Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 nam và 3 nữ (cá nhân phân biệt) vào ghế dài.
a) Xếp ngẫu nhiên 7 người: 7! = 5040 cách → đúng.
b) Nếu mỗi nhóm giới ngồi liền nhau: coi nhóm nam là 1 khối, nhóm nữ là 1 khối, có 2!·4!·3! = 2·24·6 = 288 cách, không phải 240 → sai.
c) Xen kẽ: với 4 nam, 3 nữ, dãy phải dạng N N N N N N N (nữ nằm giữa các nam). Xếp nam: 4! = 24; chọn và xếp nữ vào 3 trong 4 khoảng trống giữa các nam: A(4,3) = 24. Tổng 24·24 = 576 cách, không phải 288 → sai. (Lưu ý: nếu hiểu xen kẽ tối đa tức nữ chỉ ngồi giữa nam thì 4!·3! = 144, cũng khác 288.)
d) Nữ không ngồi cạnh nhau: xếp 4 nam trước: 4! = 24; có 5 khoảng trống, chọn 3 chỗ cho nữ: A(5,3) = 60. Tổng 24·60 = 1440 cách, không phải 3600 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
7! = 5040 cách xếp 7 người phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giới liền nhau: 2!·4!·3! = 288 cách, không phải 240.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ: 4!·A(4,3) = 24·24 = 576 cách (hoặc 4!·3! = 144 nếu chỉ dãy N N N N N N N), đều khác 288.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nữ không cạnh nhau: 4!·A(5,3) = 24·60 = 1440 cách, không phải 3600.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 16 số thành 3 nhóm theo số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 gồm {3;6;9;12;15} có 5 thẻ; nhóm dư 1 gồm {1;4;7;10;13;16} có 6 thẻ; nhóm dư 2 gồm {2;5;8;11;14} có 5 thẻ. Tổng 3 số chia hết cho 3 khi hoặc cả 3 thẻ cùng nhóm, hoặc mỗi nhóm lấy đúng 1 thẻ. Trường hợp 1: $C_5^3+C_6^3+C_5^3=10+20+10=40$. Trường hợp 2: $5\cdot 6\cdot 5=150$. Tổng: $40+150=190$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Cho tập $S=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ (7 chữ số).

**a.** Số tự nhiên có 4 chữ số: chữ số đầu tiên có 6 cách (khác 0), ba chữ số sau mỗi chữ có 7 cách. Vậy số các số là $6\cdot 7\cdot 7\cdot 7=6\cdot 343=2058$.

**b.** Số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chẵn, xét chữ số tận cùng:
- Chữ số tận cùng là $0$: chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số còn lại, có $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$ số.
- Chữ số tận cùng là $2,4$ hoặc $6$ (3 cách): chữ số đầu có 5 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng), chữ số thứ hai có 5 cách, chữ số thứ ba có 4 cách, nên có $3\cdot 5\cdot 5\cdot 4=300$ số.

Tổng: $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sắp xếp 11 người (6 nam, 5 nữ, đôi một khác nhau) vào một ghế dài là hoán vị của 11 phần tử: $11!$ cách → đúng.
b) Chọn cùng lúc 4 bạn từ 11 bạn: $|\Omega |=C(11,4)=330$ → đúng.
c) Chọn 2 nam từ 6 và 2 nữ từ 5: $C(6,2)\cdot C(5,2)=15\cdot 10=150$, không phải 250 → sai.
d) Biến cố 'ít nhất 2 nữ': 2 nữ 2 nam: $C(5,2)C(6,2)=150$; 3 nữ 1 nam: $C(5,3)C(6,1)=10\cdot 6=60$; 4 nữ: $C(5,4)=5$. Tổng $=150+60+5=215$. Xác suất $=215/330$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 11 người khác nhau vào ghế dài: $11!$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\Omega |=C(11,4)=330$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số kết quả thuận lợi $=C(6,2)\cdot C(5,2)=15\cdot 10=150\ne 250$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn có ít nhất 2 nữ $=C(5,2)C(6,2)+C(5,3)C(6,1)+C(5,4)=150+60+5=215$, nên $P=215/330$.

