x_A x_B, và trung điểm AB là I(1,2) cố định. d(M,AB)=|3m+1|/√(m²+1) lớn nhất tại m=3 (khi đó d=√10). Suy ra p=1/2, x_A,x_B=1±√2/2, AB=√2·√(1+9)=2√5.
a) (AI giải đề cho tôi)
d=-1, a=1, b=0 nên y=x²/(x−1)=x+1+1/(x−1), tiệm cận xiên y=x+1.
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=x(x−2)/(x−1)²; x=2 cho cực tiểu y=4, tức T(2;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;2) có y'<0 nên hàm nghịch biến; hàm chỉ đồng biến trên (2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song ⇒ x_A+x_B=2, đường AB luôn qua I(1;2). Khoảng cách từ M(4;1) lớn nhất khi m=3, suy ra x_A x_B=1/2, x_A,x_B=1±√2/2, AB=√2·√10=2√5.

Đáp án: S Đ S S

a) $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$

Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy a) sai

b) Dựa vào bảng xét dấu trên GTLN trên đoạn $[1;3]$ là $f(2)$. Vậy b) đúng

c) Hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow (1;2)$ là điểm đối xứng của hàm số

Vậy c) sai

d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $y=mx$ là:

$$-x^3+3x^2=mx\iff -x^3+3x^2-mx=0$$

$$\iff x\left(-x^2+3x-m\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ -x^2+3x-m=0\end{array}$$

Vậy $x_1=0;x_2,x_3$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $-x^2+3x-m=0$

$$\Delta =9-4m>0\Rightarrow m<\frac{9}{4}$$

Theo vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3\\ x_2{x}_3=m\end{array}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\Rightarrow 0+{\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=5$

$$\iff 9-2m=5\iff m=2$$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy d) sai
a) $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$

Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy a) sai
b) Dựa vào bảng xét dấu trên GTLN trên đoạn $[1;3]$ là $f(2)$. Vậy b) đúng
c) Hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow (1;2)$ là điểm đối xứng của hàm số

Vậy c) sai
d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $y=mx$ là:

$$-x^3+3x^2=mx\iff -x^3+3x^2-mx=0$$

$$\iff x\left(-x^2+3x-m\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ -x^2+3x-m=0\end{array}$$

Vậy $x_1=0;x_2,x_3$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $-x^2+3x-m=0$

$$\Delta =9-4m>0\Rightarrow m<\frac{9}{4}$$

Theo vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3\\ x_2{x}_3=m\end{array}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\Rightarrow 0+{\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=5$

$$\iff 9-2m=5\iff m=2$$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy d) sai

