Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: h(x)=sin2x nên h'(x)=2cos2x (quy tắc chuỗi), không phải cos2x. b) Đúng: f'(x)=3x^2-4x+2. c) Đúng: h'(0)=2cos0=2. d) Đúng: hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0=2 là f'(2)=3.4-8+2=6. Kết quả khớp đáp án chính thức SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=sin2x nên h'(x)=2cos2x, không phải cos2x.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-4x+2.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(0)=2cos0=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(2)=12-8+2=6.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-2}{x}=x-\frac{2}{x}$. Khi đó $y^{\prime }=1+\frac{2}{x^2}=\frac{x^2+2}{x^2}$, suy ra $a=1,b=0,c=2$. Vậy $T=a+b+c=1+0+2=3$, trùng với đáp án nguồn (Đề 1013, Phần 3 Câu 3 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Mã đề 1012), đáp án chính thức: SĐĐS. a) $h(x)=\cos 2x\Rightarrow h^{\prime }(x)=-2\sin 2x\ne -2\sin x$ → Sai. b) $f(x)=x^4-2x^2+9\Rightarrow f^{\prime }(x)=4x^3-4x$ → Đúng. c) $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-2\sin \frac{\pi }{2}=-2$ → Đúng. d) Hệ số góc tiếp tuyến của $(C)$ tại $x_0=2$ là $f^{\prime }(2)=4\cdot 8-8=24\ne 8$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=-2\sin 2x$, không phải $-2\sin x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x^3-4x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-2\sin \frac{\pi }{2}=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(2)=4\cdot 2^3-4\cdot 2=24\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+3}{x}=x+\frac{3}{x}$. Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}$. Vậy $a=1,b=0,c=-3$, suy ra $T=a+b+c=1+0-3=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 1012, Câu 4: -2).

$y=\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}=\frac{{\left({\log }_3\left(x^3+2x\right)\right)}^{\prime }}{2\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}}$

$=\frac{{\left(x^3+2x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}.\left(x^3+2x\right)\ln 3}$

$=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}.\left(x^3+2x\right)\ln 3}$

Thay số. (Lưu ý: HS ra kết quả gần đúng cũng cho điểm. HS ko tính đạo hàm, chỉ có kết quả cuối cùng KHÔNG cho điểm.) (điểm 0,25 × 4).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: h(x)=sin2x nên h'(x)=2cos2x, không phải cos2x. b) Đúng: f'(x)=3x^2-4x+2. c) Đúng: h'(0)=2cos0=2. d) Đúng: f'(2)=12-8+2=6, trùng với đáp án chính thức SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=sin2x nên h'(x)=2cos2x, không phải cos2x.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-4x+2.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(0)=2cos0=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(2)=3(4)-8+2=6.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-2}{x}=x-\frac{2}{x}$, với $x\ne 0$. Khi đó $y^{\prime }=1+\frac{2}{x^2}=\frac{x^2+2}{x^2}$. Vậy $a=1,b=0,c=2$, suy ra $T=a+b+c=1+0+2=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 1011, Phần 3 Câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (mã đề 1102), Phần II đúng-sai, hàm số $f(x)=x^5+3x$.
a) Sai. Theo định nghĩa, $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, còn mẫu $x+x_0$ và tử $f(x)+f(x_0)$ trong đề là sai (khi $x\to x_0$ mẫu tiến về $2x_0$, không phải dạng hiệu thương).
b) Đúng. $f^{\prime }(x)=5x^4+3$.
c) Đúng. Với $x\ne 0$ (thực chất $f(x)=x(x^4+3)\ne 0$ khi $x\ne 0$), $g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}=-\frac{5x^4+3}{(x^5+3x{)}^2}$.
d) Sai. $M(1;4)$ thuộc $(C)$ vì $f(1)=1+3=4$. $f^{\prime }(1)=5+3=8$, tiếp tuyến: $y=8(x-1)+4=8x-4\ne 8x-3$.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (S Đ Đ S cho mã 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa đúng là $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; biểu thức với $f(x)+f(x_0)$ và $x+x_0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=5x^4+3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}=-\frac{5x^4+3}{(x^5+3x{)}^2}$ với $x\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=8$, tiếp tuyến tại $M(1;4)$: $y=8(x-1)+4=8x-4$, không phải $y=8x-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x+2}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{5}{(x+2{)}^2}$. Tại $x_0=-1$ (thuộc tập xác định vì $x\ne -2$): $y^{\prime }(-1)=\frac{5}{(-1+2{)}^2}=5$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III câu 1 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. b) $f^{\prime }(x)=5x^4+4$, đúng. c) $g(x)=\frac{1}{f(x)}\Rightarrow g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x{)}^2}=-\frac{5x^4+4}{(x^5+4x{)}^2}$, mệnh đề thiếu dấu âm nên sai. d) $f(1)=5$ nên $M(1;5)$ thuộc $(C)$, $f^{\prime }(1)=9$, tiếp tuyến: $y=9(x-1)+5=9x-4\ne 9x+5$, sai. Kết quả khớp đáp án Đ Đ S S của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của $f$ tại $x_0$: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^5+4x\Rightarrow f^{\prime }(x)=5x^4+4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ ta có $g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}=-\frac{5x^4+4}{(x^5+4x{)}^2}$, mệnh đề thiếu dấu âm nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(1;5)\in (C)$ vì $f(1)=5$. Hệ số góc $f^{\prime }(1)=5+4=9$. Tiếp tuyến: $y=9(x-1)+5=9x-4\ne 9x+5$ nên sai.

