Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Trường hợp 1: Lấy được 3 quả cầu xanh từ 3 hộp, số cách lấy: $C_3^1{C}_4^1{C}_5^1=60$. Trường hợp 2: Lấy được 3 quả cầu đỏ từ 3 hộp, số cách lấy: $C_4^1{C}_3^1{C}_5^1=60$. Trường hợp 3: Lấy được 3 quả cầu trắng từ 3 hộp, số cách lấy: $C_5^1{C}_6^1{C}_2^1=60$. Có $60.3=180$ cách lấy được 3 quả cùng màu từ 3 hộp.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng là 0, 2, 4 hoặc 6.
- Tận cùng là 0: chọn 3 chữ số khác từ 6 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: $6\cdot 5\cdot 4=120$.
- Tận cùng là 2, 4 hoặc 6 (3 trường hợp): chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách; hai vị trí còn lại chọn từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 5\cdot 4=100$ mỗi trường hợp, tổng $3\cdot 100=300$.
Tổng: $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (7 chữ số).
a) Số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000: chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), sau đó chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$. Tổng $2\cdot 120=240$ → ĐÚNG.
b) Số tự nhiên có 1 chữ số lập từ các chữ số đã cho gồm: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 → có 7 số (0 cũng là số tự nhiên có 1 chữ số), không phải 6 → SAI.
c) Số có 2 chữ số khác nhau: chữ số hàng chục có 6 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách → $6\cdot 6=36$ → ĐÚNG.
d) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: nếu chữ số tận cùng là 0 có 6 cách; nếu tận cùng là 2; 4; 6 có $3\cdot 5=15$ cách. Tổng $6+15=21$, không phải 18 → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), ba chữ số sau chọn từ 6 chữ còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$; tổng $2\cdot 120=240$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 7 số tự nhiên có 1 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (0 cũng là số tự nhiên có 1 chữ số), không phải 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục: 6 cách (khác 0), hàng đơn vị: 6 cách → $6\cdot 6=36$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: 6 cách; tận cùng 2; 4; 6: $3\cdot 5=15$ cách; tổng $21\ne 18$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2, tức chữ số tận cùng chẵn. Chữ số hàng trăm khác 0.

TH1: Chữ số tận cùng là 0. Chọn hàng trăm: 9 cách (1–9); hàng chục: 8 cách (còn lại, khác 0 đã dùng). Suy ra $9\cdot 8=72$ số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách chọn). Hàng trăm: 8 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng); hàng chục: 8 cách (khác hai chữ số đã dùng, được phép là 0). Suy ra $4\cdot 8\cdot 8=256$ số.

Tổng: $72+256=328$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (328).

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (7 chữ số).
a) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: chữ số tận cùng là 0 thì có 6 cách chọn chữ số hàng chục; tận cùng là 2, 4, 6 thì mỗi trường hợp có 5 cách (hàng chục khác 0 và khác chữ số tận cùng), tổng $6+3\cdot 5=21\ne 18$ → Sai.
b) Số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000: chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), sau đó $6\cdot 5\cdot 4$ cách, tổng $2\cdot 6\cdot 5\cdot 4=240$ → Đúng.
c) Số có 2 chữ số khác nhau: hàng chục có 6 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách, tổng $6\cdot 6=36$ → Đúng.
d) Số tự nhiên có 1 chữ số lập được từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 là 0,1,2,3,4,5,6 tức 7 số (nếu không tính 0 thì là 6 số, nhưng 0 là số tự nhiên có 1 chữ số) → khẳng định 6 số là Sai, phù hợp đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn 2 chữ số khác nhau: tận cùng 0 có 6 cách; tận cùng 2,4,6 có 5 cách mỗi trường hợp; tổng $6+15=21\ne 18$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu là 5 hoặc 6: $2\cdot 6\cdot 5\cdot 4=240$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục 6 cách (khác 0), hàng đơn vị 6 cách: $6\cdot 6=36$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số tự nhiên có 1 chữ số từ bộ chữ số đã cho là 0,1,2,3,4,5,6: có 7 số, không phải 6 → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 (chữ số tận cùng chẵn). Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0, chọn chữ số hàng trăm có 9 cách (khác 0), chữ số hàng chục có 8 cách (khác hai chữ số đã chọn) → $9\cdot 8=72$ số. Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách), chữ số hàng trăm có 8 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng), chữ số hàng chục có 8 cách → $4\cdot 8\cdot 8=256$ số. Tổng: $72+256=328$ số, khớp với đáp án nguồn 328.

