Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Giải. Ta có:
${\log }_{(b+a)}c+{\log }_{(a-b)}c=2{\log }_{(b+a)}c.{\log }_{(a-b)}c$
$\iff \frac{1}{{\log }_c(b+a)}+\frac{1}{{\log }_c(a-b)}=\frac{2}{{\log }_c(b+a).{\log }_c(a-b)}$
$\iff \frac{{\log }_c(b+a)+{\log }_c(a-b)}{{\log }_c(b+a).{\log }_c(a-b)}=\frac{2}{{\log }_c(b+a).{\log }_c(a-b)}$
$\iff {\log }_c(b+a)+{\log }_c(a-b)=2\iff a^2-b^2=c^2\iff a^2=b^2+c^2$
Vậy tam giác T là tam giác vuông

Ta có:
$${\log }_{(b+c)}a+{\log }_{(c-b)}a=2{\log }_{(b+c)}a\cdot {\log }_{(c-b)}a$$
$$\iff \frac{1}{{\log }_a(b+c)}+\frac{1}{{\log }_a(c-b)}=\frac{2}{{\log }_a(b+c)\cdot {\log }_a(c-b)}$$
$$\iff \frac{{\log }_a(b+c)+{\log }_a(c-b)}{{\log }_a(b+c)\cdot {\log }_a(c-b)}=\frac{2}{{\log }_a(b+c)\cdot {\log }_a(c-b)}$$
$$\iff {\log }_a(b+c)+{\log }_a(c-b)=2\iff c^2-b^2=a^2\iff c^2=a^2+b^2$$

Vậy tam giác T là tam giác vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Cho ${\log }_{2}3=a$, ${\log }_{25}2=b$.

a) ${\log }_{2}25=\frac{1}{{\log }_{25}2}=\frac{1}{b}$ → Đúng.

b) ${\log }_2(3.9)={\log }_{2}27=3{\log }_{2}3=3a\ne 9a$ → Sai.

c) ${\log }_{2}75={\log }_2(3\cdot 25)={\log }_{2}3+{\log }_{2}25=a+\frac{1}{b}$ → Đúng.

d) Ta có $48600=2^3\cdot 3^5\cdot 5^2$ nên ${\log }_{2}48600=3+5a+\frac{2}{b}$. Do đó ${\log }_{48600}25=\frac{2}{3+5a+\frac{2}{b}}=\frac{2b}{5ab+3b+2}$. Nếu ${\log }_{48600}25=\frac{1}{xab+yb+z}$ với $x=5,y=3,z=2$ thì $\frac{2b}{5ab+3b+2}=\frac{1}{5ab+3b+2}$ chỉ xảy ra khi $2b=1$, vô lý vì $b={\log }_{25}2\ne \frac{1}{2}$. Vậy khẳng định d) Sai (không tìm được $x,y$ nguyên tố và $z$ thỏa mãn với $x+y+z=10$).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}25=\frac{1}{{\log }_{25}2}=\frac{1}{b}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_2(3.9)={\log }_{2}27=3a\ne 9a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}75={\log }_{2}3+{\log }_{2}25=a+\frac{1}{b}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{48600}25=\frac{2b}{5ab+3b+2}$, không bằng $\frac{1}{xab+yb+z}$ với $x+y+z=10$ (điều kiện $2b=1$ vô lý).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\frac{1}{{\log }_{c}x}=\frac{1}{{\log }_{abc}x}-\frac{1}{{\log }_{a}x}-\frac{1}{{\log }_{b}x}$. Cụ thể: từ ${\log }_{a}x=24$ suy ra ${\log }_{x}a=\frac{1}{24}$; từ ${\log }_{b}x=40$ suy ra ${\log }_{x}b=\frac{1}{40}$; từ ${\log }_{abc}x=12$ suy ra ${\log }_x(abc)=\frac{1}{12}$. Do đó ${\log }_{x}c={\log }_x(abc)-{\log }_{x}a-{\log }_{x}b=\frac{1}{12}-\frac{1}{24}-\frac{1}{40}=\frac{10-5-3}{120}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$. Vậy ${\log }_{c}x=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, Phần III câu 3: 60).

