Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

* ${\cos }^{2}x-\cos x=0\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=0\\ \cos x=1\end{array}\right]$.
* Ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow B(0;1),C(0;-1)$.
* Lại có $\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi$ có điểm $A(1;0)$.
Vậy $S_{ABC}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0,75$ vào phương trình: $s=A\cos \left(\pi \cdot 0,75+\frac{\pi }{4}\right)=A\cos \left(\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)=A\cos \pi =-A$. Theo đề $s=-4$ nên $-A=-4$, suy ra $A=4$ (cm). Vậy $A=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le {\cos }^{2}2x\le 1$ nên phương trình ${\cos }^{2}2x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $0\le m+1\le 1$, tức $-1\le m\le 0$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m=-1$ và $m=0$, vậy có 2 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin (x+40^{\circ })=\sqrt{3}$ ta có $\sin (x+40^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $x+40^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x+40^{\circ }=120^{\circ }+k360^{\circ }$. Vì $x\in (-180^{\circ };180^{\circ })$ nên $x+40^{\circ }\in (-140^{\circ };220^{\circ })$, chỉ có $x+40^{\circ }=60^{\circ }$ và $x+40^{\circ }=120^{\circ }$ thỏa mãn, tức $x=20^{\circ }$ và $x=80^{\circ }$. Tổng các nghiệm là $20^{\circ }+80^{\circ }=100^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 128: Giải từng phương trình lượng giác cơ bản.

a) $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$
$$\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}=(-1{)}^k\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+k\pi =(-1{)}^{k+1}\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}+k\pi$$
$$\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2(-1{)}^{k+1}\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

b) $\sin (3x-30^{\circ })=\sin 45^{\circ }$
$3x-30^{\circ }=45^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $3x-30^{\circ }=135^{\circ }+k360^{\circ }$
$$\Rightarrow x=25^{\circ }+k120^{\circ }\text{hoặc}x=55^{\circ }+k120^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$

c) $\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$
- Trường hợp 1: $3x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+2k\pi \Rightarrow 4x=\frac{11\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}$.
- Trường hợp 2: $3x-\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{6}+x+2k\pi =\frac{5\pi }{6}+x+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{19\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{19\pi }{24}+k\pi$.

Vậy $x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{19\pi }{24}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

d) $\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}.$

e) $\cos \left(-x+\frac{\pi }{3}\right)=1\Rightarrow -x+\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}-2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

f) $\cos \left(5x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{7\pi }{4}-2x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{4}+2x\right)=\cos \left(2x-\frac{5\pi }{4}\right)$
- $5x-\frac{\pi }{3}=2x-\frac{5\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{11\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.
- $5x-\frac{\pi }{3}=-2x+\frac{5\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow 7x=\frac{19\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{19\pi }{84}+\frac{2k\pi }{7}$.

Vậy $x=-\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{19\pi }{84}+\frac{2k\pi }{7}$, $k\in \mathbb{Z}$.

g) $\cos (2x+25^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 135^{\circ }$
$2x+25^{\circ }=\pm 135^{\circ }+k360^{\circ }$
- $2x=110^{\circ }\Rightarrow x=55^{\circ }+k180^{\circ }$.
- $2x=-160^{\circ }\Rightarrow x=-80^{\circ }+k180^{\circ }$.

Vậy $x=55^{\circ }+k180^{\circ }$ hoặc $x=-80^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

h) $\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=-\frac{1}{4}$
$$\frac{\pi }{6}-2x=\pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right)+2k\pi =\pm \left(\pi -\arccos \frac{1}{4}\right)+2k\pi$$
$$\Rightarrow x=\frac{\pi }{12}\mp \frac{1}{2}\left(\pi -\arccos \frac{1}{4}\right)+k\pi =-\frac{5\pi }{12}\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 129: Giải từng phương trình.

a) $\tan (2x-1)=\tan \left(-x+\frac{\pi }{3}\right)$
Điều kiện: $2x-1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ và $-x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.
Phương trình tương đương $2x-1=-x+\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow 3x=1+\frac{\pi }{3}+k\pi$
$$x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$
Với các giá trị này, hiệu hai vế là bội của $\pi$ nên không thể bằng $\frac{\pi }{2}+m\pi$, điều kiện được thỏa mãn.

b) $\tan \left(3x-10^{\circ }\right)=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ }$
$$3x-10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow 3x=70^{\circ }+k180^{\circ }$$
$$x=\frac{70^{\circ }}{3}+k60^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$

c) $3\tan \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-1\Rightarrow \tan \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$
$$3x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$$
$$x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

d) $\cot \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=1=\cot \frac{\pi }{4}$
$$2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow 2x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$$
$$x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$$

e) $2\cot (3x)=3\Rightarrow \cot (3x)=\frac{3}{2}$
$$3x=\arctan \frac{2}{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{1}{3}\arctan \frac{2}{3}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

f) $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cot \left(-2x+\frac{\pi }{6}\right)$
Điều kiện: $x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi$.
$$x+\frac{\pi }{3}=-2x+\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$$
$$x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$
Khi đó $x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\ne k\pi$, điều kiện thỏa mãn.

