Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: (P): x−2=0 có vectơ pháp tuyến n_P=(1;0;0); (Q): y−z−1=0 có n_Q=(0;1;−1).
a) Sai: pháp tuyến của (P) là (1;0;0), không phải (1;−2;0).
b) Đúng: n_P·n_Q = 1·0+0·1+0·(−1)=0 nên (P)⊥(Q).
c) Đúng: mặt phẳng song song (Q) có dạng y−z+c=0; qua A(−1;2;3): 2−3+c=0 ⇒ c=1, được y−z+1=0.
d) Đúng: mặt phẳng vuông góc với cả (P) và (Q) có pháp tuyến n = n_P×n_Q = (0·(−1)−0·1; 0·0−1·(−1); 1·1−0·0) = (0;1;1). Qua A: 0(x+1)+(y−2)+(z−3)=0 ⇒ y+z−5=0.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P): x−2=0 có vectơ pháp tuyến (1;0;0), không phải (1;−2;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
n_P·n_Q=(1;0;0)·(0;1;−1)=0 nên (P) vuông góc (Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song (Q): y−z+c=0; thay A: 2−3+c=0 ⇒ c=1, được y−z+1=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
n=n_P×n_Q=(0;1;1); qua A(−1;2;3): (y−2)+(z−3)=0 ⇒ y+z−5=0.

