Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $(P):3x-2z+2=0$:
- $B(4;2;1)$: $3\cdot 4-2\cdot 1+2=12\ne 0$.
- $A(1;2;4)$: $3\cdot 1-2\cdot 4+2=-3\ne 0$.
- $D(2;1;4)$: $3\cdot 2-2\cdot 4+2=6-8+2=0$, thỏa mãn.
- $C(2;4;-1)$: $3\cdot 2-2\cdot (-1)+2=10\ne 0$.
Vậy $(P)$ đi qua điểm $D(2;1;4)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ (vì $A{A}^{\prime }\perp AB$ và $A{A}^{\prime }\perp AD$). Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là một vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$. Các vectơ $\overrightarrow{AC}$ nằm trong $(ABCD)$, còn $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ không vuông góc với $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $(P):x+y+z-3=0$:
- $M(-1;-1;-1)$: $-1-1-1-3=-6\ne 0$.
- $N(1;1;1)$: $1+1+1-3=0$, thỏa mãn.
- $P(-3;0;0)$: $-3+0+0-3=-6\ne 0$.
- $Q(0;0;-3)$: $0+0-3-3=-6\ne 0$.
Vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N(1;1;1)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):3x+2y-4z+1=0$ có dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=3,B=2,C=-4$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{n}=(3;2;-4)$. So với các phương án: A $\overrightarrow{n_2}=(3;2;4)$ sai (tọa độ $z$ phải là $-4$); B $\overrightarrow{n_3}=(2;-4;1)$ sai; C $\overrightarrow{n_1}=(3;-4;1)$ sai; D $\overrightarrow{n_4}=(3;2;-4)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Quy đồng mẫu số với mẫu chung là 6, ta được: $6x+3y+2z=6$. Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n}=(6;3;2)$, trùng với $\overrightarrow{n_1}$ ở phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$, trục $Oz$ và vuông góc với trục $Oy$, nên mọi điểm của nó có tung độ $y=0$. Vậy phương trình của $(Oxz)$ là $y=0$. Đáp án B.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận $\vec{n}=(-4;3;0)$ làm vectơ pháp tuyến là: $-4(x-0)+3(y-0)=0\iff -4x+3y=0$.

Mặt phẳng $(P):2x-3z-5=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{u}=(2;0;-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$. Xét từng phương án: A) $2x+y+3z^2-1=0$ có chứa $z^2$ (bậc hai) nên không phải mặt phẳng. B) $\frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{3}{x}=1$ không phải phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (có mẫu chứa biến) nên không phải. C) $x-z=1$ tương đương $x-z-1=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (hệ số của $y$ bằng 0), đây là mặt phẳng song song với trục $Oy$. D) $x.y.z=1$ là phương trình bậc ba, không phải mặt phẳng. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $Oxz$ là tập các điểm có tung độ $y=0$, nên phương trình là $y=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2y+3z-1=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=-2,C=3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2;3)$. Đây chính là $\overrightarrow{n_4}$ ở phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(1;2;-3)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có dạng $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0$, tức $x-2y+3z+12=0$. Kiểm tra: thay $A$ vào $x-2y+3z+12=1-4-9+12=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-3y-z+8=0$ có hệ số của $x,y,z$ lần lượt là $1;-3;-1$, do đó một vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-3;-1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, tức là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$. Xét các phương án: A: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z+4=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (nhân 6 được $2x+3y-6z+24=0$), nên là phương trình mặt phẳng. B, C chứa $x^2,y^2,z^2,yz$ (bậc hai), D chứa $xy$ (bậc hai), đều không phải mặt phẳng. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0 (bậc nhất theo $x,y,z$).
- A: $x^2-2y^2+z^2+2=0$ có các số hạng bậc hai, không phải mặt phẳng.
- B: $xy+z-2=0$ có số hạng $xy$ bậc hai, không phải mặt phẳng.
- C: $x^2-2yz-9=0$ có các số hạng bậc hai, không phải mặt phẳng.
- D: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z+4=0$ là phương trình bậc nhất theo $x,y,z$ (dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=\frac{1}{3},B=\frac{1}{2},C=-1,D=4$), nên là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(5;2;1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+8=0$ là $d(A,(\alpha ))=\frac{|5+2\cdot 2-2\cdot 1+8|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|15|}{3}=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2z+3=0$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=1$, $b=0$, $c=-2$, $d=3$. Do đó một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(a;b;c)=(1;0;-2)$. Véc tơ này trùng với đáp án A. Đáp án này cũng khớp với đáp án của đề (mã đề 1002, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là $d(A,(P))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-2z+3=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=0,C=-2,D=3$, nên một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;0;-2)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là $d(A,(P))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, với điều kiện $a^2+b^2+c^2\ne 0$. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả không âm, mẫu là độ dài vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$. Do đó đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 4: A).