Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Hình đa diện gồm một khối chóp tứ giác ghép với một khối lăng trụ tứ giác hoặc hình chóp cụt / bát diện: Đếm trực tiếp các cạnh: đáy dưới 4 cạnh, đáy trên hoặc trung gian 4 cạnh, các cạnh bên và cạnh đỉnh chóp tạo thành tổng cộng 16 cạnh. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

**Chọn A**

Khối bát diện đều có các mặt là tam giác đều ($p=3$) và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $4$ mặt ($q=4$). Do đó khối bát diện đều thuộc loại $\{3;4\}$.

Hình bát diện đều (loại $\{3;4\}$) có $6$ đỉnh, $12$ cạnh và $8$ mặt.

Từ chiều cao $h=2a$, bán kính đáy $r=a$ và khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện qua đỉnh, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra diện tích thiết diện theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 (trang 9) là $\frac{\sqrt{15}}{4}{a}^2$.

Số đỉnh của khối tứ diện đều, thập nhị diện đều, nhị thập diện đều và bát diện đều lần lượt là $4,20,12,6$. Vậy khối thập nhị diện đều có số đỉnh nhiều nhất ($20$ đỉnh).

Điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$ của đáy $(ABCD)$ nên không thuộc mặt phẳng $(SCD)$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0104, trang 5): D.

Hình đa diện đã cho gồm:
- 1 mặt đáy là hình ngũ giác,
- 5 mặt xung quanh phía dưới là các hình tứ giác,
- 5 mặt xung quanh phía trên là các hình tam giác có chung đỉnh chóp.
Tổng số mặt là $1+5+5=11$ mặt.

Hình bát diện đều có mỗi mặt là một tam giác đều (3 cạnh) và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 mặt. Do đó bát diện đều thuộc loại $\{3;4\}$. Chọn C.

Trong một khối đa diện (chẳng hạn hình lập phương), hai mặt đối diện song song không có điểm chung nên khẳng định D sai.

Lăng trụ có 15 cạnh bên nên hai mặt đáy là hai đa giác có 15 cạnh. Tổng số cạnh của hình lăng trụ là $15+15+15=45$ cạnh. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn C.

Hình 3 không phải là hình đa diện vì có cạnh là cạnh chung của nhiều hơn hai đa giác (hoặc không thỏa mãn tính chất mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng 2 đa giác). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn C.

Theo định nghĩa khối đa diện, mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt. Chọn A.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ có $S_{SAB}=\frac{1}{2}S{A}^2=4a^2\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, ta có $SM=\frac{AB}{2}=2a$. Góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và trục $SO$ là $\widehat{OSM}=30^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SOM$: chiều cao $h=SO=SM\cdot \cos 30^{\circ }=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$? Chú ý góc tạo với trục là $30^{\circ }$: $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nếu $SM$ là cạnh huyền? Tam giác $SOM$ vuông tại $O$, do đó $SO=SM\cdot \cos 30^{\circ }$ hoặc theo hình học thiết diện cho $h=a\sqrt{6}$. Chọn B.

Chọn A

Gọi S là đình của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng
nhau là SA = SB nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB .
Gọi I là trung điêm của đoạn AB , ta có OI \perp AB . Từ tâm O của đáy ta kẻ OH \perp SI tại H , ta
có OH \perp ( SAB) và do đó theo giả thiết ta có OH = 12 cm . Xét tam giác vuông SOI
1 1 1 1 1
ta có: 2
= 2
- 2
= 2 - 2 $\Rightarrow$ OI = 15( cm).
OI OH OS 12 20
OS .OI 20.15
Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có: OS .OI = SI .OH $\Rightarrow$ SI = = = 25( cm).
OH 12
1
Gọi St là diện tích của thiết diện tam giác SAB . Ta có: St = AB.SI , trong đó
2
AB = 2 AI . Vì AI = OA - OI = 25 - 15 = 20 nên AI = 20 cm và AB = 40 cm .
2 2 2 2 2 2

1
Vậy thiết diện SAB có diện tích là: St =  40  25 = 500 ( cm 2 ) .
2

Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$.

Khối bát diện đều thuộc loại khối đa diện đều $\{3;4\}$. Chọn C.

Đặt $x=\frac{SA}{SI},y=\frac{SC}{SJ},z=\frac{SD}{SK}$ thì $Q=13x^2+y^2+4z^2-12x=4x^2+y^2+4z^2+9x^2-12x=4x^2+y^2+4z^2+(3x-2{)}^2-4$ với $x,y,z>0$.
Ta có $\overrightarrow{SG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{SE}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{SD})=\frac{1}{3}\overrightarrow{SO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{SA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{SC}+\frac{1}{3}\frac{SD}{SK}\overrightarrow{SK}=\frac{1}{6}x\overrightarrow{SI}+\frac{1}{6}y\overrightarrow{SJ}+\frac{1}{3}z\overrightarrow{SK}$.
Vì $G,I,J,K$ đồng phẳng nên $\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}z=1\iff x+y+2z=6$.
Khi đó $6^2={\left(\frac{1}{2}\cdot 2x+1\cdot y+1\cdot 2z\right)}^2\le \left(\frac{1}{4}+1+1\right)(4x^2+y^2+4z^2)\Rightarrow 4x^2+y^2+4z^2\ge 16$, đồng thời $(3x-2{)}^2-4\ge -4$.
Vì vậy $Q=4x^2+y^2+4z^2+(3x-2{)}^2-4\ge 16-4=12$. Hay $Q_{\min }=12=\overline{ab}\Rightarrow a+b=3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ \frac{2x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{2z}{1}\\ x+y+2z=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{8}{3}\\ z=\frac{4}{3}.\end{array}$
Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 2000, trang 8), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

a) Đúng vì đường cao mặt bên $(SAB)$ là $h_{SAB}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$, hình thang $EFGH$ có đáy lớn $EF=4\text{ m}$, đáy nhỏ $HG=2\text{ m}$, chiều cao $2,5\text{ m}$ nên diện tích là $\frac{4+2}{2}\cdot 2,5=7,5{\text{ m}}^2$.
b), c), d) Đúng theo phép chiếu tâm $I(0;0;a)$ qua $H,G$ có cao độ $z_H=z_G=2\text{ m}$ và hoành độ $x_H=x_G=1,5\text{ m}$.

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$. Để $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\overrightarrow{MS}+4\overrightarrow{MO}=\vec{0}\Rightarrow \frac{SM}{SO}=\frac{4}{5}$. Khi đó $a=4,b=5\Rightarrow a+b=9$.

Chọn D.

Khối bát diện đều có $12$ cạnh ($8$ mặt, $6$ đỉnh).