(AI giải đề cho tôi)
Vì B(4k;3k;2k) thuộc mặt phẳng (CBEF): z−3=0 nên 2k=3 ⇒ k=1,5 ⇒ B(6; 9/2; 3).
a) Đúng: B=(6; 9/2; 3).
b) Sai: mặt phẳng z−3=0 có vectơ pháp tuyến (0;0;1); (0;1;−3) không vuông góc với mặt phẳng này (ví dụ (0;1;0) nằm trong mặt phẳng nhưng (0;1;−3)·(0;1;0)=1≠0).
c) Đúng: (AOBC) qua O, A(50;0;0), B(6;4,5;3). n = OA×OB = (0;−150;225) ∝ (0;−2;3), phương trình 2y−3z=0. Thử B: 2·4,5−3·3=0 ✓.
d) Sai: (DOBE) chứa O, D(0;20;0), B(6;4,5;3). Với p=(2;0;−1): p·OB = 12−3 = 9 ≠ 0 nên p không là pháp tuyến. Pháp tuyến đúng dạng (1;0;−2) (thỏa D: 0=0, B: 6−6=0, E(6;20;3): 6−6=0).
a) (AI giải đề cho tôi)
B thuộc (CBEF): z−3=0 nên 2k=3, k=1,5, B=(6; 9/2; 3).
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng z−3=0 có pháp tuyến (0;0;1), không phải (0;1;−3).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AOBC) qua O, A(50;0;0), B(6;4,5;3). n = OA×OB = (0;−150;225) ∝ (0;−2;3), phương trình 2y−3z=0. Thử B: 2·4,5−3·3=0 ✓.
d) (AI giải đề cho tôi)
p=(2;0;−1)·OB=(6;4,5;3) = 12−3 = 9 ≠ 0 nên p không vuông góc OB; pháp tuyến đúng là (1;0;−2).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: M(1;3;-2), (P): 2x-y+3z+4=0, (Q): 4x-2y+6z-1=0.
a) d(M,(P)) = |2·1 - 3 + 3·(-2) + 4|/√(4+1+9) = |-3|/√14 = 3/√14 = 3√14/14 ≈ 0,80, khác 15/√56 ≈ 2,00 → Sai.
b) n_P=(2;-1;3), n_Q=(4;-2;6)=2n_P nên (P)//(Q), không vuông góc → Sai.
c) (Q): 2x-y+3z-1/2=0. Khoảng cách = |4-(-1/2)|/√14 = (9/2)/√14 = 9/(2√14) = 9√14/28 = 9√56/56 → Đúng.
d) Mặt phẳng qua M song song (P): 2x-y+3z+d=0 với 2-3-6+d=0 ⇒ d=7, phương trình là 2x-y+3z+7=0, không phải 2x-y+3z-10=0 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P)) = |2·1 - 3 + 3·(-2) + 4|/√14 = |-3|/√14 = 3√14/14 ≈ 0,80 ≠ 15/√56 ≈ 2,00 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
n_Q = (4;-2;6) = 2n_P nên (P)//(Q), không vuông góc → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x-y+3z-1/2=0; d = |4+1/2|/√14 = 9/(2√14) = 9√56/56 → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
2·1 - 3 + 3·(-2) + d = 0 ⇒ d = 7, phương trình là 2x-y+3z+7=0, không phải 2x-y+3z-10=0 → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là vị trí bạn nữ (gốc tọa độ), bạn nam ở B(0;4;0) trên trục Oy (hình vẽ cho đoạn 3 m vuông góc với trục Oy tại chân bạn nam). Điểm rơi H nằm trên mặt đất, lệch sang phải theo trục Ox nên H(3;4;0). Kiểm tra: OH = √(3²+4²) = 5 (m) khớp dữ kiện 'cách bạn nữ 5 m', và HB = 3 (m) khớp 'cách bạn nam 3 m'. Mặt phẳng (P): ax + 3y = 0 đi qua O và chứa H (quỹ đạo nằm trong (P)), thay tọa độ H: a·3 + 3·4 = 0 ⟹ 3a = −12 ⟹ a = −4.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: D(0;0;0), A(6;0;0), B(6;5;0), C(0;5;0); E(6;0;8), F(6;5;8), H(0;0;h), G(0;5;h). Mặt phẳng (HEFG): x + by + cz + d = 0. Thay E: 6 + 8c + d = 0; thay F: 6 + 5b + 8c + d = 0 ⇒ b = 0. Thay H: ch + d = 0. Góc giữa (HEFG) và (Oxy) là 30°: cos30° = |c|/√(1+c²) ⇒ c² = 3. Vì mái dốc lên phía D (h > 8) nên z tăng khi x giảm ⇒ c = √3. Suy ra d = −(6 + 8√3), kiểm tra h = −d/c = 8 + 2√3 ≈ 11,46 > 8 thỏa mãn. Vậy T = b + 3c − 5d = 3√3 + 5(6 + 8√3) = 30 + 43√3 ≈ 104,48 ≈ 104.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;3;-2) vào (β): 2·1+3+(-2)-3=0 nên (β) qua M. Tuy nhiên n_β=(2;1;1) không cùng phương với n_α=(2;1;-1) (tỉ số 2/2=1, 1/1=1 nhưng 1/(-1)=-1), nên (β) không song song (α) → Sai.
b) n_γ=(1;-3;-1), n_α=(2;1;-1). Tích vô hướng: 1·2+(-3)·1+(-1)·(-1)=2-3+1=0 nên (γ)⊥(α) → Đúng.
c) (P): y+z-1=0: qua M vì 3+(-2)-1=0; n_P=(0;1;1) có thành phần theo x bằng 0 nên (P) song song trục Ox; n_P·n_α=0·2+1·1+1·(-1)=0 nên (P)⊥(α) → Đúng.
d) d(M,(α))=|2·1+3-(-2)+5|/√6=12/√6=2√6. Xét các mặt phẳng (α_d): 2x+y-z+d=0 song song (α). Khoảng cách từ M: |2+3+2+d|/√6=|12+d|/√6=2√6 ⟺ |12+d|=12 ⟺ d=0 hoặc d=-24. Vậy có đúng hai mặt phẳng: 2x+y-z=0 và 2x+y-z-24=0 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(β) qua M nhưng n_β=(2;1;1) không cùng phương n_α=(2;1;-1) nên không song song (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
n_γ·n_α=2-3+1=0 nên (γ)⊥(α).
c) (AI giải đề cho tôi)
(P): y+z-1=0 qua M, n_P=(0;1;1)⊥Ox và n_P·n_α=0 nên thỏa mọi điều kiện.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(α))=12/√6=2√6; |12+d|/√6=2√6 cho d=0 hoặc d=-24, tức có hai mặt phẳng 2x+y-z=0 và 2x+y-z-24=0.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 21: bé gái đứng tại gốc $O(0;0;0)$, bé trai đứng tại $C$ trên trục $Oy$, quả bóng rơi tại điểm $B$ với $OB=5m$ và lệch $3m$ về bên phải (phương $Ox$) so với $C$. Tam giác $OBC$ vuông tại $C$: $OC=\sqrt{5^2-3^2}=4$, suy ra $C(0;4;0)$ và $B(3;4;0)$.
a) $C(0;4;0)$: Đúng.
b) $B(4;3;0)$: Sai, tọa độ đúng là $B(3;4;0)$ vì $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
c) Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên song song với trục $Oz$, có dạng $ax+by+c=0$ (không có $z$). Nó đi qua $O(0;0;0)$ nên $c=0$, và đi qua $B(3;4;0)$ nên $3a+4b=0$. Chọn $a=4,b=-3$ được $4x-3y=0$. Phương trình $4x-3y+z=0$ sai vì chứa $z$ (không vuông góc mặt đất, không có dạng $ax+by+c=0$). Vậy c) Sai.
d) Với $4x-3y+0=0$ thì $a+b+c=4-3+0=1$. Vậy d) Đúng.