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Mã đề 2102): Đồ thị hàm phân giác có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên đi qua $I(-1;-1)$. a) Nhánh trái có điểm cực tiểu $(-2;1)$, nhánh phải có điểm cực đại $(0;-3)$; trung điểm hai điểm cực trị là $\left(\frac{-2+0}{2};\frac{1+(-3)}{2}\right)=(-1;-1)$, đồ thị đối xứng qua $I(-1;-1)$ → Đúng. b) Trên đồ thị, đường đứt nét $x=-1$ là tiệm cận đứng ($y\to \pm \infty$ khi $x\to -1$) → Đúng. c) Bảng biến thiên: nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đạt cực tiểu $y=1$ tại $x=-2$; đồng biến trên $(-2;-1)$; đồng biến trên $(-1;0)$, đạt cực đại $y=-3$ tại $x=0$; nghịch biến trên $(0;+\infty )$; hai nhánh tiến tới $+\infty$ và $-\infty$ quanh tiệm cận $x=-1$ → khớp bảng đã cho → Đúng. d) Theo bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-2;-1)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$. Do đó khẳng định 'Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;-1)$' là SAI. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (trang 28, Câu 4, Mã đề 2102): a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi a) đáp án là Đ (đúng).
b) Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi b) đáp án là Đ (đúng).
c) Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi c) đáp án là Đ (đúng).
d) Theo bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên khoảng $(-2;-1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này; do đó khẳng định 'nghịch biến trên $(-2;-1)$' là sai. Theo bảng đáp án chính thức (trang 28, Mã đề 2102, Phần II Câu 4, lệnh hỏi d) đáp án là S (sai).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, nhánh trái có cực tiểu tại (-2;1), nhánh phải có cực đại tại (0;-3), có tiệm cận xiên.
a) Đúng: trên (-∞;-2) hàm giảm từ +∞ xuống 1 (y'<0, y'=0 tại x=-2); trên (-2;-1) hàm tăng từ 1 lên +∞; trên (-1;0) hàm tăng từ -∞ lên -3 (y'>0, y'=0 tại x=0); trên (0;+∞) hàm giảm từ -3 xuống -∞. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn.
b) Sai: nếu đồ thị có tâm đối xứng thì tâm phải đối xứng hai điểm cực trị: trung điểm của (-2;1) và (0;-3) là (-1;-1), không phải I(-1;1).
c) Đúng: đồ thị có hai nhánh tiến ra vô cực khi x→-1⁻ và x→-1⁺ (đường nét đứt đứng tại x=-1), nên tiệm cận đứng là x=-1.
d) Sai: hàm số không xác định tại x=-1 nên không đồng biến trên cả khoảng (-2;0); hàm chỉ đồng biến trên từng khoảng (-2;-1) và (-1;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên khớp với đồ thị: giảm từ +∞ xuống 1 trên (-∞;-2), tăng lên +∞ trên (-2;-1), tăng từ -∞ lên -3 trên (-1;0), giảm xuống -∞ trên (0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng (nếu có) là trung điểm hai điểm cực trị (-2;1) và (0;-3), tức là (-1;-1), không phải I(-1;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hai nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi x→-1⁻ và x→-1⁺ nên tiệm cận đứng là x=-1.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại x=-1 nên không đồng biến trên khoảng (-2;0); chỉ đồng biến trên từng khoảng (-2;-1) và (-1;0).

a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ nên đồng biến trên $(-\infty ;-3)$. (Đúng)
b) Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ mà $f^{\prime }(-2)=0\Rightarrow 12a-4b+c=0\Rightarrow 12a+c=4b$. (Đúng)
c) Làm như câu b ta có $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b+c=0\Rightarrow 12a+c=-4b$ nên $b=0;c=-12a$. Mặt khác $\{\begin{array}{l}f(-2)=1\Rightarrow -8a+2.12a+d=1\\ f(2)=-3\Rightarrow 8a-2.12a+d=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0,125\\ c=-1,5\\ d=-1\end{array}$. Giải phương trình thấy tổng các nghiệm khác -2. (Sai)
d) Thay 4 vào thấy $f(4)=1$. (Đúng)
a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ nên đồng biến trên $(-\infty ;-3)$. (Đúng) (Ghi chú: đề mã 522 in "(-∞; 3)", đề mã 0106 và lời giải dùng "(-∞; -3)".)
b) Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ mà $f^{\prime }(-2)=0\Rightarrow 12a-4b+c=0\Rightarrow 12a+c=4b$. (Đúng)
c) Làm như câu b ta có $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b+c=0\Rightarrow 12a+c=-4b$ nên $b=0;c=-12a$. Mặt khác $\{\begin{array}{l}f(-2)=1\Rightarrow -8a+2.12a+d=1\\ f(2)=-3\Rightarrow 8a-2.12a+d=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0,125\\ c=-1,5\\ d=-1\end{array}$. Giải phương trình thấy tổng các nghiệm khác -2. (Sai)
d) Thay 4 vào thấy $f(4)=1$. (Đúng)

a) Xét hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$$
Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $0<x<1$ và $1<x<2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=2\text{ hoặc }x=0$$
Vậy ta được hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ là $A(0;1)$ và $B(2;5)$.

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d(B,OA)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d(B,Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$. Vậy b) đúng.
c) Ta có:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0$$
Vậy đồ thị $(C)$ nhận đường thẳng $(d_1)$ có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $(d_2)$ có phương trình $x-y+2=0$ là tiệm cận xiên.
Xét điểm $M(x,y)\in (C)$ bất kì, ta có:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}$$
Thay $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, ta được:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{\left|x-x-2-\frac{1}{x-1}+2\right|}{\sqrt{2}}=|x-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}\ge 2.\sqrt{|x-1|.\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}}=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Dấu "$=$" xảy ra tại $(x-1{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}+1$. Vậy c) sai.
d) Ta biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(x_0,y_0)$ bất kì trên đồ thị $(C)$ có dạng:
$$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Để tiếp tuyến này đi qua $M(a;0)$ thì:
$$f^{\prime }(x_0)(a-x_0)+f(x_0)=0$$
$$\iff \left(1-\frac{1}{(x_0-1{)}^2}\right)(a-x_0)+\left(x_0+2+\frac{1}{x_0-1}\right)=0$$
$$\iff \left[(x_0-1{)}^2-1\right](a-x_0)+(x_0+2)(x_0-1{)}^2+(x_0-1)=0$$
$$\iff (x_0^2-2x_0)(a-x_0)+(x_0+2)(x_0^2-2x_0+1)+(x_0-1)=0$$
$$\iff (a+2)x_0^2-2(a+1)x_0+1=0$$
Số tiếp tuyến kẻ được từ $M$ đến $(C)$ bằng số nghiệm của phương trình:
$$(a+2)x^2-2(a+1)x+1=0$$
Xét ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a+2)=a^2+a-1$. Tuy nhiên không phải lúc nào ${\Delta }^{\prime }$ cũng không âm. Chẳng hạn với $a=0$, ta được $\Delta =-1<0$. Tức từ $M(0;0)$ không kẻ được tiếp tuyến tới $(C)$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b đúng | c sai | d sai
a) Xét hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$$
Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $0<x<1$ và $1<x<2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=2\text{ hoặc }x=0$$
Vậy ta được hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ là $A(0;1)$ và $B(2;5)$.

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d(B,OA)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d(B,Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$. Vậy b) đúng.
c) Ta có:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0$$
Vậy đồ thị $(C)$ nhận đường thẳng $(d_1)$ có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $(d_2)$ có phương trình $x-y+2=0$ là tiệm cận xiên.
Xét điểm $M(x,y)\in (C)$ bất kì, ta có:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}$$
Thay $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, ta được:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{\left|x-x-2-\frac{1}{x-1}+2\right|}{\sqrt{2}}=|x-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}\ge 2.\sqrt{|x-1|.\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}}=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Dấu "$=$" xảy ra tại $(x-1{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}+1$. Vậy c) sai.
d) Ta biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(x_0,y_0)$ bất kì trên đồ thị $(C)$ có dạng:
$$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Để tiếp tuyến này đi qua $M(a;0)$ thì:
$$f^{\prime }(x_0)(a-x_0)+f(x_0)=0$$
$$\iff \left(1-\frac{1}{(x_0-1{)}^2}\right)(a-x_0)+\left(x_0+2+\frac{1}{x_0-1}\right)=0$$
$$\iff \left[(x_0-1{)}^2-1\right](a-x_0)+(x_0+2)(x_0-1{)}^2+(x_0-1)=0$$
$$\iff (x_0^2-2x_0)(a-x_0)+(x_0+2)(x_0^2-2x_0+1)+(x_0-1)=0$$
$$\iff (a+2)x_0^2-2(a+1)x_0+1=0$$
Số tiếp tuyến kẻ được từ $M$ đến $(C)$ bằng số nghiệm của phương trình:
$$(a+2)x^2-2(a+1)x+1=0$$
Xét ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a+2)=a^2+a-1$. Tuy nhiên không phải lúc nào ${\Delta }^{\prime }$ cũng không âm. Chẳng hạn với $a=0$, ta được $\Delta =-1<0$. Tức từ $M(0;0)$ không kẻ được tiếp tuyến tới $(C)$. Vậy d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $x=1,2,3$ và cắt trục tung tại điểm $(0;-6)$, nên $y=a(x-1)(x-2)(x-3)$. Với $x=0$: $y=-6a=-6\Rightarrow a=1$. Khai triển: $y=x^3-6x^2+11x-6$, suy ra $a=1,b=-6,c=11,d=-6$. Khi đó $T=2a+b-c+d=2-6-11-6=-21$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, $y(0)=2$, $y(2)=6$, và $y^{\prime }=0$ tại $x=0,2$. Xét phương án C: $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$. Ta có $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$ ✓; $y(2)=\frac{4+4-2}{1}=6$ ✓; tiệm cận đứng $x=1$ ✓. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-2-x^2-2x+2}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$ ✓, dấu của $y^{\prime }$: dương trên $(-\infty ;0)$, âm trên $(0;1)$, âm trên $(1;2)$, dương trên $(2;+\infty )$ — khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: A cho $y(0)=2$ nhưng $y(2)=\frac{4+8-2}{1}=10\ne 6$; B cho $y(0)=-2\ne 2$; D có tiệm cận đứng $x=-1\ne 1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2+3x}{x-1}=\frac{(x-1)(x+4)+4}{x-1}=x+4+\frac{4}{x-1}$. Đồ thị $(C)$ là đường cong bậc nhất trên phân số, có tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+4$. Vậy $I(1;5)$, tức $a=1,b=5$, nên $a+2b=1+10=11$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (loại B vì tiệm cận đứng $x=-1$) và tiệm cận xiên dốc dương (loại C vì tiệm cận xiên $y=-x+2$ dốc âm; loại A vì chỉ có tiệm cận ngang $y=2$). Xét D: $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$, có TCĐ $x=1$, TCX $y=x-2$ (cắt trục hoành tại $x=2$, trục tung tại $y=-2$), phù hợp hình vẽ. Nhánh trái: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$, cực đại tại $x=0$, $y=-3<0$; nhánh phải: khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, cực tiểu tại $x=2$, $y=1>0$. Tất cả khớp đồ thị đậm nét.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có $a>0$ vì chiều phía bên phải đi lên. Đồ thị có điểm cực đại tại $x<0$ và điểm cực tiểu tại $x>0$, tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu. Theo Viète: tích hai nghiệm $\frac{c}{3a}<0$ mà $a>0$ nên $c<0$; tổng hai nghiệm $-\frac{2b}{3a}>0$ nên $b<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (phía trên gốc $O$) nên $d>0$. Vậy trong các số $a,b,c,d$ có đúng 2 số âm là $b$ và $c$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ tung dương nên $y(0)=d>0$. Hàm số có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung (cực tiểu rồi cực đại, cả hai với $x<0$), tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm âm. Theo Viète: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$ mà $a<0$ nên $c<0$; $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0$ mà $a<0$ nên $b<0$. Vậy chỉ có $d>0$: có đúng 1 số dương trong các số $a,b,c,d$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $d=-1$. Tiệm cận xiên đi qua gốc tọa độ. Hàm số: $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-1}$. Chia đa thức: $y=ax+(b+a)+\frac{c+b+a}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+b+a$. Vì tiệm cận xiên qua $O(0;0)$ nên $b+a=0$, tức $m=b+a=0$ với $y=ax+\frac{R}{x-1}$, $R=c+b+a$. $y^{\prime }=a-\frac{R}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow (x-1{)}^2=\frac{R}{a}$, cho hai cực trị tại $x=3$ và $x=-1$ (theo hình vẽ) nên $\sqrt{R/a}=2\Rightarrow R=4a$. Giá trị cực đại, cực tiểu theo hình: $f(3)=5$, $f(-1)=-3$. Ta có $f(3)=3a+m+\frac{R}{2}=3a+0+2a=5a=5\Rightarrow a=1$; $f(-1)=-a+m-\frac{R}{2}=-a-2a=-3a=-3\Rightarrow a=1$ (nhất quán). Vậy $a=1$, $R=4\Rightarrow c+b+a=4\Rightarrow c=4$ (vì $b=-a=-1$). Kiểm tra: $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}$, $f(3)=\frac{9-3+4}{2}=5$, $f(-1)=\frac{1+1+4}{-2}=-3$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$ — khớp đồ thị. Do đó $2a+b+c+d=2-1+4-1=4$. Kết quả trùng với đáp án đề cho ở bảng mã đề 122, Phần III, câu 3: $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (loại A, D vì có mẫu $x+1$). Đồ thị có nhánh trên đạt cực tiểu tại điểm $(3;4)$ và có tiệm cận xiên. Xét đáp án C: $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+4}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0\iff x=3$ (với $x>1$), khi đó $y(3)=2+2=4$, đúng với điểm cực tiểu $(3;4)$ trên đồ thị. Tiệm cận xiên $y=x-1$ cũng khớp với đường thẳng vẽ trong hình. Đáp án B: $y=\frac{-x^2+x}{x-1}=-x$ không có tiệm cận đứng đúng dạng và không có cực trị như hình. Vậy đường cong là đồ thị của hàm số ở đáp án C, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải, đối chiếu đáp án nguồn trang 9: Phần III Câu 3 của Mã đề 121 là -4)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $x+n=0$ tại $x=-2\Rightarrow n=2$.
Điểm cực tiểu $(-1;1)$: $f(-1)=\frac{a-b+c}{-1+2}=1\Rightarrow a-b+c=1$.
Điểm cực đại $(-3;-3)$: $f(-3)=\frac{9a-3b+c}{-3+2}=-3\Rightarrow 9a-3b+c=3$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{a{x}^2+2anx+bn-c}{(x+n{)}^2}$. Hai điểm cực tiểu $x=-1$ và cực đại $x=-3$ là nghiệm của $a{x}^2+2anx+bn-c=0$, nên theo định lý Vi-ét: tích hai nghiệm $\frac{bn-c}{a}=(-1)(-3)=3\Rightarrow 2b-c=3a$ (với $n=2$).
Từ $a-b+c=1\Rightarrow c=1-a+b$; thay vào $2b-c=3a$: $2b-1+a-b=3a\Rightarrow b=2a+1$, suy ra $c=a+2$.
Thay vào $9a-3b+c=3$: $9a-3(2a+1)+(a+2)=3\Rightarrow 4a-1=3\Rightarrow a=1$, khi đó $b=3$, $c=3$.
Thử lại: $f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$, $f(-1)=1$, $f(-3)=-3$, $y^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}$ có nghiệm $x=-1,x=-3$ — phù hợp đồ thị.
Vậy $3a-2b-c+n=3(1)-2(3)-3+2=-4$, trùng với đáp án nguồn.

Đáp án theo bảng mã đề 1252, Phần II câu 1: Đ S Đ Đ đọc lại là S Đ S S (a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai), phù hợp với kiểm tra độc lập: a) $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$; b) tiệm cận xiên $y=x+6$; c) nghịch biến trên $(-2;4)$; d) $c=-2,a=-4,b=-4$ nên $ac-b=12>2$.
a) Với $a=1,b=-2,c=1$: $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$ nên ý a) Sai.
b) Với $a=1,b=5,c=1$: $\frac{x^2+5x+3}{x-1}=x+6+\frac{9}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+6$. Ý b) Đúng.
c) Với $a=1,b=5,c=1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-8}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1{)}^2}$, hàm số nghịch biến trên $(-2;1)$ và $(1;4)$, đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(4;+\infty )$. Trên $(-4;-2)$ hàm số đồng biến nên ý c) Sai.
d) Tiệm cận xiên: $y=\frac{a}{c}x+\frac{bc+a}{c^2}$. Từ $\frac{a}{c}=2$ suy ra $a=2c$; từ $\frac{bc+a}{c^2}=1$ kết hợp đồ thị qua $M(-1;3)$: $\frac{a-b+3}{-c-1}=3\Rightarrow a-b+3c+6=0$. Với $a=2c$: $b=5c+6$, khi đó $\frac{c(5c+6)+2c}{c^2}=5+\frac{8}{c}=1\Rightarrow c=-2$ (nguyên), $a=-4$, $b=-4$. Vậy $ac-b=8+4=12>2$, ý d) Sai.