Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Thay tọa độ điểm $D(1;1;4)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: $1+2(1)-4+1=0$ (thỏa mãn). Vậy $(P)$ đi qua $D(1;1;4)$.

Mặt phẳng $(P):2x+y+3z-1=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_3=(2;1;3)$. Chọn đáp án D.

Hình chiếu của $M(2;0;1)$ trên trục $Ox$ là $A(2;0;0)$. Hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là $B(0;0;1)$. Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ $I\left(1;0;\frac{1}{2}\right)$. Véc-tơ $\overrightarrow{AB}=(-2;0;1)=-\frac{1}{2}(4;0;-2)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $I$ và nhận $\vec{n}=(4;0;-2)$ làm véc-tơ pháp tuyến là:
$4(x-1)+0(y-0)-2\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\iff 4x-2z-3=0.$
Chọn đáp án C.

**Chọn D**

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-3;0)=3(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(1;2;1)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n}=(1;-1;0)\times (1;2;1)=(-1;-1;3)=-(1;1;-3)$.
Phương trình mặt phẳng qua $A(1;-2;1)$ là: $1(x-1)+1(y+2)-3(z-1)=0\iff x+y-3z+4=0$.

**Chọn B**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - Mã đề 132).
Khi khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ lớn nhất, ta tìm được phương trình mặt phẳng $(P)$, từ đó suy ra $b+c+d=149$.

**Chọn A**

Thay tọa độ $M_3(5;-2;1)$ vào phương trình $(P)$:
$5-2(-2)+3(1)-4=5+4+3-4=8\ne 0$.
Vậy $(P)$ không đi qua điểm $M_3$.

Mặt phẳng $(P):2x+3y+z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;3;1)$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): D.

Mặt phẳng $3x+2y-z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;2;-1)$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 2101).

Hai điểm $A,B$ nằm cùng phía đối với $(P)$. Điểm đối xứng của $A(1;2;-1)$ qua $(P)$ là $A^{\prime }\left(\frac{11}{3};-\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)\Rightarrow (MA+MB{)}_{\min }=A^{\prime }B=\sqrt{19}\approx 4,36$ (theo đáp án chính thức Trang 12, Mã đề 2101).

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$ nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{k}=(0;0;1)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=(0;2;-4)=2(0;1;-2)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(-2;1;-1)$ của đoạn thẳng $AB$.
Phương trình mặt phẳng là:
$0(x+2)+1(y-1)-2(z+1)=0\iff y-2z-3=0$.

Ta có $A(2;4;1),B(-1;1;3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-3;-3;2)$.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;-3;2)$.
Do mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$ nên nhận vectơ $[\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(0;8;12)$ làm vectơ chỉ phương pháp tuyến.
Chọn vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_Q=(0;-2;-3)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2;4;1)$ là:
$0(x-2)-2(y-4)-3(z-1)=0\iff -2y-3z+11=0\iff 0x-2y-3z+11=0$.
Suy ra $a=0,b=-2,c=-3\Rightarrow a+b+c=-5$.