Lưu ý: các trang nguồn được cung cấp (21, 22) không chứa đáp án chính thức cho câu này; các đánh giá Đúng/Sai trên do AI giải dựa trên hình vẽ trang 21.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bé gái đứng tại $O(0;0;0)$, bé trai đứng tại $C$ trên trục $Oy$, quả bóng rơi tại $B$ với $OB=5$ và $BC=3$ (lệch $3m$ về bên phải, phương $Ox$). Tam giác $OBC$ vuông tại $C$ nên $OC=\sqrt{O{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{25-9}=4$, do đó $C(0;4;0)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $C(0;4;0)$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống trục $Oy$ và $BC=3$ theo phương $Ox$, nên $B(3;4;0)$ (kiểm tra $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$). Mệnh đề $B(4;3;0)$ Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên song song với trục $Oz$, đi qua $O(0;0;0)$ và $B(3;4;0)$, có dạng $4x-3y=0$. Phương trình $4x-3y+z=0$ chứa $z$ (không vuông góc mặt đất) và không đi qua $B(3;4;0)$ (thay vào: $12-12+0=0$ nhưng có số hạng $z$ làm nó không thỏa dạng $ax+by+c=0$). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với phương trình đúng $4x-3y+0=0$ ta có $a=4,b=-3,c=0$, suy ra $a+b+c=1$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình: A(10;0;9), B(10;20;10), Q(5;20;7), C(0;20;10), D(0;0;9).
a) VTAB = (0;20;1), VTAQ = (-5;20;-2), tích có hướng: (-60;-5;100). Thay A: -600+900+d=0 ⇒ d=-300. Vậy (ABQ): -60x-5y+100z-300=0. Đúng.
b) VTCD = (0;-20;-1), VTCQ = (5;0;-3), tích có hướng: (60;-5;100). Thay D(0;0;9): 900+d=0 ⇒ d=-900. Vậy (CDQ): 60x-5y+100z-900=0 (không phải +900). Sai.
c) Giao tuyến hai mặt phẳng: trừ hai phương trình được -120x+600=0 ⇒ x=5; thay vào (ABQ): -300-5y+100z-300=0 ⇒ 100z-5y=600. P nằm ở mặt trước y=0 ⇒ z=6. Vậy P(5;0;6). Đúng.
d) a+b+c = 5+0+6 = 11. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTAB=(0;20;1), VTAQ=(-5;20;-2) ⇒ n=(-60;-5;100); thay A(10;0;9) được d=-300, nên (ABQ): -60x-5y+100z-300=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
n=(60;-5;100), thay D(0;0;9) được d=-900, nên (CDQ): 60x-5y+100z-900=0, mệnh đề sai dấu hằng số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến: trừ hai pt mặt phẳng được x=5; tại y=0 (mặt trước) suy ra z=6, nên P(5;0;6).
d) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c = 5+0+6 = 11.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(2;1;5) đến mặt phẳng (P): 2x−y−2z+13=0 là d = |2·2 − 1 − 2·5 + 13| / √(4+1+4) = |−6|/3 = 2. Vùng quan sát trên (P) là hình tròn với nửa góc ở đỉnh bằng 116°/2 = 58°, nên bán kính r = d·tan58° = 2·tan58° ≈ 3,2037. Đường kính = 2r ≈ 6,4074 ≈ 6,4.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt Nam tại O(0;0;0), An tại A(0;4,5;0) trên trục Oy (theo hình vẽ trang 22). Gọi M(x;y;0) là điểm rơi của bóng với x>0 (lệch sang phải của Nam). Ta có OM = 4,5 và MA = 0,5:
$$x^2+y^2=20,25,x^2+(y-4,5{)}^2=0,25.$$
Trừ hai phương trình: $y^2-(y-4,5{)}^2=20\Rightarrow 9y-20,25=20\Rightarrow y=\frac{40,25}{9}\approx 4,4722$.
Suy ra $x^2=20,25-{\left(\frac{40,25}{9}\right)}^2\approx 0,2492\Rightarrow x\approx 0,4992$.
Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa quỹ đạo nên đi qua Nam O(0;0;0) và điểm rơi M, do đó $d=0$.
$(\alpha )$ vuông góc với mặt đất nên pháp tuyến $(a;\frac{1}{2};c)$ vuông góc với trục Oz, tức $c=0$.
Vì M thuộc $(\alpha )$: $a\cdot x+\frac{1}{2}y=0\Rightarrow a=-\frac{y}{2x}=-\frac{4,4722}{2\cdot 0,4992}\approx -4,4788$.
