Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện xác định: $x+1>0,x+1\ne 1⟺x>-1,x\ne 0$; và $mx>0$.
Phương trình tương đương:
${\log }_5(mx)=2{\log }_5(x+1)={\log }_5(x+1{)}^2⟺mx=(x+1{)}^2⟺x^2+(2-m)x+1=0$ (*).
Vì $x\ne 0$ và $x\ne -1$ (nếu $x=-1$ thì $1-(2-m)+1=m\ne 0$), bất kỳ nghiệm nào của (*) cũng thỏa mãn $mx=(x+1{)}^2>0$.
Do tích hai nghiệm $P=1>0$, hai nghiệm nếu có sẽ cùng dấu.
Để phương trình có nghiệm duy nhất trên $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép thuộc khoảng $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
$\Delta =(2-m{)}^2-4=m(m-4)=0⟹m=0$ hoặc $m=4$.
- $m=0⟹x=-1$ (loại vì không thuộc TXĐ).
- $m=4⟹x=1$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nhưng chỉ có đúng một nghiệm thuộc khoảng $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
Vì $P=1>0$, nếu một nghiệm $x_1\le -1$ thì nghiệm kia là $x_2=1/x_1\in (-1;0)\subset (-1;+\infty )\setminus \{0\}$.
Điều này xảy ra khi hai nghiệm đều âm, tức là $S=m-2<0⟺m<2$ và $\Delta =m(m-4)>0⟺m<0$.
Khi đó phương trình luôn có đúng một nghiệm $x_2\in (-1;0)$ thỏa mãn, còn $x_1<-1$ bị loại.
Do đó mọi $m<0$ đều cho đúng một nghiệm duy nhất.
Vì $m\in [-10;10]\cap \mathbb{Z}$ và $m<0$, ta có $m\in \{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\}$, có $10$ giá trị nguyên.
Theo đáp án chính thức của đề thi, số phần tử là $10$.
Chọn đáp án A.

Từ $1<x<\sqrt{y}⟺x>1$ và $y>x^2$. Lấy logarit cơ số $x$ hai vế ta được: $t={\log }_{x}y>2$.
Ta biến đổi biểu thức trong số hạng thứ hai:
${\log }_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{{\log }_x\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\log }_x\left(\frac{\sqrt{y}}{x}\right)}=\frac{\frac{1}{2}({\log }_{x}y-1)}{\frac{1}{2}{\log }_{x}y-1}=\frac{\frac{1}{2}(t-1)}{\frac{t-2}{2}}=\frac{t-1}{t-2}$.
Do đó:
$P=(t-1{)}^2+8{\left(\frac{t-1}{t-2}\right)}^2$.
Đặt $u=t-1>1$, khi đó $t-2=u-1>0$. Ta có:
$P=u^2+8\frac{u^2}{(u-1{)}^2}=u^2\left(1+\frac{8}{(u-1{)}^2}\right)$.
Khảo sát hàm số theo biến $u>1$, ta thấy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $u=3$ (tương ứng với $t=4>2$):
$P_{\min }=3^2+8{\left(\frac{3}{3-1}\right)}^2=9+8\cdot \frac{9}{4}=9+18=27$.
Chọn đáp án C.

Ta có: $z=a+bi⟹\bar{z}=a-bi$.
Thay vào phương trình:
$(1+i)(a+bi)+(2-i)(a-bi)=13+2i$
$⟺(a-b+(a+b)i)+(2a-b+(-a-2b)i)=13+2i$
$⟺(3a-2b)-bi=13+2i$.
Đồng nhất phần thực và phần ảo:
$\{\begin{array}{l}3a-2b=13\\ -b=2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}b=-2\\ 3a-2(-2)=13\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-2\end{array}$.
Vậy $a-b=3-(-2)=5$.
Chọn đáp án D.

Ta có $2^{2x-1}=8=2^3\iff 2x-1=3\iff 2x=4\iff x=2$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Điều kiện $x+8>0$. Ta có ${\log }_2(x+8)=5\iff x+8=2^5=32\iff x=24$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Phương trình tương đương: $m+\sqrt{m+3^x}=3^{2x}=(3^x{)}^2$. Đặt $u=\sqrt{m+3^x}>0\Rightarrow u^2-3^x=m$. Thay vào phương trình: $(u^2-3^x)+u=(3^x{)}^2\iff u^2+u=(3^x{)}^2+3^x$. Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^2+t$ đồng biến trên $[0;+\infty )$, suy ra $u=3^x\iff \sqrt{m+3^x}=3^x\iff m+3^x=3^{2x}\iff (3^x{)}^2-3^x-m=0$. Đặt $v=3^x>0$, phương trình trở thành $v^2-v-m=0\iff m=v^2-v$. Vì $v>0$, hàm số $g(v)=v^2-v$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{1}{4}$ tại $v=\frac{1}{2}$ và nhận mọi giá trị $m\ge -\frac{1}{4}$. Vì $m$ là số nguyên dương nhỏ hơn 2022, suy ra $m\in \{1,2,\dots ,2021\}$. Số giá trị nguyên dương là 2021. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Ta có: ${\log }_2(x^2+x+1)=3⟺x^2+x+1=2^3⟺x^2+x-7=0$.