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{a}x=24$ suy ra $\frac{1}{{\log }_{x}a}=24$, tức ${\log }_{x}a=\frac{1}{24}$. Tương tự ${\log }_{x}b=\frac{1}{40}$. Vì ${\log }_{abc}x=12$ nên ${\log }_x(abc)=\frac{1}{12}$. Do đó ${\log }_{x}c={\log }_x(abc)-{\log }_{x}a-{\log }_{x}b=\frac{1}{12}-\frac{1}{24}-\frac{1}{40}=\frac{10-5-3}{120}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$. Suy ra ${\log }_{c}x=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

Ta có các biến đổi lôgarit sau:
- $2{\log }_5{a}^4=2\cdot 4{\log }_{5}a=8{\log }_{5}a=8b$.
- ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{5}}}a={\log }_{5^{-\frac{1}{2}}}a=-2{\log }_{5}a=-2b$.
- $7{\log }_{\frac{1}{25}}a=7{\log }_{5^{-2}}a=7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\log }_{5}a=-3,5b$.

Thay vào phương trình đã cho, ta được:
$$8b-2b-3,5b=b^2⟺2,5b=b^2$$

Do $a,b$ là các số thực dương nên $b\ne 0$. Chia cả hai vế cho $b$, ta được $b=2,5$.
Vậy $b+1=2,5+1=\boxed{3,5}$.

a) (0,5 điểm) Cho biết ${\log }_{2}a=3$, ${\log }_{2}b=5$. Tính $M={\log }_2(a^5.b^3)$.

$M={\log }_2(a^5.b^3)={\log }_2{a}^5+{\log }_2{b}^3$.

$M=5{\log }_{2}a+3{\log }_{2}b=30$.

b) (0,5 điểm) Sau $n$ tháng Nam nhận được số tiền là $$T_n=10{\left(1+\frac{0.048}{12}\right)}^n=10\cdot 1,004^n$$ (triệu đồng).

Nam nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi không dưới 15 triệu đồng nên $$10\cdot 1,004^n\ge 15\iff n\ge {\log }_{1,004}1,5.$$ Suy ra sau ít nhất 102 tháng Nam có số tiền cả gốc lẫn lãi không dưới 15 triệu đồng.

a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 1112, trang 5.)

