Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Theo định nghĩa khối đa diện, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt. Khẳng định B 'ít nhất ba mặt' là sai.

Trong hình nón có bán kính đáy $R$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$, ta có $l=\sqrt{R^2+h^2}$.

Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng $h=7a$ và cạnh còn lại bằng $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{25a^2-9a^2}=8a$. Diện tích thiết diện là $S=8a\cdot 7a=56a^2$.

Khối đa diện đều loại $\{p;q\}$ là khối mà mỗi mặt là đa giác đều có $p$ cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của $q$ mặt. Loại $\{4;3\}$ có các mặt là hình vuông ($p=4$) và mỗi đỉnh chung của 3 mặt ($q=3$), đó chính là khối lập phương.

Chọn đáp án D.

Hình chóp tứ giác có 4 cạnh đáy và 4 cạnh bên, do đó có tổng cộng $4+4=8$ cạnh.

Chọn đáp án D.

Chọn C.
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất: mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác, và hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
Quan sát 4 hình trong đề bài, hình thứ hai không thỏa mãn tính chất cạnh chung/chia không gian, các hình 1, 3, 4 là hình đa diện.
Vậy có 3 hình đa diện.

Khối thập nhị diện đều ($12$ mặt đều) có $20$ đỉnh, nhiều nhất trong $5$ khối đa diện đều.

Khối đa diện đều loại $\{4;3\}$ là khối lập phương có $8$ đỉnh.

Theo định nghĩa hình đa diện, mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.

Khối bát diện đều có mỗi mặt là tam giác đều ($3$ cạnh) và mỗi đỉnh là đỉnh chung của $4$ mặt nên thuộc loại $\{3;4\}$.

Hình chóp tứ giác đều có $4$ mặt phẳng đối xứng (gồm $2$ mặt phẳng qua đỉnh và hai đường chéo đáy, $2$ mặt phẳng qua đỉnh và trung điểm các cặp cạnh đối của đáy).

Gọi $M$ là trung điểm dây cung $AB$, từ $\frac{1}{d^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{O{M}^2}\Rightarrow \frac{25}{9a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{O{M}^2}\Rightarrow OM=\frac{3a}{4}$. Khi đó $SM=\sqrt{h^2+O{M}^2}=\frac{5a}{4}$ và $AM=\sqrt{r^2-O{M}^2}=a\Rightarrow AB=2a$. Diện tích thiết diện là $S=\frac{1}{2}AB\cdot SM=\frac{5}{4}{a}^2$.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Theo định nghĩa khối đa diện, mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Ở Hình D, cạnh đáy của hình chóp gắn thêm một tam giác ngoài, làm cho cạnh đó trở thành cạnh chung của nhiều hơn hai mặt, do đó Hình D không phải là hình đa diện. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn D.

Chọn A

Hạ: OI \perp AB, OH \perp SI . Từ đó ta có: AB \perp ( SOI ) $\Rightarrow$ AB \perp OH

\widehat
Nên: OH \perp ( SAB ) $\Rightarrow$ SO ( \widehat = 30
, ( SAB ) = OHS )
1
Do: S SAB = SA.SB = 4a 2 $\iff$ SA = 2 2a $\Rightarrow$ AB = 4a $\Rightarrow$ AI = 2a
2

Xét tam giác vuông SOI : SO = SI .cos30 = a 3

x1 ; x x  x thoả

Hình tứ diện có $4$ đỉnh và $6$ cạnh (ví dụ tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD,BC,BD,CD$).

Ta thấy $B$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Mặt khác, $A^{\prime }D\subset (A^{\prime }BD)$ và $B^{\prime }C\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Do tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ hoặc các mặt đối song song, ta có $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$.
Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.
Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $A^{\prime }D$.
Chọn đáp án B.

Vì $(P)\parallel AB$ và $(P)\parallel CD$, thiết diện $MNPQ$ là hình bình hành có các cạnh song song với $AB$ và $CD$.
Góc giữa hai cạnh kề của hình bình hành bằng góc giữa $AB$ và $CD$, tức là $60^{\circ }$.
Ta có $\frac{MC}{BC}=\frac{1}{3}$ và $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$.
- Đoạn $MQ\parallel AB⟹MQ=\frac{MC}{BC}AB=\frac{1}{3}\cdot 6=2$.
- Đoạn $MN\parallel CD⟹MN=\frac{BM}{BC}CD=\frac{2}{3}\cdot 3=2$.
Diện tích hình bình hành $MNPQ$ là:
$S=MQ\cdot MN\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
Chọn đáp án B.

Thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với trục là một hình chữ nhật có một kích thước bằng chiều cao $h=4a$, kích thước còn lại là dây cung $AB$ của đường tròn đáy. Khoảng cách từ tâm đáy đến dây cung là $d=a$. Độ dài dây cung $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=2a\sqrt{3}$. Diện tích thiết diện là $S=AB\cdot h=(2a\sqrt{3})\cdot (4a)=8a^2\sqrt{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Có đúng 5 loại khối đa diện đều: tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều (khối 8 mặt đều), mười hai mặt đều, và hai mươi mặt đều. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.