$y^{\prime }=3{\sin }^{2}x.(\sin x{)}^{\prime }-\sin 2x.(2x{)}^{\prime }=3{\sin }^{2}x.\cos x-2\sin 2x$.

(Học sinh đạo hàm đúng một trong hai hàm cho 0,25đ)

a) Tính $y^{\prime }=x^2-2x$ (0,5 điểm).

b) Giải pt $y^{\prime }=0\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$ (0,25 điểm).

c) Do TT song song với d: $y=3x+10\Rightarrow k=3$

Hệ số góc của TT: $k=3\iff y^{\prime }=3\iff x^2-2x=-3\iff x^2-2x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right]$ (0,25 điểm).

TH1: $x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-\frac{1}{3}$; $(k=3)$

$\Rightarrow$ PTTT: $y+\frac{1}{3}=3(x+1)$

$\iff y=3x+\frac{8}{3}$ (0,25 điểm).

TH2: $x_0=3\Rightarrow y_0=y(3)=1$; $(k=3)$

$\Rightarrow$ PTTT: $y+1=3(x-3)$

$\iff y=3x-8$ (loại).

KL: Có 1 TT song song với d là $y=3x+\frac{8}{3}$ (0,25 điểm).

Lưu ý: Lời giải nguồn giữ nguyên theo bản gốc; có dấu hiệu sai toán học (phương trình $x^2-2x+3=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nhưng lời giải kết luận $x=-1$ hoặc $x=3$; giá trị $y(-1)$ không khớp hàm số) và đề bài ghi đường thẳng d: $y=3x-8$ trong khi lời giải ghi d: $y=3x+10$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=-x^3+3x^2+1$. a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$: hai nghiệm phân biệt → Đúng. b) $f(-1)=-(-1{)}^3+3(-1{)}^2+1=1+3+1=5\ne -3$ → Sai. c) Đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$, không phải $-x^2+3x+1$ → Sai. d) $f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$ nên $f^{\prime \prime }(0)=6\ne 0$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1011: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ có hai nghiệm $x=0,x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-1)=1+3+1=5\ne -3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$, không phải $-x^2+3x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$ nên $f^{\prime \prime }(0)=6\ne 0$.

a) Tính $y^{\prime }=x^2+2x-3$ (0,5 điểm).

b) Giải pt $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}$ (0,25 điểm).

c) Do TT song song với d: $y=-3x+1\Rightarrow$ k = -3.

Hệ số góc của TT: k = -3 $\iff y^{\prime }=-3\iff x^2+2x-3=-3\iff x^2+2x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ (0,25 điểm).

TH1: $x_0=0\Rightarrow y_0=y(0)=1$; (k = -3)

$\Rightarrow$ PTTT : $y-1=-3(x-0)$
$\iff y=-3x+1$ (loại) (0,25 điểm).

