Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị là hàm số bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty \Rightarrow a<0$, đạt cực tiểu tại $(0;-4)$ và cực đại tại $(2;0)$, nên hàm số là $y=-x^3+3x^2-4$.

Đồ thị là đường cong của hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$:
- Nhánh ngoài cùng đi xuống ($x\to \pm \infty ,y\to -\infty$) nên hệ số $a<0$.
- Đồ thị có 3 điểm cực trị nên $ab<0⟹b>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ nên $c=1$.
Do đó hàm số là $y=-x^4+2x^2+1$.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, trên khoảng $(0;3)$, hàm số giảm từ $2$ xuống $-2$ rồi tăng lên $2$, do đó ${\min }_{(0;3)}y=-2$ tại $x=1$.
Phương án A sai vì hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu mới là $-2$.
Phương án C sai vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=+\infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang.
Phương án D sai vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$.

Chọn B.
Đồ thị có nhánh phải đi lên nên hệ số $a>0$, loại đáp án C.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$, suy ra hệ số tự do $d=1>0$, loại đáp án A.
Đồ thị đi qua điểm cực đại $(-1;3)$: thay $x=-1$ vào hàm số $y=x^3-3x+1$ ta được $y=(-1{)}^3-3(-1)+1=3$ (thỏa mãn).
Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là $y=x^3-3x+1$.

Dựa vào hình vẽ, đồ thị có nét cuối đi xuống nên hệ số $a<0$, do đó loại phương án A và B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;-2)$ và có điểm cực trị tại $x=0$, $x=2$.
- Với $y=-x^3+3x^2-2$, ta có $y(0)=-2$ và $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ (thỏa mãn).

Do đó chọn C.

Quan sát đồ thị ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía trên hoặc trên trục hoành ($y\ge 0$).
Đồ thị nhận $x=1$ làm tiệm cận đứng và $y=2$ làm tiệm cận ngang, giao điểm với trục hoành tại điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$.
Đây chính là đồ thị của hàm số $y=\left|\frac{2x-3}{x-1}\right|$.

Do đó chọn C.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{b}{c}=2⟹b=-2c$, tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1⟹a=c$, và cắt trục tung tại $\left(0;\frac{2}{b}\right)=(0;-1)⟹b=-2$. Suy ra $c=1,a=1,b=-2$.

Từ đồ thị hàm số ta thấy:
- Tiệm cận đứng: $x=-1$.
- Tiệm cận ngang: $y=2$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$.
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
Xét hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$:
- Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$.
- Với $x=0⟹y=-1$.
- Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ (hàm số đồng biến).
Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ta có:
1. Nhánh bên phải đồ thị đi xuống ($x\to +\infty ,y\to -\infty$) nên hệ số $a<0$.
2. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, tức là $y(0)=d<0$.
3. Hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<0<x_2$ và $|x_2|>|x_1|$ (điểm uốn có hoành độ dương):
- Phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu $⟹x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$. Vì $a<0$ nên $c>0$.
- Tổng hai nghiệm $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$. Vì $a<0$ nên $b>0$.
Vậy ta có $a<0,b>0,c>0,d<0$.

Chọn D.
Đường cong có dạng đồ thị hàm số bậc ba nên loại các đáp án A và C.
Nhánh ngoài cùng bên phải đi xuống (${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$) nên hệ số $a<0$, do đó loại đáp án B.
Vậy đồ thị đã cho là của hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$ ($a<0$), đạt cực tiểu tại $(0;-4)$ và đạt cực đại tại $(2;0)$, cắt trục hoành tại $(-1;0)$. Hàm số tương ứng là $y=-x^3+3x^2-4$.

Quan sát đồ thị hàm số bậc ba:
- Nhánh cuối cùng đi xuống khi $x\to +\infty$ nên hệ số $a<0$, loại đáp án A và B.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)$.
- Đồ thị đi qua điểm $(1;1)$. Thử hàm số ở đáp án D: $y=-x^3+3x^2-3x+2$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x-3=-3(x-1{)}^2\le 0$ với mọi $x$, tiếp tuyến tại điểm uốn $(1;1)$ có hệ số góc bằng 0, hoàn toàn phù hợp với hình vẽ.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 17 chọn đáp án C.

Đường cong là đồ thị của hàm số bậc ba với nhánh bên phải đi xuống, do đó hệ số của $x^3$ âm ($a<0$).
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0;0)$ và cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Xét hàm số $y=-x^3+x^2+2x=-x(x^2-x-2)=-x(x-2)(x+1)$ có các nghiệm $x=0,x=2,x=-1$, hoàn toàn phù hợp với hình vẽ.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 39 chọn đáp án B.

Từ bảng biến thiên:
- Đường tiệm cận đứng là $x=2$, suy ra nghiệm mẫu số $bx+c=0⟺x=-\frac{c}{b}=2\Rightarrow c=-2b$.
- Đường tiệm cận ngang là $y=1$, suy ra $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$.
- Chọn $b>0$, khi đó $a=b>0$ và $c=-2b<0$ (có 1 số âm là $c$).
Kiểm tra tính đơn điệu: đạo hàm $y^{\prime }=\frac{ac-(-5b)}{(bx+c{)}^2}=\frac{-2b^2+5b}{(bx+c{)}^2}$. Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, cần $-2b^2+5b<0$, chọn $b>\frac{5}{2}$ thì đạo hàm luôn âm phù hợp bảng biến thiên.
Vậy trong 3 số $a,b,c$ có đúng 1 số âm.

Chọn đáp án B.

Đồ thị là đường cong của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$, đạt cực đại tại $(-2;4)$ và cực tiểu tại $(0;0)$, tương ứng với hàm số $y=x^3+3x^2$.

Từ đồ thị: nhánh cuối đi lên nên $a>0$; hàm số có $3$ điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b<0$; giao điểm với trục tung nằm dưới gốc toạ độ nên $c<0$. Vậy có $2$ số âm là $b$ và $c$.

Chọn B.
Đường cong có dạng đồ thị hàm số trùng phương bậc bốn với nhánh cuối đi lên ($a>0$) và có 3 điểm cực trị ($ab<0$). Do đó $y=x^4-2x^2$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 12 chọn đáp án A.

Đường cong có dạng đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với nhánh bên phải hướng lên trên nên hệ số $a>0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=3>0$ và có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=0,y=3$ và cực tiểu tại $x=2,y=-1$).
Xét hàm số $y=x^3-3x^2+3$:
- $y^{\prime }=3x^2-6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$.
- $y(0)=3$ và $y(2)=2^3-3(2^2)+3=-1$.
Hoàn toàn phù hợp với đồ thị đã cho.

Chọn đáp án A.

Chọn C.
Từ hình vẽ ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc ba dạng $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
Vì nhánh cuối của đồ thị đi xuống ($x\to +\infty ,y\to -\infty$) nên hệ số $a<0$.
Vậy hàm số có đồ thị đã cho là $y=-x^3+3x-1$.