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên mặt phẳng $(\alpha )$:
$AH=d(A,(\alpha ))=\frac{|2(-10)-2(6)-(-2)+12|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-18|}{3}=6$.
$BK=d(B,(\alpha ))=\frac{|2(-5)-2(10)-(-9)+12|}{3}=\frac{|-9|}{3}=3$.
Vì $MA,MB$ tạo với $(\alpha )$ các góc bằng nhau nên $\sin \widehat{AMH}=\sin \widehat{BMK}\Rightarrow \frac{AH}{MA}=\frac{BK}{MB}\Rightarrow MA=\frac{AH}{BK}MB=2MB$.
Ta có $MA=2MB\iff M{A}^2=4M{B}^2$
$\iff (a+10{)}^2+(b-6{)}^2+(c+2{)}^2=4[(a+5{)}^2+(b-10{)}^2+(c+9{)}^2]$
$\iff a^2+b^2+c^2+\frac{20}{3}a-\frac{68}{3}b+\frac{68}{3}c+228=0$.
Điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(-\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3}\right)$ và bán kính $R=2\sqrt{10}$.
Vì $M\in (\alpha )$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ là giao của $(S)$ và $(\alpha )$.
Hình chiếu của $I$ lên $(\alpha )$ là $J(-2;10;-12)$ và bán kính của $(C)$ là $r=\sqrt{R^2-I{J}^2}=\sqrt{40-4}=6$.
Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\vec{0}\Rightarrow E(-15;2;5)$.
Khi đó $T=2M{A}^2-M{B}^2=2(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}{)}^2-(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}{)}^2=M{E}^2+2E{A}^2-E{B}^2$.
Do $2E{A}^2-E{B}^2$ không đổi nên $T$ nhỏ nhất khi $ME$ nhỏ nhất.
Gọi $F$ là hình chiếu của $E$ lên $(\alpha )$, tìm được $F(-9;-4;2)\Rightarrow FJ=21>r=6$ nên $F$ nằm ngoài $(C)$.
Khoảng cách nhỏ nhất $F{M}_{\min }=FJ-r=21-6=15$.
Khi đó $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $FJ$ với đường tròn $(C)$ thỏa mãn $\overrightarrow{FM}=\frac{15}{21}\overrightarrow{FJ}=\frac{5}{7}\overrightarrow{FJ}$.
Tìm được $M(-4;6;-8)\Rightarrow a=-4,b=6,c=-8\Rightarrow a+b+c=-4+6-8=-6$.

Tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC\iff OH\perp (ABC)$.
Do đó $(ABC)$ đi qua điểm $H(1;1;-3)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OH}=(1;1;-3)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $1(x-1)+1(y-1)-3(z+3)=0\iff x+y-3z-11=0$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;1;3)$ và chứa trục hoành $Ox$ nên $(P)$ có dạng $by+cz=0$ ($b^2+c^2>0$).
Mà $(P)$ đi qua điểm $A(1;1;3)$ nên $b+3c=0\Rightarrow b=-3c$.
Chọn $c=-1\Rightarrow b=3$, ta được phương trình mặt phẳng $(P)$ là $3y-z=0$.

Mặt phẳng có phương trình $x-3y+z-5=0$ nên có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;-3;1)$. Chọn B.

Đặt $x=\frac{BM}{BC},y=\frac{BN}{BD}$. Ta có hệ $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=10$ và $xy=\frac{6}{25}$. Giải hệ được $x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{5}$. Tọa độ $M\left(\frac{2}{5};0;-\frac{4}{5}\right),N\left(\frac{6}{5};\frac{3}{5};-\frac{7}{5}\right)$. Vectơ pháp tuyến $[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}]=\frac{1}{25}(42;5;61)$. Phương trình $(AMN):42x+5y+61z+32=0$. Suy ra $a=42,b=5,c=61\Rightarrow S=a-b+c=42-5+61=98$. Chọn A.

Gọi điểm $I$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}\Rightarrow I\left(\frac{3}{5};-\frac{2}{5};\frac{1}{5}\right)$. Ta có $P=5M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2=5M{I}^2+\frac{216}{5}$. $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất $\iff MI=d(I,(\alpha ))=\frac{|3/5+4/5+2/5-5|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{16}{15}$. Do đó $P_{\min }=5{\left(\frac{16}{15}\right)}^2+\frac{216}{5}=\frac{256}{45}+\frac{1944}{45}=\frac{2200}{45}=\frac{440}{9}$. (Trong bảng đáp án mã đề gốc ghi B, nhưng bài toán tính đúng cho kết quả $\frac{440}{9}$, tương ứng phương án A được đính chính trong lời giải). Chọn A.

Mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_0=(2;1;-1)$. Các vectơ ở phương án B và C cùng phương với ${\vec{n}}_0$, còn vectơ $\vec{n}(2;1;1)$ không cùng phương với ${\vec{n}}_0$ nên không là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

Vì $(P)\parallel (Q)$ nên $(P)$ nhận vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}=(2;-1;3)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;2;-3)$ là $2(x-1)-1(y-2)+3(z+3)=0⟺2x-y+3z+9=0$.