1. Gọi số được tạo có dạng là $\overline{abcde}$ thỏa điều kiện $\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ a\ne b\ne c\ne d\ne e\\ e\in \{0;2;8\}\end{array}$. Trường hợp 1: $e=0$ thì ta có $A_5^4=120$ (Dùng chỉnh hợp bởi vì tập còn 5 chữ số khác 0 nên ta sẽ chọn ra 4 số từ 5 số còn lại và xếp vào 4 vị trí của 4 chữ số $a,b,c,d$ (do có sự phân biệt)) (cách tạo). Trường hợp 2: $e=2$ thì ta có: $4\cdot A_4^3=96$ (Trong đó $a$ có 4 cách chọn và 3 số $b,c,d$ có $A_4^3$ cách chọn). Trường hợp 3: $e=8$ thì ta có: $4\cdot A_4^3=96$ (Trong đó $a$ có 4 cách chọn và 3 số $b,c,d$ có $A_4^3$ cách chọn). Vậy có $120+96+96=312$ cách tạo. 2. Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{100}^3$. Đếm số kết quả thuận lợi: Để tổng của 2 số trong bộ số đó gấp đôi số còn lại thì 2 số đó phải cùng lẻ hoặc cùng chẵn để tổng của chúng chẵn (gấp đôi số còn lại). Trường hợp 1: Có 2 số cùng lẻ có $C_{50}^2$ (cách) (Do từ 1 đến 100 có 50 số lẻ). Trường hợp 2: Có 2 số cùng chẵn có $C_{50}^2$ (cách) (Do từ 1 đến 100 có 50 số chẵn). Vậy số kết quả thuận cho biến cố là: $2\cdot C_{50}^2$. Suy ra xác suất bằng $\frac{2\cdot C_{50}^2}{C_{100}^3}=\frac{1}{66}$. Đáp án: $312;\frac{1}{66}$

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn nam thành hàng: $5!=120$ cách. Sau khi xếp nam, có 6 khoảng trống (trước, sau, giữa các nam) để chèn 2 bạn nữ sao cho không cạnh nhau: chọn 2 trong 6 khoảng và xếp 2 nữ vào: $A_6^2=30$ cách. Tổng: $120\times 30=3600$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3600).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 7 học sinh từ 15 học sinh là $C_{15}^7=6435$. Số cách chọn không có học sinh khối A: $C_{11}^7=330$; không có khối B: $C_{10}^7=120$; không có khối C: $C_9^7=36$. Các trường hợp này đôi một khác nhau (không thể thiếu cùng lúc hai khối vì chỉ còn 9 học sinh < 7... thực tế thiếu hai khối chỉ còn tối đa 6 học sinh nên không thể chọn đủ 7). Vậy số cách chọn thỏa mãn mỗi khối ít nhất 1 học sinh là $6435-(330+120+36)=5949$, khớp với đáp án nguồn.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù trừ. Tổng số cách chọn 7 từ 15 học sinh: $C_{15}^7=6435$. Số cách chọn không có khối A: $C_{11}^7=330$; không có khối B: $C_{10}^7=120$; không có khối C: $C_9^7=36$. Không thể chọn 7 học sinh chỉ từ một khối (vì mỗi khối có ít hơn 7 học sinh), nên không cần cộng lại. Kết quả: $6435-330-120-36=5949$. Khớp với đáp án nguồn 5949.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các phần tử của $X=\{1;2;3;4;5;6;7\}$ là $1+2+3+4+5+6+7=28$. Số cần lập có 6 chữ số khác nhau từ $X$, tức là bỏ đi đúng một phần tử $d\in X$. Số được lập chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, tức $28-d\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Vì $28\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ nên $d\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, suy ra $d\in \{1;4;7\}$: có 3 cách chọn chữ số bị bỏ. Với mỗi cách chọn, có $6!=720$ cách sắp xếp 6 chữ số còn lại thành số có 6 chữ số khác nhau. Vậy tổng số số thỏa mãn là $3\cdot 720=2160$, trùng với đáp án nguồn (2160).

