Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn D
Ta có: a loga 5 = 5 .

Chọn A

x  -4  x  0
x2 + 4x  0 
Điều kiện: $\iff$ 3 $\iff$ x0
2 x + 3  0  x  -
2

log 3 ( x 2 + 4 x ) + log 1 ( 2 x + 3) = 0 $\iff$ log 3 ( x 2 + 4 x ) - log 3 ( 2 x + 3) = 0
3

 x2 + 4x  x2 + 4x x = -1
$\iff$ log 3  =0 $\iff$ = 1 $\iff$ x2 + 2x - 3 = 0 $\iff$ .
 2x + 3  2x + 3 x = 3

Đối chiếu với điều kiện ta có x = 3 .

Chọn C
( )
Ta có: 4 log 3 a + 7 log 3 b = 2 $\iff$ log 3 a 4 + log 3 b 7 = 2 $\iff$ log 3 a 4b 7 = 2 $\iff$ a 4b 7 = 32
$\iff$ a 4b 7 = 9 .

Chọn D
Ta có 4 x - m.2 x+1 + 2m = 0 $\iff$ 4 x - 2m.2 x + 2m = 0 (1)
Đặt t = 2 x ( t  0 ) .

Phương trình (1) t 2 - 2mt + 2m = 0 ( 2 ) .

Để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 $\iff$ Phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 dương

$\Delta$ ' = m 2 - 2m  0 m  2
 
$\iff$ S = 2m  0 $\iff$ m  0 $\iff$ m  2 .
 P = 2m  0 m  0

Ta có x1 + x2 = 3 $\Rightarrow$ log 2 t1 + log 2 t2 = 3 $\iff$ log 2 ( t1t2 ) = 3 $\iff$ t1t2 = 8 $\iff$ 2m = 8 $\iff$ m = 4 (TM ) .

Chọn D
Điều kiện: x  0.
Đặt t = log 3 x $\Rightarrow$ x = 3t.
Phương trình trở thành: t 2 - ( m + 2 ) t + 3m - 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\iff$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

m  4 - 2 2
$\iff$ $\Delta$  0 $\iff$ ( m + 2 ) - 4 ( 3m - 1)  0 $\iff$ m 2 - 8m + 8  0 $\iff$ ( *)
2

m  4 + 2 2
Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai nghiệm t1 , t2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
x1 , x2 với x1 = 3t1 , x2 = 3t2 .
Ta có: x1 x2 = 27 $\iff$ 3t1 +t2 = 27 $\iff$ t1 + t2 = 3 .
Áp dụng định lí Vi-et với phương trình (1) ta có: t1 + t2 = m + 2 = 3 $\iff$ m = 1 (thoả).
t = 1 $\Rightarrow$ x1 = 3
Với m = 1 : (1) $\iff$ t 2 - 3t + 2 = 0 $\iff$ 1
t2 = 2 $\Rightarrow$ x2 = 9
Khi đó: 2 x1 + x2 = 2.3 + 9 = 15.

Chọn D
Ta có log 2022 ( x 4 - 2x 2 + 2023) = ( y 2 + 2022 ) .log 2022 ( x 2 - 1) + 2022  \ge y 2 + 2022 (1)
y 2 + 2022 2



x = 1
Dấu bằng xảy ra khi x 2 = 1 $\iff$ .
x = -1

y 2 + 2022 = ( y 2 + 1) + 2021 \ge 2021 (2) Dấu bằng xảy ra khi y = 1 .

x = 1 x = -1
Từ (1), (2) ta có log 2022 ( x 4 - 2x 2 + 2023)
y 2 + 2022
= 2y + 2021 khi hoặc .
y = 1 y = 1

Vậy có hai cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức

log 2022 ( x 4 - 2x 2 + 2023)
y 2 + 2022
= 2y + 2021 .

Phương trình $\ln (2x^2-x+1)=0\iff 2x^2-x+1=1\iff 2x^2-x=0\iff x(2x-1)=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Vì với $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}$ thì $2x^2-x+1=1>0$ thỏa mãn điều kiện. Vậy tập nghiệm là $S=\left\{0;\frac{1}{2}\right\}$.

Chọn A

Ta có log 3 ( 2 x + 1) = 2 $\iff$ 2 x + 1 = 32 $\iff$ x = 4 .

Ta có ${\log }_a\left(a\cdot \sqrt[3]{a}\right)={\log }_a{a}^{1+\frac{1}{3}}={\log }_a{a}^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}$.

Ta có $3^x=1\iff x={\log }_{3}1=0$.