(AI giải đề cho tôi)
Xem hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau như một khối. Khối này có thể ở một trong 4 vị trí (vị trí các chữ số 1-2, 2-3, 3-4, 4-5). Với mỗi vị trí khối, chọn 3 chữ số từ 8 chữ số còn lại (0,3,4,5,6,7,8,9) và sắp xếp: $A_8^3=336$ cách; hai chữ số trong khối có thể đổi chỗ cho nhau: 2 cách. Tổng: $4\cdot A_8^3\cdot 2=4\cdot 336\cdot 2=2688$. Vậy có 2688 số thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ít nhất 5 chữ số từ 6 chữ số {0,1,2,3,4,5} nên chỉ có thể có 5 hoặc 6 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, số chẵn nên chữ số tận cùng là 0, 2 hoặc 4.

Số có 5 chữ số:
- Tận cùng 0: 5 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí đầu: $A_5^4=120$.
- Tận cùng 2 hoặc 4 (2 cách): chữ số đầu khác 0 nên có 4 cách, 3 vị trí giữa chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot A_4^3=96$ mỗi trường hợp, tổng $2\cdot 96=192$.
Tổng số 5 chữ số: $120+192=312$.

Số có 6 chữ số (dùng đủ 6 chữ số):
- Tận cùng 0: $5!=120$.
- Tận cùng 2 hoặc 4: chữ số đầu khác 0: $4\cdot 4!=96$ mỗi trường hợp, tổng $192$.
Tổng số 6 chữ số: $120+192=312$.

Vậy tổng cộng: $312+312=624$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge 3$ và $x$ nguyên. Ta có $C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}$, $A_{x-1}^2=(x-1)(x-2)$. Phương trình: $\frac{x(x-1)}{2}+5=(x-1)(x-2)$. Nhân 2: $x^2-x+10=2x^2-6x+4\iff x^2-5x-6=0\iff (x-6)(x+1)=0$, nên $x=6$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=6$ thỏa điều kiện. Thử lại: $C_6^2=15$, $15+5=20=A_5^2=5\cdot 4=20$. Vậy tập nghiệm $S=\{6\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên từ 24 viên. Biến cố E: 4 viên chỉ có đúng 2 màu. Xét từng cặp màu, loại trường hợp 4 viên cùng một màu:
- Đỏ và xanh: $C_{14}^4-C_6^4-C_8^4=1001-15-70=916$.
- Đỏ và trắng: $C_{16}^4-C_6^4-C_{10}^4=1820-15-210=1595$.
- Xanh và trắng: $C_{18}^4-C_8^4-C_{10}^4=3060-70-210=2780$.
Tổng số kết quả thuận lợi: $916+1595+2780=5291$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $4+3+3=10$ quyển sách đôi một khác nhau xếp trên một hàng ngang.
a) Xếp tùy ý: $10!=3628800$ cách → mệnh đề ĐÚNG.
b) Coi 3 sách Hóa là một khối: xếp khối này cùng 7 quyển còn lại là $8!$ cách, trong khối xếp $3!$ cách. Tổng: $8!\cdot 3!=40320\cdot 6=241920$ cách, không phải 6 → mệnh đề SAI.
c) Xếp 3 khối bộ môn: $3!$ cách; trong khối Toán $4!$, khối Lí $3!$, khối Hóa $3!$ cách. Tổng: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 3!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 6=5184$ cách → mệnh đề ĐÚNG.
d) Chọn và xếp 2 trong 4 sách Toán vào hai đầu giá sách: $A_4^2=12$ cách; xếp 8 quyển còn lại vào 8 vị trí giữa: $8!=40320$ cách. Tổng: $12\cdot 40320=483840$ cách, không phải $80640$ (số $2\cdot 8!=80640$ chỉ đúng khi hai quyển Toán ở hai đầu được chỉ định trước, bỏ qua việc chọn từ 4 sách Toán) → mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$10!=3628800$ cách xếp tùy ý 10 quyển sách khác nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$8!\cdot 3!=241920$ cách, không phải 6 (số 6 chỉ là $3!$ cách xếp trong khối Hóa).
c) (AI giải đề cho tôi)
$3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 3!=5184$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^2\cdot 8!=12\cdot 40320=483840$ cách, không phải $80640$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bao hàm - loại trừ. Tổng số cách chọn 6 từ 15: $C_{15}^6=5005$. Loại trường hợp khối 12 không có: $C_9^6=84$; khối 11 không có: $C_{11}^6=462$; khối 10 không có: $C_{10}^6=210$. Cộng lại các trường hợp trùng: chỉ chọn từ khối 12 (thiếu cả khối 11 và 10): $C_6^6=1$; từ khối 11: $C_4^6=0$; từ khối 10: $C_5^6=0$. Vậy số cách là $5005-(84+462+210)+1=4250$.