(AI giải đề cho tôi)
Đội bóng rổ: 4 nữ, 5 nam; đội bóng đá: 6 nam; hai đội rời nhau.
a) Đúng: chọn 3 nữ từ 4 nữ của đội bóng rổ: $C_4^3=4$ cách.
b) Sai: chọn 3 nam trong đội bóng đá (6 người) trong đó 1 người làm đội trưởng: $C_6^3\cdot 3=20\cdot 3=60$ cách, không phải 20.
c) Sai: phải nhân chứ không cộng: $C_5^2\cdot C_6^1=10\cdot 6=60$ cách.
d) Đúng: cần đội 3 người có đủ 2 môn và đủ cả nam, nữ. Vì đội bóng đá toàn nam nên phải có ít nhất 1 nữ (thuộc bóng rổ) và ít nhất 1 người bóng đá.
- TH1: 1 người bóng đá + 2 người bóng rổ có ít nhất 1 nữ: $C_6^1\left(C_9^2-C_5^2\right)=6(36-10)=156$.
- TH2: 2 người bóng đá + 1 nữ bóng rổ: $C_6^2\cdot 4=15\cdot 4=60$.
Tổng: $156+60=216$ cách.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nữ từ 4 nữ đội bóng rổ: $C_4^3=4$ cách, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nam từ 6 người đội bóng đá và cử 1 đội trưởng: $C_6^3\cdot 3=60$ cách, không phải 20.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải là tích: $C_5^2\cdot C_6^1=60$ cách, không phải tổng $C_5^2+C_6^1=16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
TH1: 1 bóng đá + 2 bóng rổ (có nữ): $6\cdot (C_9^2-C_5^2)=156$; TH2: 2 bóng đá + 1 nữ bóng rổ: $C_6^2\cdot 4=60$. Tổng $216$ cách.

Số cách xếp 10 người tùy ý là $10!=3628800$. Ta tìm số cách xếp sao cho có ít nhất 1 cặp anh em sinh đôi ngồi cạnh nhau. Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: "cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau". Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau. Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau. Khi đó, có 8! cách sắp xếp thứ tự của 2 cặp anh em sinh đôi này và 6 người còn lại. Suy ra, TH1 có $2!\cdot 2!\cdot 8!=161280$ cách.

Trường hợp 2: "cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ hai không ngồi cạnh nhau". Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau. Có 7! cách xếp thứ tự cặp anh em sinh đôi thứ nhất và 6 người còn lại. Khi đó tạo ra 8 khoảng trống. Có $A_8^2$ cách xếp 2 anh em sinh đôi của cặp thứ hai vào 2 trong 8 khoảng trống này. Suy ra TH2 có $2!\cdot 7!\cdot A_8^2=564480$ cách.

Trường hợp 3: "cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ nhất không ngồi cạnh nhau". Tương tự như TH2, có $2!\cdot 7!\cdot A_8^2=564480$ cách.

Suy ra, số cách xếp thoả yêu cầu bài toán là $3628800-161280-2\cdot 564480=2338560$ cách xếp.