(AI giải đề cho tôi)
Đổi về cơ số 3: ${\log }_{3}a=\frac{1}{{\log }_{a}3}=\frac{1}{2}$, ${\log }_{3}b=\frac{1}{{\log }_{b}3}=3$. Vì $abc\ne 1$ nên ${\log }_{abc}3=\frac{2}{17}$ hợp lệ và ${\log }_3(abc)=\frac{1}{{\log }_{abc}3}=\frac{17}{2}$. Mặt khác ${\log }_3(abc)={\log }_{3}a+{\log }_{3}b+{\log }_{3}c=\frac{1}{2}+3+{\log }_{3}c$, suy ra ${\log }_{3}c=\frac{17}{2}-\frac{7}{2}=5$. Do đó ${\log }_{c}3=\frac{1}{{\log }_{3}c}=\frac{1}{5}=0,2$, khớp với đáp án đề cho (đề 1112, Phần III, câu 2 = 0,2).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}>0$. Khi đó $t^2=4^x+4^{-x}+2=7+2=9$, suy ra $t=3$. Do đó $P=\frac{4-3}{9+3}=\frac{1}{12}$, phân số tối giản với $a=1$, $b=12$. Vậy $ab=12$, khớp với đáp án nguồn (đề 1112, Phần III câu 3 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Đặt $\sqrt[5]{a}=\sqrt[6]{b}=\sqrt[8]{c}=2^k$ thì ${\log }_{2}a=5k,{\log }_{2}b=6k,{\log }_{2}c=8k$. Suy ra ${\log }_{32}a=\frac{5k}{5}=k$, ${\log }_{8}b=\frac{6k}{3}=2k$, ${\log }_{2}c=8k$. Tổng: $k+2k+8k=11k=22\Rightarrow k=2$. Vậy ${\log }_2(abc)=5k+6k+8k=19k=38$. Đúng.
b) ${\log }_a\sqrt{a^3}={\log }_a{a}^{3/2}=\frac{3}{2}$ (với $a>1$). Đúng.
c) ${\log }_a{b}^2\cdot {\log }_{\sqrt{b}}{a}^3=2{\log }_{a}b\cdot \frac{3{\log }_a^{}a}{\frac{1}{2}{\log }_{a}b}=2{\log }_{a}b\cdot 6\cdot \frac{1}{{\log }_{a}b}=12\ne 2$. Sai.
d) ${\log }_{3}70=\frac{\log 70}{\log 3}=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$. Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1111: 1a Đ, 1b Đ, 1c S, 1d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $\sqrt[5]{a}=\sqrt[6]{b}=\sqrt[8]{c}=2^k$ thì ${\log }_{2}a=5k,{\log }_{2}b=6k,{\log }_{2}c=8k$, nên ${\log }_{32}a=k,{\log }_{8}b=2k,{\log }_{2}c=8k$. Từ $11k=22\Rightarrow k=2$, suy ra ${\log }_2(abc)=19k=38$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a\sqrt{a^3}={\log }_a{a}^{3/2}=\frac{3}{2}$ với $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a{b}^2\cdot {\log }_{\sqrt{b}}{a}^3=2{\log }_{a}b\cdot \frac{3}{\frac{1}{2}{\log }_{a}b}=12\ne 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}70=\frac{\log 70}{\log 3}=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}>0$. Khi đó $t^2=4^x+2+4^{-x}=7+2=9$, suy ra $t=3$. Do đó $P=\frac{4-3}{9+3}=\frac{1}{12}$, với $a=1$, $b=12$, phân số tối giản. Vậy $ab=1\cdot 12=12$, khớp với đáp án nguồn (đề 1111, Phần III câu 3 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{c}3$. Ta có ${\log }_{a}3=2\Rightarrow \frac{1}{{\log }_{a}3}=\frac{1}{2}$; ${\log }_{b}3=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{{\log }_{b}3}=3$. Theo tính chất đổi cơ số: ${\log }_{abc}3=\frac{1}{{\log }_3(abc)}=\frac{1}{{\log }_{3}a+{\log }_{3}b+{\log }_{3}c}=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{a}3}+\frac{1}{{\log }_{b}3}+\frac{1}{{\log }_{c}3}}$. Suy ra $\frac{1}{2}+3+\frac{1}{x}=\frac{1}{2/17}=\frac{17}{2}$, nên $\frac{1}{x}=\frac{17}{2}-\frac{7}{2}=5$, tức $x=\frac{1}{5}=0,2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,2$.

a) (0,75 điểm) Tính giá trị của biểu thức $A={\log }_{3}15-{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{5}$.

$A={\log }_{3}15-{\log }_{3}5$ (0,25 điểm)

$={\log }_3\frac{15}{5}$ (0,25 điểm)

$={\log }_{3}3=1$ (0,25 điểm)

b) (0,75 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\ln \left(x^2+2(m-1)x+m+5\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=\ln \left(x^2+2(m-1)x+m+5\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ (0,25 điểm)

$\iff x^2+2(m-1)x+m+5>0\forall x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff m^2-3m-4<0$ (0,25 điểm)