Các kết quả đều đã kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình gốc, đúng với chu kỳ tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin 30^{\circ }$. Theo công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\sin \alpha$: $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Với $\alpha =30^{\circ }$, ta được $x=30^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=150^{\circ }+k360^{\circ }$. Vậy $S=\{30^{\circ }+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{150^{\circ }+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ (vì $360^{\circ }=2\pi$). Đáp án A. Các phương án B, C thiếu nghiệm $150^{\circ }$; phương án D thiếu điều kiện $k\in \mathbb{Z}$ (viết sai dạng tập hợp).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos 3x\ne 0$ và $\cos x\ne 0$. Từ $\tan 3x=\tan x$ ta có $3x=x+k\pi$, suy ra $2x=k\pi$, tức $x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Tuy nhiên với $k$ lẻ thì $x=\frac{\pi }{2}+m\pi$ khiến $\cos x=0$ (loại). Với $k$ chẵn, $k=2m$, ta được $x=m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$; khi đó $\cos x=\pm 1\ne 0$ và $\cos 3x=\pm 1\ne 0$, thỏa mãn. Vậy nghiệm là $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\tan \frac{\pi }{6}=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$. Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$ (điều kiện $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện vì $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$ không bao giờ bằng $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. a) Đúng vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$. b) Đúng theo công thức nghiệm $\sin t=\sin \alpha \iff t=\alpha +k2\pi$ hoặc $t=\pi -\alpha +k2\pi$, tức $2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$. c) Giải: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$; $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Tập nghiệm đúng như đề. d) Sai: trên $[-2\pi ;5\pi ]$, họ $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ có $k\in \{-1,0,1,2,3,4,5\}$ (7 nghiệm) và họ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ có $k\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$ (7 nghiệm), tổng cộng 14 nghiệm chứ không phải 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ nên hai phương trình giống hệt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\sin t=\sin \frac{\pi }{6}\iff t=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $t=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, gộp thành $t=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ được $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$; từ $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ được $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2\pi ;5\pi ]$: họ $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ cho 7 nghiệm ($k=-1,...,5$), họ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ cho 7 nghiệm ($k=-2,...,4$), tổng cộng 14 nghiệm phân biệt, không phải 7.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}+2k\pi$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{12}+2k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$: họ thứ nhất cho $x=\frac{23\pi }{12}$ (k=1); họ thứ hai cho $x=\frac{17\pi }{12}$ (k=1). Vậy phương trình có 2 nghiệm trên đoạn $[0;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Suy ra $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x-m=0\iff \cos x=m$. Phương trình này vô nghiệm khi và chỉ khi $m\notin [-1;1]$, tức là $m<-1$ hoặc $m>1$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đáp án: A đúng vì $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. B đúng vì $\cot x=-1\iff x=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)+k\pi =-\frac{\pi }{4}+k\pi$. D đúng vì $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. C sai vì $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$ (chu kỳ $2\pi$, không phải $\pi$); với $x=\pi +k\pi$ thì $\cos x=\pm 1$, ví dụ $x=2\pi$ cho $\cos x=1\ne -1$. Vậy đáp án sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
cot 2x = cot 20° ⟺ 2x = 20° + k180° ⟺ x = 10° + k90°, k∈ℤ. Điều kiện sin2x≠0 thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x\sin \left(x-\frac{\pi }{18}\right)=0$ tương đương với $\sin x=0$ hoặc $\sin \left(x-\frac{\pi }{18}\right)=0$.
- Trường hợp 1: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Trường hợp 2: $\sin \left(x-\frac{\pi }{18}\right)=0\Rightarrow x-\frac{\pi }{18}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{18}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{18}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải phương trình $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)-\cos 2x=0$, tức $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos 2x$.

Bước 1: Đưa về cùng một hàm số. Vì $\cos 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, phương trình trở thành:
$$\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right).$$

Bước 2: Giải phương trình dạng $\sin A=\sin B$.

• Trường hợp 1: $A=B+2k\pi$:
$$x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

• Trường hợp 2: $A=\pi -B+2k\pi$:
$$x-\frac{2\pi }{3}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2x+2k\pi$$
$$\Rightarrow -x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Bước 3: Kiểm tra lại. Ví dụ với $x=\frac{7\pi }{18}$: $\sin \left(\frac{7\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}\right)=\sin \left(-\frac{5\pi }{18}\right)$ và $\cos \frac{7\pi }{9}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{18}\right)=\sin \frac{\pi }{18}$... kiểm tra trực tiếp: $\sin \left(-\frac{5\pi }{18}\right)=-\sin \frac{5\pi }{18}$, còn $\cos \frac{7\pi }{9}=\cos \left(\pi -\frac{2\pi }{9}\right)=-\cos \frac{2\pi }{9}=-\sin \frac{5\pi }{18}$. Hai vế bằng nhau, thỏa mãn. Tương tự $x=-\frac{7\pi }{6}$: $\sin \left(-\frac{11\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos \left(-\frac{7\pi }{3}\right)=\cos \frac{7\pi }{3}=\frac{1}{2}$, thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
$$S=\left\{\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3},-\frac{7\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan (2x-15^{\circ })=1$ có $\tan 45^{\circ }=1$, nên $2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x=60^{\circ }+k180^{\circ }$, tức $x=30^{\circ }+k90^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được $x=30^{\circ }>0$; với $k\le -1$ thì $x\le -60^{\circ }<0$. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $x=30^{\circ }$.