Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $4$ mặt phẳng đối xứng, gồm $2$ mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và hai đường chéo của đáy $(SAC),(SBD)$ cùng $2$ mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và trung điểm các cặp cạnh đối của đáy.

Mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng $d=3$ cắt đáy hình trụ theo dây cung có độ dài $a=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{5^2-3^2}=8$. Thiết diện là hình chữ nhật có kích thước $a=8$ và $h=4$, nên diện tích bằng $S=8\cdot 4=32$.

Vì $G$ là trọng tâm của tứ diện $SABC$ nên $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})=\frac{5}{4S{A}^{\prime }}\overrightarrow{S{A}^{\prime }}+\frac{5}{4S{B}^{\prime }}\overrightarrow{S{B}^{\prime }}+\frac{5}{4S{C}^{\prime }}\overrightarrow{S{C}^{\prime }}$. Do bốn điểm $G,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ đồng phẳng nên $\frac{5}{4S{A}^{\prime }}+\frac{5}{4S{B}^{\prime }}+\frac{5}{4S{C}^{\prime }}=1⟹T=\frac{4}{5}=0,8$.

Chọn A.
Khối mười hai mặt đều (loại $\{5;3\}$) có các mặt là các ngũ giác đều, không phải là tam giác đều.
(Các khối tứ diện đều, tám mặt đều, hai mươi mặt đều đều có các mặt là tam giác đều).

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD,BC$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$.

Chọn A.
Theo định nghĩa khối đa diện:
- Hình 1 có hai khối chóp dính nhau tại một đỉnh (không thỏa mãn tính chất mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác và phân chia không gian thành hai miền trong ngoài thông suốt).
- Hình 2, Hình 3, Hình 4 đều là các khối đa diện hợp lệ.
Vậy có 3 khối đa diện, tức $n=3$.

Chọn D.
Gọi chiều cao hình nón là $h=4\sqrt{2}$. Mặt phẳng cắt qua trung điểm trục nên khoảng cách từ đỉnh đến mặt cắt là $h^{\prime }=\frac{h}{2}=2\sqrt{2}$.
Thiết diện thu được là hình tròn có diện tích $S=\pi r^{\prime 2}=8\pi ⟹r^{\prime }=2\sqrt{2}$.
Vì thiết diện đồng dạng với đáy với tỉ số vị tự $\frac{1}{2}$, nên bán kính đáy của hình nón là $R=2r^{\prime }=4\sqrt{2}$.
Độ dài đường sinh của hình nón là:
$$l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{32+32}=8.$$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
$$S_{xq}=\pi Rl=\pi \cdot 4\sqrt{2}\cdot 8=32\sqrt{2}\pi .$$

Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng gồm:
- 3 mặt phẳng đi qua một cạnh bên và trung điểm của cạnh đáy đối diện.
- 1 mặt phẳng đi qua trung điểm của tất cả các cạnh bên (song song với hai mặt đáy).
Vậy có tất cả 4 mặt phẳng đối xứng.
Chọn C.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hình chóp tứ giác có 4 cạnh đáy và 4 cạnh bên xuất phát từ đỉnh nối đến 4 đỉnh của đáy.
Tổng số cạnh là $4+4=8$ cạnh.

Khối lăng trụ tam giác có hai đáy là hai tam giác nên có tất cả $3+3=6$ đỉnh.

Hình chóp tứ giác đều có $4$ mặt phẳng đối xứng (hai mặt phẳng đi qua đỉnh và đường chéo đáy, hai mặt phẳng đi qua đỉnh và trung điểm các cặp cạnh đối của đáy).

Chọn A.
Một hình tứ diện có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh.

Một hình tứ diện có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh.
Chọn D.

Trung điểm của các cạnh của một hình tứ diện đều là 6 đỉnh của một hình bát diện đều.
Chọn B.

Chọn C.
Hình C không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của nhiều hơn hai miền đa giác.

Chọn D.
Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
a) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình 3 không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh chỉ là cạnh chung của một đa giác (hoặc nhiều hơn 2 đa giác).

Chọn C.
Khối đa diện được tạo bởi 7 khối lập phương bằng nhau ghép lại: gồm 1 khối lập phương ở trung tâm và 6 khối lập phương gắn vào 6 mặt của khối lập phương trung tâm.
Khối lập phương ở trung tâm bị che kín cả 6 mặt.
Mỗi khối lập phương trong 6 khối bên ngoài có đúng 1 mặt dính vào khối trung tâm và 5 mặt lộ ra ngoài.
Vậy tổng số mặt của khối đa diện là $6\times 5=30$ mặt.

Chọn C.
Hình đa diện gồm hai khối chóp ngũ giác ghép chung một mặt đáy ngũ giác. Đáy ngũ giác có 5 cạnh, khối trên có 5 cạnh bên, khối dưới có 5 cạnh bên, tổng cộng có $5+5+5=15$ cạnh.

Chọn B.
Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$, suy ra đường sinh $l=a$.
Đường kính đáy là cạnh huyền của tam giác: $2R=a\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi Rl=\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)a=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}$.

Hình lăng trụ có đáy là đa giác $n$ đỉnh thì có $2n$ đỉnh và $n$ mặt bên. Từ $2n=2020\Rightarrow n=1010$ mặt bên.