Vậy $a+c+d\approx -4,4788\approx -4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6)$ có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$, tức $6x+3y+2z-12=0$. Vì $(P)\parallel (ABC)$ và có dạng $ax+by+2z+d=0$ nên $(P):6x+3y+2z+d=0$. Khoảng cách từ $D(2;4;6)$ đến $(P)$: $\frac{|6\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 6+d|}{7}=\frac{|36+d|}{7}$. Khoảng cách từ $(ABC)$ đến $(P)$ (lấy điểm $A$): $\frac{|12+d|}{7}$. Cách đều: $|36+d|=|12+d|\Rightarrow 36+d=-(12+d)\Rightarrow d=-24$. Khi đó $(P):6x+3y+2z-24=0$, thỏa $a=6,b=3\in \mathbb{Z}$ và hai mặt phẳng phân biệt (không trùng). Vậy $d=-24$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3:
a) Đúng. Phương trình $(P):x+y+z-6=0$ có hệ số của $x,y,z$ là $(1;1;1)$, nên một VTPT là $\vec{n}=(1;1;1)$.
b) Sai. $\overrightarrow{BC}=C-B=(7;-3;4)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;6;0)$ có VTPT $\overrightarrow{BC}$: $7(x-1)-3(y-6)+4z=0\iff 7x-3y+4z+11=0$, khác $3x-3y+4z+15=0$.
c) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(-3;-4;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-7;3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-19;5;37)$. Phương trình: $-19(x-1)+5(y-6)+37z=0\iff 19x-5y-37z+11=0$. Thử $A$: $19-30+0+11=0$ đúng.
d) Đúng. $MA=MB$: $2M\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2=9-37=-28\Rightarrow 3a+4b+c=14$. $MA=MC$: $2M\cdot (C-A)=|C{|}^2-|A{|}^2=35-37=-2\Rightarrow 4a-7b+3c=-1$. Cùng với $a+b+c=6$: trừ phương trình thứ nhất cho $(P)$ được $2a+3b=8$; trừ phương trình thứ hai cho 3 lần $(P)$ được $a-10b=-19$. Giải hệ: $b=2$, $a=1$, $c=3$. Vậy $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x+y+z-6=0$ có hệ số của $x,y,z$ là $(1;1;1)$, nên $\vec{n}=(1;1;1)$ là một VTPT của $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(7;-3;4)$. Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;6;0)$ có VTPT $\overrightarrow{BC}$: $7(x-1)-3(y-6)+4z=0\iff 7x-3y+4z+11=0$, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-4;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-7;3)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-19;5;37)$. Phương trình: $-19(x-1)+5(y-6)+37z=0\iff 19x-5y-37z+11=0$. Thử $A$: $19-30+0+11=0$ đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$MA=MB$: $2M\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2=-28\Rightarrow 3a+4b+c=14$. $MA=MC$: $2M\cdot (C-A)=|C{|}^2-|A{|}^2=-2\Rightarrow 4a-7b+3c=-1$. Cùng $a+b+c=6$: trừ phương trình thứ nhất cho phương trình $(P)$: $2a+3b=8$; trừ phương trình thứ hai cho 3 lần $(P)$: $a-10b=-19$. Giải ra $b=2,a=1,c=3$. Vậy $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\frac{1}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;-4)$, nên $\vec{n}=(1;-1;4)$ cũng là một pháp tuyến của $(ABC)$ → a đúng. Mặt phẳng qua $A(2;1;3)$ dạng $-x+y-4z+d=0$: $-2+1-12+d=0\Rightarrow d=13$, tức $-x+y-4z+13=0$, không phải $-x+y-4z-13=0$ → b sai. Thay $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$: $-4+0-\frac{56}{5}+13=-\frac{11}{5}\ne 0$ → c sai. Cắt $Ox$: $M(13;0;0)$; cắt $Oy$: $N(0;-13;0)$; $MN=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}\ne 13$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\frac{1}{2}\right)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;-4)$ nên $(1;-1;4)$ là một pháp tuyến của $(ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(2;1;3)$: $-2+1-12+d=0\Rightarrow d=13$, phương trình là $-x+y-4z+13=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$ vào $-x+y-4z+13=0$: $-4-\frac{56}{5}+13=-\frac{11}{5}\ne 0$ nên $D\notin (ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(13;0;0)$, $N(0;-13;0)$ nên $MN=\sqrt{169+169}=13\sqrt{2}\ne 13$.