(AI giải đề cho tôi)
Đội bóng rổ: 3 nữ, 7 nam; đội bóng đá: 4 nam; hai nhóm rời nhau.
a) Chọn 3 học sinh nữ trong đội bóng rổ: chỉ có $C_3^3=1$ cách, không phải 3 cách → Sai.
b) Chọn 3 nam trong đội bóng đá: $C_4^3=4$ cách → Đúng.
c) Chọn 2 nam bóng rổ và 1 nam bóng đá phải nhân (quy tắc nhân): $C_7^2\cdot C_4^1=21\cdot 4=84$ cách, không phải $C_7^2+C_4^1=25$ → Sai.
d) Đội 3 người có đủ 2 môn và đủ cả nam, nữ:
- 2 học sinh bóng rổ + 1 nam bóng đá: cặp bóng rổ phải có ít nhất 1 nữ: $C_3^1{C}_7^1+C_3^2=21+3=24$ cặp; nhân với $C_4^1=4$ cách chọn nam bóng đá: $24\cdot 4=96$ cách.
- 1 học sinh bóng rổ + 2 nam bóng đá: học sinh bóng rổ phải là nữ: $3\cdot C_4^2=3\cdot 6=18$ cách.
Tổng: $96+18=114$ cách $\ne 84$ → Sai.
Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nữ trong 3 nữ đội bóng rổ: $C_3^3=1$ cách, không phải 3 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nam trong 4 nam đội bóng đá: $C_4^3=4$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải nhân: $C_7^2\cdot C_4^1=84$, không phải tổng $C_7^2+C_4^1=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $24\cdot 4+3\cdot C_4^2=96+18=114$ cách $\ne 84$ → Sai.

a) Số cách chọn 6 lớp từ 10 lớp của trung tâm là $C_{10}^6=210$ cách. (0,25 điểm)

b) Vì bạn học sinh đăng ký 6 lớp trong 5 ngày mà mỗi ngày đều có ít nhất một lớp nên có một ngày bạn chọn 2 lớp, 4 ngày còn lại mỗi ngày bạn chọn 1 lớp học. (0,25 điểm)

Chọn một ngày để học 2 lớp và chọn lớp cho ngày đó có 5 cách.
Chọn lớp cho 4 ngày còn lại có $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ cách. (0,25 điểm)

Số cách chọn 6 lớp thỏa mãn đề bài là $5\cdot 16=80$ cách. (0,25 điểm)

a) Số cách chọn 6 lớp từ 10 lớp của trung tâm là $C_{10}^6=210$ cách. (0,25 điểm)

b) Vì bạn học sinh đăng ký 6 lớp trong 5 ngày mà mỗi ngày đều có ít nhất một lớp nên có một ngày bạn chọn 2 lớp, 4 ngày còn lại mỗi ngày bạn chọn 1 lớp học. (0,25 điểm)

Chọn một ngày để học 2 lớp và chọn lớp cho ngày đó có 5 cách.
Chọn lớp cho 4 ngày còn lại có $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ cách. (0,25 điểm)

Số cách chọn 6 lớp thỏa mãn đề bài là $5\cdot 16=80$ cách. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) $C_{14}^6=3003$ cách → đúng. b) Có cả An và Bình: chọn 4 người từ 12 người còn lại: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 1884 → sai. c) Không có An và Bình: chọn 6 từ 12 người: $C_{12}^6=924$ cách, không phải 665280 → sai. d) Chọn đúng một trong hai người An, Bình: $2\cdot C_{12}^5=2\cdot 792=1584$ cách; chọn 1 tổ trưởng trong 6 người: $1584\cdot 6=9504$ cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{14}^6=3003$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có cả An và Bình: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 1884.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không có An và Bình: $C_{12}^6=924$ cách, không phải 665280.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng một trong hai người: $2C_{12}^5=1584$; chọn tổ trưởng: $1584\cdot 6=9504$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 6 người bất kỳ từ 14 người: $C_{14}^6=3003$ cách, không phải 2 162 160 (đó là $A_{14}^6$). → Sai.
b) Có cả An và Bình: chọn 4 người từ 12 người còn lại: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 11 880. → Sai.
c) Không có An và Bình: chọn 6 từ 12 người: $C_{12}^6=924$ cách. → Đúng.
d) Chọn tổ có đúng một trong hai người An, Bình: $2\cdot C_{12}^5=2\cdot 792=1584$ cách chọn thành viên; nhưng còn phải chọn 1 tổ trưởng trong 6 người của tổ: $1584\cdot 6=9504$ cách. Vậy 1584 chỉ là số cách chọn thành viên (chưa tính tổ trưởng), khẳng định sai. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{14}^6=3003$ cách, không phải 2 162 160.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_{12}^4=495$ cách, không phải 11 880.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_{12}^6=924$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2C_{12}^5=1584$ cách chọn thành viên, nhân thêm 6 cách chọn tổ trưởng được 9504 cách, nên 1584 là sai.