Ta có ${\log }_3(3a^2{b}^3)=4\iff 3a^2{b}^3=3^4=81\iff a^2{b}^3=27$.

Đặt $t=\sqrt[3]{3y+9\cdot 2^x}$ và $u=2^x>0$, phương trình trở thành $t^3+9t=u^3+9u\iff t=u\iff 3y+9\cdot 2^x=2^{3x}\iff 3y=2^{3x}-9\cdot 2^x=u^3-9u$ ($u>0$). Khảo sát hàm $h(u)=u^3-9u$ trên $(0;+\infty )$ có ${\min }_{(0;+\infty )}h(u)=h(\sqrt{3})=-6\sqrt{3}\approx -10,39$, suy ra $3y\ge -6\sqrt{3}\iff y\ge -2\sqrt{3}\approx -3,46$. Vì $y\in \mathbb{Z}\cap [-2022;2022)$ nên $y\in \{-3;-2;\dots ;2021\}$, có $2025$ giá trị nguyên.

Ta có $\frac{a^3}{8}={\left(\frac{a}{2}\right)}^3$. Do đó $P={\log }_{\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)}^3=3$.

Ta có $5^{x-1}=25=5^2\iff x-1=2\iff x=3$. Chọn C.

Điều kiện xác định: $x>0$.
Ta có: ${\log }_{2}x=3\iff x=2^3=8$ (thỏa mãn điều kiện).

Chọn đáp án A.

Áp dụng tính chất logarit với $a>0$:
${\log }_3(3a^2)={\log }_{3}3+{\log }_3(a^2)=1+2{\log }_{3}a.$

Chọn đáp án B.

Điều kiện xác định: $2x-3>0⟺x>\frac{3}{2}$.

Phương trình tương đương:
$2x-3=e^0=1⟺2x=4⟺x=2\text{ (thỏa ma˜n)}.$

Ta có:
$2{\log }_{3}a-{\log }_{3}b=3⟺{\log }_3(a^2)-{\log }_{3}b=3⟺{\log }_3\left(\frac{a^2}{b}\right)=3⟺\frac{a^2}{b}=3^3=27⟺a^2=27b.$

Phương trình có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(-m+12)=m^2+m-12$.

- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0⟺[<table><tbody><tr><td>m<-4</td></tr><tr><td>m>3</td></tr></tbody></table>$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Khi đó $|z_1+z_2|=\sqrt{2}|z_1-z_2|⟺(z_1+z_2{)}^2=2(z_1-z_2{)}^2$
$⟺(z_1+z_2{)}^2=2[(z_1+z_2{)}^2-4z_1{z}_2]⟺(z_1+z_2{)}^2-8z_1{z}_2=0$
Theo định lý Vi-ét: $z_1+z_2=-2m$ và $z_1{z}_2=-m+12$.
Thay vào: $(-2m{)}^2-8(-m+12)=0⟺4m^2+8m-96=0⟺m^2+2m-24=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=4\text{ (thỏa ma˜n }m>3)</td></tr><tr><td>m=-6\text{ (thỏa ma˜n }m<-4)</td></tr></tbody></table>$.
Nhận được 2 giá trị nguyên $m=4$ và $m=-6$.

- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0⟺-4<m<3$.
Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: $z_1,z_2=-m\pm i\sqrt{12-m-m^2}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|-2m|=2|m|$ và $|z_1-z_2|=2\sqrt{12-m-m^2}$.
Điều kiện $|z_1+z_2|=\sqrt{2}|z_1-z_2|⟺4m^2=2\cdot 4(12-m-m^2)⟺4m^2=8(12-m-m^2)$
$⟺m^2=2(12-m-m^2)⟺3m^2+2m-24=0.$
Phương trình này có ${\Delta }^{\prime }=1-3(-24)=73$ không phải số chính phương, nên không có nghiệm nguyên $m$.

Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=-6$ và $m=4$.

Điều kiện: $3\cdot 2^x-1>0⟺2^x>\frac{1}{3}$.
Phương trình tương đương:
$3\cdot 2^x-1=2^{2x+1}=2\cdot (2^x{)}^2$.
Đặt $t=2^x>\frac{1}{3}$, phương trình trở thành:
$2t^2-3t+1=0⟺[<table><tbody><tr><td>t=1</td></tr><tr><td>t=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$ (cả hai đều thỏa mãn).
Với $t=1⟹2^x=1⟹x=0$.
Với $t=\frac{1}{2}⟹2^x=2^{-1}⟹x=-1$.
Tổng các nghiệm là $0+(-1)=-1$.
Chọn đáp án C.