(AI giải đề cho tôi)
Khối rubik 3×3×3 có cạnh 3 (đơn vị bằng cạnh khối nhỏ), thể tích $3^3=27$ → a đúng. $\overrightarrow{AC}=C-A=(-3;0;2)\ne (3;0;-2)$ → b sai. Mặt phẳng $(ABC)$ theo dạng đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1\iff 2x+2y+3z-6=0$, không phải $3x+3y+2z-6=0$ → c sai. $D(3k;3k;2k)\in (ABC)$: $2(3k)+2(3k)+3(2k)=18k=6\Rightarrow k=\frac{1}{3}$, nên $D(1;1;\frac{2}{3})$, khi đó $a+2b+3c=1+2+2=5$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rubik 3×3×3, cạnh 3 đơn vị, thể tích $V=3^3=27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(-3;0;2)$, không phải $(3;0;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $2x+2y+3z-6=0$; thử $A(3;0;0)$ vào $3x+3y+2z-6=0$ được $3\ne 0$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$18k=6\Rightarrow k=\frac{1}{3}$, $D(1;1;\frac{2}{3})$, $a+2b+3c=1+2+2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với gốc tại $A$, mặt phẳng nền là $Oxy$ (đơn vị mét): $A(0;0;0)$, $B(25;0;0)$, $D(0;15;0)$, $C(25;18;0)$ (vì $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$, $AB\parallel DC$... thực tế $BC\parallel AD$ không cần, chỉ cần tọa độ $C$ cách $B$ theo phương vuông góc với $AB$ một đoạn $18$ m).