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn 3 người phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, đồng thời có cả nam và nữ. Vật lý chỉ có nam nên xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: 2 giáo viên Toán + 1 giáo viên Vật lý. Để có nữ trong đoàn, trong 2 giáo viên Toán phải có ít nhất một nữ: chọn 1 nữ Toán và 1 nam Toán: $C_3^1{C}_5^1=15$ cách; chọn 1 giáo viên Vật lý nam: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $15\times 4=60$.
- Trường hợp 2: 1 giáo viên Toán + 2 giáo viên Vật lý. Vì 2 giáo viên Vật lý đều nam nên giáo viên Toán phải là nữ: $C_3^1=3$ cách; chọn 2 giáo viên Vật lý: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\times 6=18$.
Tổng số cách: $60+18=78$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 40 thẻ theo số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 có 13 thẻ (3,6,...,39), nhóm dư 1 có 14 thẻ (1,4,...,40), nhóm dư 2 có 13 thẻ (2,5,...,38). Tổng của 3 số chia hết cho 3 khi: cả ba cùng nhóm, hoặc ba thẻ thuộc ba nhóm khác nhau.
- Cùng nhóm: $C_{13}^3+C_{14}^3+C_{13}^3=286+364+286=936$.
- Ba nhóm khác nhau: $13\cdot 14\cdot 13=2366$.
Tổng: $936+2366=3302$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ từ 10 thẻ: không gian mẫu có $|\Omega |=C_{10}^5=252$ phần tử. Biến cố $A$: 'Trong 5 thẻ có đúng 3 thẻ màu đỏ' nghĩa là chọn 3 thẻ đỏ từ 4 thẻ đỏ và 2 thẻ xanh từ 6 thẻ xanh, nên $|A|=C_4^3\cdot C_6^2=4\cdot 15=60$. Vậy xác suất $P(A)=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}\approx 0,238$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số sách: 6 + 7 + 8 = 21 cuốn.
a) Lấy 1 cuốn: theo quy tắc cộng có 6 + 7 + 8 = 21 cách → đúng.
b) Lấy 3 cuốn, mỗi môn một cuốn: theo quy tắc nhân có 6 × 7 × 8 = 336 cách, không phải 363 → sai.
c) Lấy 2 cuốn từ hai môn khác nhau: 6×7 + 6×8 + 7×8 = 42 + 48 + 56 = 146 cách → đúng.
d) Lấy 3 cuốn sao cho chỉ thuộc hai môn khác nhau (tức không cả 3 cùng một môn): C(21,3) − C(6,3) − C(7,3) − C(8,3) = 1330 − 20 − 35 − 56 = 1219 cách, không phải 766 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
6 + 7 + 8 = 21 cách (quy tắc cộng).
b) (AI giải đề cho tôi)
6 × 7 × 8 = 336 cách, không phải 363.
c) (AI giải đề cho tôi)
6×7 + 6×8 + 7×8 = 42 + 48 + 56 = 146 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
C(21,3) − C(6,3) − C(7,3) − C(8,3) = 1330 − 20 − 35 − 56 = 1219 cách, không phải 766.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số cách lấy 3 sản phẩm bất kỳ từ 100 sản phẩm: $C_{100}^3=\frac{100\cdot 99\cdot 98}{6}=161700$ → đúng.
b) Lấy 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm: $C_{97}^2\cdot C_3^1=4656\cdot 3=13968\ne 13986$ → sai.
c) Ít nhất một thứ phẩm = tổng số cách trừ trường hợp không có thứ phẩm: $161700-C_{97}^3=161700-147440=14260$ → đúng.
d) Ít nhất 2 chính phẩm = (3 chính phẩm) + (2 chính phẩm, 1 thứ phẩm) $=C_{97}^3+C_{97}^2\cdot 3=147440+13968=161408\ne 147440$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{100}^3=161700$ cách lấy 3 sản phẩm bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_{97}^2\cdot C_3^1=4656\cdot 3=13968\ne 13986$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$161700-C_{97}^3=161700-147440=14260$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{97}^3+C_{97}^2\cdot 3=147440+13968=161408\ne 147440$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Hộp có 7 quả trắng, 5 quả đỏ (tổng 12 quả, đôi một khác nhau).