Theo định lí Vi-ét, ta có: $x_1+x_2=-1$.

Theo bài ${\log }_{a}x=2,{\log }_{b}x=3⟹{\log }_{x}a=\frac{1}{2},{\log }_{x}b=\frac{1}{3}$.

Suy ra $P={\log }_{\frac{a}{b^2}}x=\frac{1}{{\log }_x\frac{a}{b^2}}=\frac{1}{{\log }_{x}a-2{\log }_{x}b}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}=-6$.

Điều kiện $x+1>0\iff x>-1$. Phương trình tương đương với $x+1=2^4=16\iff x=15$ (thỏa mãn điều kiện). Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Phương trình $3^{x^2+x}=9=3^2\iff x^2+x=2\iff x^2+x-2=0$. Theo định lý Vi-ét, tổng các nghiệm của phương trình là $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.

Ta có ${\log }_{a^3}\sqrt{a}={\log }_{a^3}(a^{1/2})=\frac{1/2}{3}{\log }_{a}a=\frac{1}{6}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Ta có $2^{x-1}=8=2^3\iff x-1=3\iff x=4$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Chọn D.
Ta có $2^{x^2-x-4}=\frac{1}{4}=2^{-2}\iff x^2-x-4=-2\iff x^2-x-2=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$. Vậy phương trình có $2$ nghiệm thực $x=-1$ và $x=2$.

Chọn B.
Điều kiện xác định $x>\frac{1}{2}$. Phương trình ${\log }_{2}x\cdot {\log }_3(2x-1)=2{\log }_{2}x\iff {\log }_{2}x[{\log }_3(2x-1)-2]=0\iff [<table><tbody><tr><td>{\log }_{2}x=0</td></tr><tr><td>{\log }_3(2x-1)=2</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=5</td></tr></tbody></table>$. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\{1;5\}$.

Chọn B.
Ta có:
${\log }_{5}a-3{\log }_{5}b=2\iff {\log }_{5}a-{\log }_5{b}^3=2\iff {\log }_5\left(\frac{a}{b^3}\right)=2\iff \frac{a}{b^3}=5^2=25\iff a=25b^3.$

Chọn D.
Điều kiện: $x>0$.
Phương trình đã cho tương đương:
${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6=0\iff \left[\begin{array}{c}{\log }_{3}x=2\\ {\log }_{3}x=3\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=3^2\\ x=3^3\end{array}\right]$
Vì $x_1<x_2$ nên $x_1=3^2,x_2=3^3$.
Vậy $T=\frac{x_2}{x_1}=\frac{3^3}{3^2}=3$.

Chọn D.
Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x+5>0\\ x+1>0\\ x+11>0\end{array}\iff x>-1$.
Phương trình đã cho tương đương:
${\log }_3[(x+5)(x+1)]={\log }_3(x+11)\iff x^2+6x+5=x+11\iff x^2+5x-6=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-6\end{array}\right]$
So sánh với điều kiện ta được nghiệm duy nhất $x=1$. Tổng các nghiệm là $1$.

Chọn B.
Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) $\Rightarrow \bar{z}=a-bi$.
Ta có:
$(2+i)(a+bi)-4(a-bi-i)=-8+19i$
$\iff 2a-b+(a+2b)i-4a+(4b+4)i=-8+19i$
$\iff (-2a-b)+(a+6b+4)i=-8+19i$
$\iff \{\begin{array}{l}-2a-b=-8\\ a+6b+4=19\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2a+b=8\\ a+6b=15\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\end{array}$
Vậy phần ảo của $z$ bằng $2$.

Chọn A.
Phương trình đã cho: $4^x-m\cdot 2^x+3m-5=0$ (1).
Đặt $t=2^x>0$. Phương trình (1) trở thành: $f(t)=t^2-mt+3m-5=0$ (2).
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2\iff$ phương trình (2) có hai nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1<1<t_2$.
Điều kiện tương đương:
$\{\begin{array}{l}1\cdot f(1)<0\\ S=m>0\\ P=3m-5>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1-m+3m-5<0\\ m>0\\ m>\frac{5}{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2m-4<0\\ m>\frac{5}{3}\end{array}\iff \frac{5}{3}<m<2.$
Suy ra khoảng giá trị của $m$ là $\left(\frac{5}{3};2\right)$, tức $a=\frac{5}{3}$ và $b=2$.
Vậy $a-b=\frac{5}{3}-2=-\frac{1}{3}$.

Ta có $2a+(b+i)i=1+2i\iff (2a-1)+bi=1+2i\iff \{\begin{array}{l}2a-1=1\\ b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}$.