TH2: $x_0=-2\Rightarrow y_0=y(-2)=\frac{25}{3}$; (k = -3)

$\Rightarrow$ PTTT : $y-\frac{25}{3}=-3(x+2)$
$\iff y=-3x+\frac{7}{3}$

KL: Có 1 TT song song với d là $y=-3x+\frac{7}{3}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-6x+8$. Giải $y^{\prime }=0$: $x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Tích các nghiệm: $2\cdot 4=8$. Vậy chọn đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã 111, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=2x-6$ nên $f^{\prime }(-3)=2(-3)-6=-12\ne 32$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=2x-6$ → Đúng. c) $f(-3)=9+18+5=32$, tiếp tuyến: $y=f^{\prime }(-3)(x+3)+32=-12(x+3)+32=-12x-4$ → Đúng. d) $f^{\prime }(a)=2a-6=2\Rightarrow a=4$, $b=f(4)=16-24+5=-3$, nên $a+b=1$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã 111, Câu 1: S, Đ, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(-3)=2(-3)-6=-12\ne 32$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2x-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-3)=32$, $y=-12(x+3)+32=-12x-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2a-6=2\Rightarrow a=4$, $b=-3$, $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x+8)}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+7x+6-x^2-3x-8}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-2}{(x+2{)}^2}$. Vậy $a=1,b=4,c=-2$, do đó $T=a+b+c=1+4-2=3$. Kết quả trùng với đáp số nguồn (đáp số 3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+5x+4$.

a) $f^{\prime }(x)=x^2-6x+5$, $f^{\prime \prime }(x)=2x-6$. Giải $f^{\prime \prime }(x)=0\iff x=3\ne 4$ → Sai.

b) $f(3)=9-27+15+4=1$ nên $M(3;1)\in (C)$. $f^{\prime }(3)=9-18+5=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4(x-3)+1=-4x+13\ne -4x+10$ → Sai.

c) $f^{\prime }(x)=x^2-6x+5\ne x^2-6x+4$ → Sai.

d) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=3$ đúng là $k=f^{\prime }(3)=-4$ → Đúng.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng, phù hợp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=2x-6=0\iff x=3$, không có nghiệm $x=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(3)=-4$, $f(3)=1$, tiếp tuyến là $y=-4(x-3)+1=-4x+13\ne -4x+10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2-6x+5$, không phải $x^2-6x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hệ số góc của tiếp tuyến tại hoành độ $x=3$ là $k=f^{\prime }(3)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(4x-1)(x-1)-(2x^2-x+4)}{(x-1{)}^2}=\frac{4x^2-5x+1-2x^2+x-4}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x-3}{(x-1{)}^2}$. Vậy $a=2,b=-4,c=-3$, nên $S=a^2+b^2+c^2=4+16+9=29$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (29).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+5x+4$.
a) $f^{\prime }(x)=x^2-6x+5\ne x^2-6x+4$ ⇒ Sai.
b) $f(3)=9-27+15+4=1$ nên $M(3;1)\in (C)$; $f^{\prime }(3)=9-18+5=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4(x-3)+1=-4x+13\ne -4x+10$ ⇒ Sai.
c) Theo định nghĩa, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $k=f^{\prime }(x_0)$, nên với $x=3$ thì $k=f^{\prime }(3)$ ⇒ Đúng.
d) $f^{\prime \prime }(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3\ne 4$ ⇒ Sai.
Kết quả: S, S, Đ, S, khớp bảng đáp án mã đề 111, Phần II câu 2: SSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=x^2-6x+5\ne x^2-6x+4$, nên ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(3)=1$ nên M thuộc (C); $f^{\prime }(3)=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4(x-3)+1=-4x+13\ne -4x+10$, nên ý b) Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Theo định nghĩa hệ số góc tiếp tuyến tại hoành độ $x_0$ là $k=f^{\prime }(x_0)$, nên $k=f^{\prime }(3)$. Ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime \prime }(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3\ne 4$, nên ý d) Sai. Khớp đáp án mã đề 111: SSĐS.