Độ cao (cm) so với $A$: $z_A=0$, $z_B=-10$, $z_D=-6$, $z_C=-a$.

Mặt phẳng sân có dạng $z=px+qy+r$ (đơn vị cm, tọa độ mét). Vì mặt phẳng qua $A(0;0;0)$ với $z_A=0$ nên $r=0$.

Qua $B(25;0;0)$: $25p=-10\Rightarrow p=-0,4$.

Qua $D(0;15;0)$: $15q=-6\Rightarrow q=-0,4$.

Tại $C(25;18;0)$: $z_C=-0,4\cdot 25-0,4\cdot 18=-10-7,2=-17,2$ cm.

Vậy $a=17,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt phẳng $(OACB)$ đi qua $O(0;0;0)$ và $A(100;0;0)$ nên nó chứa trục $Ox$, do đó phương trình có dạng $y+cz=0$ (tức $a=0$, $d=0$). Điểm $B(10;10;8)$ thuộc mặt phẳng nên $10+8c=0\Rightarrow c=-1,25$. Vậy $a+c+d=0+(-1,25)+0=-1,25\approx -1,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P) qua A(2;1;-1), B(1;3;1) và song song trục Oy nên pháp tuyến n=(a;0;c) với n·AB=0, AB=(-1;2;2) ⇒ -a+2c=0 ⇒ a=2c, chọn n=(2;0;1). Qua A: 2·2+(-1)+d=0 ⇒ d=-3, vậy (P): 2x+z-3=0.
a) Sai: đề nói 2x+z+3=0 (dấu sai).
b) Đúng: AB·n = -2+0+2 = 0 nên vectơ AB vuông góc với pháp tuyến của (P).
c) (Q) chứa trục Oy ⇒ phương trình dạng ax+cz=0 (b=d=0). Khoảng cách từ A: |2a-c|/√(a²+c²) lớn nhất bằng √5 khi (a;c) cùng phương (2;-1), tức (Q): 2x-z=0. Với dạng 2x+by+cz+d=0 thì b=0, c=-1, d=0 ⇒ b+c+d=-1≠1 ⇒ Sai.
d) d(M,(P)) = |2·(-3)+(-2)-3|/√5 = 11/√5 = 11√5/5 ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P) có n=(2;0;1) và qua A(2;1;-1): 2·2-1+d=0 ⇒ d=-3, nên (P): 2x+z-3=0, không phải 2x+z+3=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-1;2;2), n=(2;0;1), AB·n=-2+2=0 nên giá của AB vuông góc với pháp tuyến của (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q) chứa Oy nên có dạng ax+cz=0. Khoảng cách từ A: |2a-c|/√(a²+c²) lớn nhất bằng √5 khi (a;c)=(2;-1), tức (Q): 2x-z=0 ⇒ b=0, c=-1, d=0 ⇒ b+c+d=-1≠1.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P))=|2·(-3)+(-2)-3|/√5=11/√5=11√5/5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA=a,OB=b,OC=c$ lập thành cấp số cộng công sai 2 nên $b=a+2,c=a+4$. Mặt phẳng $(ABC)$: $\frac{x}{a}+\frac{y}{a+2}+\frac{z}{a+4}=1$. Vì đi qua $M(2;-2;3)$: $\frac{2}{a}-\frac{2}{a+2}+\frac{3}{a+4}=1$. Biến đổi: $\frac{4}{a(a+2)}+\frac{3}{a+4}=1\Rightarrow 4(a+4)+3a(a+2)=a(a+2)(a+4)\Rightarrow a^3+3a^2-2a-16=0$. Thử $a=2$: $8+12-4-16=0$, thỏa mãn (và vế trái đồng biến với $a>0$ nên nghiệm duy nhất). Vậy $a=2,b=4,c=6$, mặt phẳng: $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\iff 6x+3y+2z-12=0$ (kiểm tra $M$: $12-6+6-12=0$). Khoảng cách từ $K(2;5;-1)$: $d=\frac{|6\cdot 2+3\cdot 5+2\cdot (-1)-12|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{13}{7}\approx 1,86$.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$, dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.



Khi đó $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;0\right),C\left(0;\frac{1}{2};0\right),B\left(0;-\frac{1}{2};0\right),A^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;2\right),B^{\prime }\left(0;-\frac{1}{2};2\right)$.

+ Trung điểm $M$ của $A{A}^{\prime }$ có tọa độ là $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;1\right)$.

+ Viết phương trình mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$.

Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-2\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;1;-2)$

nên $\vec{n}=\left[\overrightarrow{B^{\prime }A},\overrightarrow{B^{\prime }C}\right]=\left(1;\sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $(B^{\prime }AC)$.

và $(B^{\prime }AC)$ đi qua điểm $B^{\prime }$

suy ra phương trình mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ là $2\sqrt{3}x+6y+3z-3=0$.

+ Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ là $d\left(M,(B^{\prime }AC)\right)=\frac{\sqrt{57}}{19}\approx 0,3974$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;1-2;1-(-1))=(1;-1;2)$, $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1;1-2;2-(-1))=(2;-1;3)$. Đúng.
b) $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=((-1)(3)-2(-1);2\cdot 2-1\cdot 3;1(-1)-(-1)(2))=(-1;1;1)$. Đúng.
c) Mặt phẳng qua $A(1;2;-1)$ với $\overrightarrow{n}=(-1;1;1)$: $-x+y+z=-(1)+2+(-1)=0$ nên $-x+y+z=0\iff x-y-z=0$. Đúng.
d) Chiều cao $h=d(S,(ABC))=\frac{|3-2-5|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-1;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(1;2;-1)$: $-x+y+z=0\iff x-y-z=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h=\frac{|3-2-5|}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2\sqrt{3}}{3}$.