Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Câu 10. Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+4$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ là

Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $10\text{ dm}$, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $6\text{ dm}$, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $8\text{ dm}$. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (Biết $1\text{ lıˊt}=1{\text{ dm}}^3$ và giả sử bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\tan x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x=\frac{\pi }{3}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành có thể tích bằng

Câu 3: Tháp giải nhiệt tại một nhà máy điện hạt nhân có hình dạng là một phần của khối tròn xoay khi cho hypebol $(H)$ quay quanh một trục đối xứng của $(H)$. Tháp có chiều cao là $120$ mét, bán kính đáy dưới bằng $40$ mét. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Oy$ làm trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Gốc $O$ ở vị trí có độ cao $80$ mét so với mặt đất và đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30$ mét.

Một chiếc đồng hồ cát nghệ thuật bằng thủy tinh có bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới bằng nhau, bên trong chứa một chất lỏng đặc biệt. Khi bầu phía trên chứa đầy chất lỏng, thể tích chất lỏng bên trong đúng bằng thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=9$ (các đơn vị trên hệ trục tọa độ được tính bằng centimét, trục $Ox$ trùng với trục đối xứng dọc của đồng hồ). Phần cổ hẹp làm khuyết để thông nhau giữa bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới coi như không đáng kể.

Ban đầu, phần bầu chứa phía trên chứa đầy chất lỏng. Khi bắt đầu tính giờ, chất lỏng chảy qua cổ hẹp xuống bầu chứa phía dưới với tốc độ (lưu lượng thể tích) không đổi trong suốt quá trình chảy. Người ta nhận thấy toàn bộ lượng chất lỏng chảy hết xuống bầu chứa phía dưới trong đúng $27$ phút. Giả sử trong suốt quá trình chảy, bề mặt trên của chất lỏng luôn tạo thành một mặt phẳng nằm ngang.
Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao của khối chất lỏng còn lại trong bầu chứa phía trên tại thời điểm $t$ (phút) ($0\le h\le 9$, tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$). Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ lúc bắt đầu chảy, chiều cao khối chất lỏng trong bầu chứa phía trên (tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$) còn đúng $3\text{ cm}$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Câu 6. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ quay quanh trục $Ox$ là

Thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, trục hoành, $x=0$ và $x=4$ là

Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang $ACDF$ vuông tại $A$ và $C$ ($AF\parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với $AC$ là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(P)$, đoạn $BE$ và đoạn $BG$ như hình vẽ ($G$ thuộc $(P)$). Giả sử $(P)$ là một nhánh của parabol có đỉnh $S$ và hình chiếu của $S$ trên mặt nền là $H$, $E$ là chân của parabol ($E$ thuộc $(P)$ và mặt đáy) thì $SH=2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng $AC$, gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $G$ xuống mặt phẳng đáy thì $BE=BG$ và $B$ thuộc đoạn $AC$. Biết $AC=30\text{ m}$, $AF=2CD=12\text{ m}$. Thể tích đường hầm trên bằng bao nhiêu mét khối?

Câu 2. Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ đường tròn có bán kính $R=2$, đường cong $y=\sqrt{4-x}$ và trục hoành. Hình phẳng $(H)$ được chia thành $2$ miền có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ.

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2x-x^2$; $y=0$; $x=0$; $x=1$ có giá trị bằng

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=4-x^2$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=-x^2+3x$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần được tô màu trong hình vẽ) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1\text{ cm}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,AB$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và bằng $4a$. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

Cho hai nửa đường tròn như hình vẽ, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính $AB$ có diện tích là $8\pi$ và $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng $AB$.

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $AB=6$, $AD=4$ quay quanh $AB$ ta được hình trụ có diện tích xung quanh bằng:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=2x-x^2$, $y=0$. Quay $(H)$ quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là

Câu 2. Một đồ lưu niệm bằng thủy tinh có chiều cao bằng $14\text{ (cm)}$, được thiết kế gồm hai phần, phần dưới là một khối lập phương cạnh bằng $8\text{ (cm)}$ và phần trên là một phần của khối cầu có đường kính bằng $8\text{ (cm)}$ (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên cạnh).

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2-3x+5,y=x+2$ quay quanh trục $Ox$ là:

Câu 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=\sqrt{e^x-x}$, $y=0$, $x=1$, $x=2$ xung quanh trục $Ox$ là: