Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{a-bc}{(cx+1{)}^2}$ với $x\ne -\frac{1}{c}$.
Từ bảng biến thiên:
- Tiệm cận đứng $x=-2⟹-\frac{1}{c}=-2⟹c=\frac{1}{2}>0$.
- Tiệm cận ngang $y=3⟹\frac{a}{c}=3⟹a=3c=\frac{3}{2}>0$.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $⟹a-bc<0⟹bc>a$.
Vì $c>0$ và $a>0$ nên $b>\frac{a}{c}=3>0$.
Vậy cả ba số $a,b,c$ đều dương, tức là có 3 số dương.

Nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị đi xuống (${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$) nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục hoành nên tại $x=0$ ta có $y=d>0$.

Đồ thị là của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng $x=-1<0$, tiệm cận ngang $y=-1<0$, và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $(0;2)$, ứng với hàm số $y=\frac{-x+2}{x+1}$.

Từ đồ thị ta có ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty \Rightarrow a<0$; giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên $d<0$. Hai điểm cực trị $x_1<0<x_2$ trái dấu và có $x_1+x_2>0$, nên $\frac{c}{3a}=x_1{x}_2<0\Rightarrow c>0$ và $-\frac{2b}{3a}=x_1+x_2>0\Rightarrow b>0$. Vậy có $2$ số dương là $b$ và $c$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 3 chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, ta thấy:
- Đây là đồ thị của hàm đa thức bậc ba với hệ số $a<0$ vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$.
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1,y_{CT}=0$ và đạt cực đại tại $x=1,y_{extCĐ}=4$.

Xét hàm số $y=-x^3+3x+2$:
- $y^{\prime }=-3x^2+3=0⟺x=\pm 1$.
- $y(-1)=-(-1{)}^3+3(-1)+2=1-3+2=0$.
- $y(1)=-(1{)}^3+3(1)+2=-1+3+2=4$.
Hàm số thỏa mãn toàn bộ bảng biến thiên.

Chọn đáp án C.

Đồ thị là của hàm trùng phương có hệ số $a<0$, có $3$ điểm cực trị tại $x=0$ và $x=\pm 1$, đi qua $(0;-1)$, tương ứng với hàm số $y=-x^4+2x^2-1$.

Từ đồ thị ta có ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty \Rightarrow a>0$; giao điểm với trục tung nằm phía trên trục hoành nên $d>0$. Hai điểm cực trị $x_1\in (-2;0)$ và $x_2=2$ trái dấu và có $x_1+x_2>0$, nên $c<0$ và $-\frac{2b}{3a}=x_1+x_2>0\Rightarrow b<0$. Do đó $bc>0$, mệnh đề $bc<0$ sai.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh cuối đi lên ($a>0$), có 3 điểm cực trị ($ab<0$) và cắt trục tung tại điểm $(0;2)$. Suy ra hàm số cần tìm là $y=x^4-2x^2+2$.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Dựa vào đồ thị:
- Nhánh ngoài cùng đi xuống khi $x\to +\infty ⟹a<0$.
- Đồ thị có 3 điểm cực trị nên $ab<0⟹b>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm dưới trục hoành nên $c<0$.
Vậy $a<0,b>0,c<0$.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số nhất biến:
- Tiệm cận đứng $x=-1$.
- Tiệm cận ngang $y=2$.
- Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-2)$ và cắt trục hoành tại $(1;0)$.
Hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$ thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có nét cuối đi xuống nên $a<0$. Do đó loại phương án A, C (hàm bậc 4).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;-2)$, do đó $d=-2$. Loại phương án D (có $d=2$).
Vậy hàm số có đồ thị đã cho là $y=-x^3+2x-2$.
Chọn B.

Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$:
- Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1\Rightarrow a=-1$.
- Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)\Rightarrow 2a+b=0\Rightarrow b=-2a=2$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)\Rightarrow \frac{b}{c}=-2\Rightarrow c=-\frac{b}{2}=-1$.
Khi đó: $a+2b+3c=(-1)+2(2)+3(-1)=-1+4-3=0$.
Chọn A.

Chọn C.
Nhìn vào đồ thị ta thấy nhánh bên phải đi xuống nên hệ số $a<0$. Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ và có các điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$ với giá trị cực đại bằng 3. Hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ thỏa mãn $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0,x=2$ và $y(0)=-1,y(2)=3$.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có nét cuối đi lên, suy ra $a>0$. Do đó ta loại các phương án B, C (bậc 4) và D ($a<0$).
Phương án A: $y=x^3-3x^2+3$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, đồ thị đi qua điểm cực đại $(0;3)$ và điểm cực tiểu $(2;-1)$, hoàn toàn phù hợp với hình vẽ.
Chọn A.

Từ bảng biến thiên:
- Khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$ nên hệ số $a<0$, loại phương án A và C.
- Tại $x=0$, $y=2$, do đó hệ số tự do $c=2$. Loại phương án B (có $y(0)=1$).
Vậy hàm số cần tìm là $y=-x^4+2x^2+2$.
Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành:
$(x-2)(x^2+1)=0\iff x=2$ (vì $x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$).
Phương trình có duy nhất 1 nghiệm thực $x=2$, suy ra $(C)$ cắt trục hoành tại đúng một điểm $(2;0)$.
Chọn B.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Dựa vào hình dạng đồ thị:
- Đây là dạng đồ thị của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
- Nhánh bên phải đi xuống khi $x\to +\infty$ nên hệ số $a<0$, loại đáp án D.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$, tức $f(0)=3$, loại đáp án A.
- Phương án C là hàm bậc bốn trùng phương, không phù hợp dạng đồ thị.
Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=-x^3-3x^2+3$.

Đồ thị là của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, nên là hàm số $y=x^3-3x+1$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) Sai: Đồ thị đi qua $(0;2)$.
b) Đúng: Trên $(2;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.
c) Sai: Trên $[1;3]$, ${\min }_{[1;3]}y=y(2)=-2$.
d) Sai: Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$.

Đường cong trong hình là đồ thị hàm số bậc ba có nhánh ngoài cùng bên phải đi xuống ($a<0$) và có hai điểm cực trị, nên hàm số là $y=-x^3+3x+1$.