a) Chọn 4 quả bất kỳ từ 12 quả:
$$C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4!}=495.$$

b) Chọn đúng 1 quả trắng và 3 quả đỏ:
$$C_7^1\cdot C_5^3=7\cdot 10=70.$$

c) Nhiều nhất 2 quả đỏ, tức số quả đỏ là 0, 1 hoặc 2 (suy ra số trắng tương ứng 4, 3, 2):
$$C_7^4+C_7^3{C}_5^1+C_7^2{C}_5^2=35+35\cdot 5+21\cdot 10=35+175+210=420.$$

d) Có đủ cả 2 màu nghĩa là có ít nhất 1 quả trắng và ít nhất 1 quả đỏ; lấy tổng trừ đi các trường hợp chỉ có 1 màu:
$$C_{12}^4-C_7^4-C_5^4=495-35-5=455.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bi từ 4 xanh, 5 đỏ, 7 trắng sao cho đủ 3 màu, tức phân loại $(2;1;1)$:
- 2 xanh, 1 đỏ, 1 trắng: $C_4^2\cdot C_5^1\cdot C_7^1=6\cdot 5\cdot 7=210$.
- 1 xanh, 2 đỏ, 1 trắng: $C_4^1\cdot C_5^2\cdot C_7^1=4\cdot 10\cdot 7=280$.
- 1 xanh, 1 đỏ, 2 trắng: $C_4^1\cdot C_5^1\cdot C_7^2=4\cdot 5\cdot 21=420$.
Tổng: $210+280+420=910$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số vận động viên nam là $n$. Mỗi cặp đấu 2 ván. Số ván nam chơi với nhau: $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=n(n-1)$. Số ván nam chơi với 2 nữ: $2\cdot n\cdot 2=4n$. Theo đề: $n(n-1)-4n=84\iff n^2-5n-84=0\iff n=12$ (nhận, $n=-7$ loại). Tổng số người là $14$, tổng số ván là $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{2}\right)=2\cdot 91=182$. Vậy tất cả các vận động viên đã chơi 182 ván.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $8+9+10=27$ viên. Tổng số cách chọn 3 viên bất kỳ là $C_{27}^3=2925$. Ta trừ các cách chọn mà có ít nhất hai viên cùng số.
- Cả 3 viên cùng số: chỉ xảy ra với các số $1$ đến $8$ (mỗi số có 3 viên): $8\cdot C_3^3=8$ cách.
- Đúng 2 viên cùng số: chọn số bị trùng và 2 viên trong nhóm đó, rồi chọn viên thứ ba khác số:
+ Số trùng là $1$ đến $8$ (nhóm 3 viên): $8\cdot C_3^2\cdot 24=8\cdot 3\cdot 24=576$ cách.
+ Số trùng là $9$ hoặc $10$ (nhóm 2 viên): $2\cdot C_2^2\cdot 25=50$ cách.
Vậy số cách chọn 3 viên có số đôi một khác nhau là $2925-8-576-50=2291$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn tổ bất kỳ từ 14 người: $C_{14}^6=3003$ cách → Đúng. b) Không có An và Bình: chọn 6 từ 12 người còn lại, $C_{12}^6=924$ cách → Đúng. c) 'Có An hoặc Bình' hiểu là có đúng một trong hai người: chọn 1 trong 2 (An hoặc Bình) và 5 người từ 12 người còn lại: $2\cdot C_{12}^5=2\cdot 792=1584$ tổ; mỗi tổ chọn 1 tổ trưởng trong 6 người: $1584\cdot 6=9504$ cách → Đúng. d) Có cả An và Bình: chọn 4 người từ 12 người còn lại: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 1848 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức a Đ, b Đ, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 người từ 14 người: $C_{14}^6=3003$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Không có An và Bình: chọn 6 người từ 12 người còn lại: $C_{12}^6=924$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có đúng một trong hai bạn An, Bình: $2\cdot C_{12}^5=1584$ tổ; chọn tổ trưởng: $1584\cdot 6=9504$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có cả An và Bình: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 1848.