Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lũy thừa (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=(x-1{)}^{2026}$ là hàm đa thức (lũy thừa nguyên dương của biểu thức $x-1$), nên xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}$, trùng với đáp án B trong bảng đáp án của đề (đề 1112, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có $x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$. Do đó $P=\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}}={\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}$. Vậy $P=x^{\frac{1}{2}}$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án nguồn (đề 1111, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $\frac{x^{\beta }}{x^{\alpha }}=x^{\beta -\alpha }$, do đó khẳng định A ($\frac{x^{\beta }}{x^{\alpha }}=x^{\alpha -\beta }$) là sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng: $x^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\alpha +\beta }$; ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{\alpha }=\frac{x^{\alpha }}{y^{\alpha }}$; $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$ (với $x,y>0$, $\alpha ,\beta$ tùy ý). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1002: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: với $a>0$ và số hữu tỉ $\frac{p}{q}$ ($q$ nguyên dương), ta có $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$. Áp dụng với số hữu tỉ $\frac{n}{m}$ trong đó $m$ là số nguyên dương, ta được $a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$. Do đó khẳng định đúng là B (khớp với đáp án nguồn). Các phương án A, C, D đều sai vì không đúng định nghĩa này.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: với $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. Do đó khẳng định đúng là D. Các phương án A, B, C đều sai vì không khớp định nghĩa (A sai do $a^m-a^n$ là hiệu hai lũy thừa; B sai vì căn bậc $m$ của $a^n$; C sai vì thương $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $x^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\alpha +\beta }$ (đúng), ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$ (đúng), $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$ (đúng). Còn $x^{\alpha }{y}^{\beta }=(xy{)}^{\alpha +\beta }$ là sai vì $x^{\alpha }{y}^{\beta }\ne (xy{)}^{\alpha +\beta }$ nói chung (ví dụ $x=y=2,\alpha =\beta =1$: $2\cdot 2=4$ còn $(2\cdot 2{)}^2=16$). Vậy khẳng định sai là B, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Các tính chất lũy thừa đúng: $x^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\alpha +\beta }$ (A đúng), $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$ (C đúng), $(x^{\alpha }{)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$ (D đúng). Khẳng định B sai vì $x^{\alpha }\cdot y^{\beta }=(xy{)}^{\alpha +\beta }$ chỉ đúng khi $\alpha =\beta$; ví dụ $x=y=2,\alpha =1,\beta =2$: $2^1\cdot 2^2=8\ne (4{)}^3=64$. Vậy khẳng định sai là B, trùng đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Các lũy thừa đúng: $(x^{\alpha }{)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$ (A đúng), $x^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\alpha +\beta }$ (B đúng), $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$ (D đúng). Khẳng định C sai vì $x^{\alpha }{y}^{\beta }=(xy{)}^{\alpha +\beta }$ chỉ đúng khi $\alpha =\beta$; ví dụ $x=2,y=3,\alpha =1,\beta =2$: $2\cdot 9=18\ne 6^3=216$. Vậy khẳng định sai là C, trùng đáp án đề (Câu 6, mã 1354: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a\ne 0$, theo quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $P=a^5\cdot a^{-2}=a^{5+(-2)}=a^3$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Các tính chất lũy thừa đúng với $x,y>0$, $m,n$ nguyên: $(xy{)}^m=x^m{y}^m$, $(x^m{)}^n=x^{mn}$, $x^m{x}^n=x^{m+n}$. Mệnh đề $x^m+y^n=(x+y{)}^m$ sai, ví dụ $x=1,y=2,m=2,n=1$: $1^2+2^1=3\ne (1+2{)}^2=9$. Vậy mệnh đề sai là C, khớp đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $(2^{-2}{)}^{-1}=2^2=4$ nên ý a) sai (không phải $\frac{1}{4}$). Tính $(3^{-1}{)}^{-3}=(3^{-3}{)}^{-1}=3^3=27$ nên ý b) đúng. Tổng $K=27+4=31$ không là số chính phương nên ý c) sai. $31-2=29$ nên ý d) đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 102: S, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(2^{-2}{)}^{-1}=2^{(-2)(-1)}=2^2=4\ne \frac{1}{4}$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(3^{-1}{)}^{-3}=(3^{-3}{)}^{-1}=3^3=27$, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$K=27+4=31$, mà $31$ không là số chính phương ($25<31<36$), nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$27+4-2=29$, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ với $a>0$, nên khẳng định A đúng. B sai vì $a^m-a^n$ là hiệu hai lũy thừa, không bằng $a^{m-n}$ (ví dụ $a=2,m=2,n=1$: $4-2=2\ne 2^1=2$ — thực ra ví dụ này trùng, lấy $a=2,m=3,n=1$: $8-2=6\ne 4$). C sai vì $(a+b{)}^m\ne a^m+b^m$ (ví dụ $(1+1{)}^2=4\ne 2$). D sai vì $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, không phải $a^{m.n}$. Đáp án khớp với mã đề 102, Câu 8: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ: với $a>0$, $\sqrt[6]{a^5}=a^{\frac{5}{6}}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ với $a>0$, nên A đúng. B sai vì $a^m-a^n$ là hiệu hai lũy thừa, không bằng $a^{m-n}$. C sai vì $(a+b{)}^m\ne a^m+b^m$ nói chung. D sai vì $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, không phải $a^{m\cdot n}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $(3^{-1}{)}^{-3}=3^3=27$ và $(2^{-2}{)}^{-1}=2^2=4$, tổng bằng $31$. a) $(3^{-1}{)}^{-3}=(3^{-3}{)}^{-1}=27$ đúng. b) $(2^{-2}{)}^{-1}=4\ne \frac{1}{4}$, sai. c) $27+4-2=29$, đúng. d) $K=31$ không là số chính phương, sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(3^{-1}{)}^{-3}=3^{(-1)(-3)}=3^3=27$ và $(3^{-3}{)}^{-1}=3^3=27$, nên mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(2^{-2}{)}^{-1}=2^2=4\ne \frac{1}{4}$, nên mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức bằng $27+4=31$, do đó $31-2=29$, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$K=27+4=31$ không phải số chính phương, nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, với $a>0$ ta có $\sqrt[6]{a^5}=a^{\frac{5}{6}}$ (số mũ hữu tỷ: tử số là số mũ của $a$, mẫu số là chỉ số của căn). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $(a^m{)}^n=a^{mn}=(a^n{)}^m$ nên A đúng. B sai vì $a^m+a^n$ không bằng $a^{m+n}$ (ví dụ $a=2,m=n=1$: $2+2=4=2^2$ đúng nhưng $a=2,m=1,n=2$: $2+4=6\ne 8$). C sai vì $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, không phải $a^{m-n}$. D sai vì $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, không phải $a^{n-m}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 288, câu 12: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số mũ: $(\sqrt{2}+1)+(2-\sqrt{2})-2=1$, nên biểu thức bằng $a^1=a$. Khớp đáp án A (mã đề 288, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số mũ: $(\sqrt{2}+1)+(2-\sqrt{2})-2=1$, nên biểu thức bằng $a^{\sqrt{2}+1+2-\sqrt{2}-2}=a^1=a$. Khớp đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 119, Câu 12: A).

$A=\frac{a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^2}$

$A=a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}-2}=a^2$.