$\iff -1<m<4$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x-3}={\log }_2(x-3)$, tập xác định $x>3$; và $g(x)={\log }_4(x-5{)}^2=\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|$, tập xác định $x\ne 5$.
a) Sai: vì $(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$.
b) Đúng: $f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}={\log }_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}{)}^1=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị $f$.
c) Đúng: $f(x)=g(x)\iff {\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|\iff x-3=|x-5|$ (với $x>3$). Với $x\ge 5$: $x-3=x-5$ vô nghiệm; với $3<x<5$: $x-3=5-x\iff x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có duy nhất nghiệm $x=4$.
d) Sai: $f(x)\ge g(x)\iff x-3\ge |x-5|$ (với $x>3$). Với $x\ge 5$ bất phương trình luôn đúng; với $3<x<5$: $x-3\ge 5-x\iff x\ge 4$. Tập nghiệm $[4;+\infty )$ có vô số nghiệm nguyên, không phải bốn nghiệm nguyên. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{5\}\ne (5;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|\iff x-3=|x-5|\iff x=4$ (với $x>3$), duy nhất một nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm của $f(x)\ge g(x)$ là $[4;+\infty )$, có vô số nghiệm nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $N(1)=900$: $500e^r=900\Rightarrow r=\ln \left(\frac{9}{5}\right)\approx 0,5878$. Cần $500e^{rt}=1000000\Rightarrow e^{rt}=2000\Rightarrow t=\frac{\ln 2000}{\ln (9/5)}\approx \frac{7,6009}{0,5878}\approx 12,93$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 13$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x-3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\ln (x-3)}{\ln \sqrt{2}}={\log }_2(x-3)$ với $x>3$; và $g(x)={\log }_4(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|$ với $x\ne 5$.
a) Tập xác định của $g(x)$ là $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$ → Sai.
b) $f(5)={\log }_2(5-3)={\log }_{2}2=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị $f$ → Đúng.
c) $f(x)=g(x)\iff {\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|$ với $x>3$, tức $x-3=|x-5|$. Với $x\ge 5$: $x-3=x-5$ vô nghiệm. Với $3<x<5$: $x-3=5-x\iff x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có duy nhất nghiệm $x=4$ → Đúng.
d) $f(x)\ge g(x)\iff x-3\ge |x-5|$. Với $3<x<5$: $x-3\ge 5-x\iff x\ge 4$, cho $x\in [4;5)$. Với $x\ge 5$: $x-3\ge x-5$ luôn đúng, cho $x\in [5;+\infty )$. Vậy tập nghiệm là $[4;+\infty )$, có vô số nghiệm nguyên (4,5,6,...), không phải bốn nghiệm nguyên → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}={\log }_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}{)}^1=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>3$: $f(x)={\log }_2(x-3)$, $g(x)={\log }_2|x-5|$. Phương trình $x-3=|x-5|$ chỉ có nghiệm $x=4$ (trên $[5;+\infty )$ vô nghiệm, trên $(3;5)$ có $x=4$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương $x-3\ge |x-5|$ với $x>3$, tập nghiệm $[4;+\infty )$ có vô số nghiệm nguyên, không phải bốn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $N(1)=900$: $500e^r=900\Rightarrow r=\ln \left(\frac{900}{500}\right)=\ln (1,8)$. Cần $500e^{rt}=1000000\Rightarrow e^{rt}=2000\Rightarrow t=\frac{\ln 2000}{\ln 1,8}=\frac{7,6009}{0,5878}\approx 12,93$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 13$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Với $L=80$: $80=10\log \frac{I}{10^{-12}}\Rightarrow \frac{I}{10^{-12}}=10^8\Rightarrow I=10^{-4}$ W/m${}^2$. So với cuộc trò chuyện $I=10^{-7}$ W/m${}^2$, tỉ số $\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^3=1000$. Khớp đáp án nguồn (1000).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2^x+2^{-x}=3$, bình phương hai vế: $(2^x+2^{-x}{)}^2=9\Rightarrow 4^x+2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}+4^{-x}=9\Rightarrow 4^x+4^{-x}=9-2=7$. Khi đó $P={\log }_2\frac{5+4^x+4^{-x}}{3}={\log }_2\frac{5+7}{3}={\log }_{2}4=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).