Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần này là $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$. Vậy $S_{(H)}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$. Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính ${\int }_1^{2}x\sqrt{x}dx={\int }_1^2{x}^{3/2}dx={\left[\frac{2}{5}{x}^{5/2}\right]}_1^2=\frac{2}{5}(4\sqrt{2}-1)=\frac{8}{5}\sqrt{2}-\frac{2}{5}$. Vậy $a=\frac{8}{5},b=\frac{2}{5}$, nên $a-b=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_{-1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^2[x+2f(x)-3g(x)]dx=\frac{3}{2}+2\cdot 2-3\cdot (-1)=\frac{3}{2}+4+3=\frac{17}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2^x$, hai trục tọa độ và $x=5$ là $S={\int }_0^5{2}^{x}dx={\frac{2^x}{\ln 2}|}_0^5=\frac{2^5-2^0}{\ln 2}=\frac{31}{\ln 2}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sin 2x$ và trục $Ox$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ được tính bằng công thức $S=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}|\sin 2x|dx$, vì trên đoạn này hàm số đổi dấu (dương trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, âm trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$) nên phải lấy giá trị tuyệt đối. Do đó đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: $I={\int }_{-3}^{4}f(x)dx={\int }_{-3}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx=6+(-2)=4$. Vậy $I=4$, khớp với đáp án A trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sin 2x$ và trục $Ox$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ được tính bằng tích phân của trị tuyệt đối: $S=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left|\sin 2x\right|dx$. Thật vậy, $\sin 2x$ đổi dấu trên đoạn này (âm trên $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$, dương trên $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$), nên không thể bỏ trị tuyệt đối như phương án D, và bình phương (phương án B) hay đổi dấu toàn bộ (phương án C) đều không đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể có thiết diện vuông góc với trục $Ox$ là $V={\int }_a^{b}S(x)dx={\int }_2^5(x^2+2x)dx$. Không có hệ số $\pi$ và không bình phương vì đây không phải khối tròn xoay. Đáp án khớp với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên theo định lý Newton - Leibniz: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=F(3)-F(0)$. Vậy $F(3)-F(0)=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án D của mã đề 101 trong bảng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường cong là $y=-x^2+2$ (parabol hướng xuống, phía trên) và $y=x^2+2x-2$ (parabol hướng lên, phía dưới). Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2+2=x^2+2x-2\iff 2x^2+2x-4=0\iff x=-2$ hoặc $x=1$, khớp với hình vẽ. Trên $[-2;1]$ ta có $-x^2+2\ge x^2+2x-2$, nên diện tích gạch chéo là $S={\int }_{-2}^1\left[(-x^2+2)-(x^2+2x-2)\right]dx={\int }_{-2}^1(-2x^2-2x+4)dx$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx={\int }_1^3\left(1+\frac{2}{x}\right)dx=[x+2\ln x{]}_1^3=(3+2\ln 3)-(1+0)=2+\ln 9$. Vậy $a=2$, $b=9$, $a+b=11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^5[f(x)-2g(x)]dx={\int }_1^{5}f(x)dx-2{\int }_1^{5}g(x)dx=3-2\cdot 4=3-8=-5$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx={\int }_1^3\left(1+\frac{2}{x}\right)dx={\left[x+2\ln x\right]}_1^3=3+2\ln 3-(1+0)=2+\ln 9$. Vậy $a=2$, $b=9$, $a+b=11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường cong $y=x^2+2x-2$ và $y=-x^2+2$ cắt nhau khi $x^2+2x-2=-x^2+2\iff 2x^2+2x-4=0\iff x=-2$ hoặc $x=1$. Trên đoạn $[-2;1]$, parabol $y=-x^2+2$ nằm phía trên parabol $y=x^2+2x-2$ (ví dụ tại $x=0$: $2>-2$). Do đó diện tích phần gạch chéo là $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[(-x^2+2)-(x^2+2x-2)\right]dx=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}(-2x^2-2x+4)dx$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại hoành độ $x$ là hình chữ nhật cạnh $2x$ và $(5-x)$, diện tích $S(x)=2x(5-x)=10x-2x^2$. Thể tích: $$V={\int }_1^3(10x-2x^2)dx={\left[5x^2-\frac{2x^3}{3}\right]}_1^3=(45-18)-\left(5-\frac{2}{3}\right)=27-\frac{13}{3}=\frac{68}{3}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_{-1}^{6}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx+{\int }_4^{6}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_4^{6}f(x)dx=-5-10=-15$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)+3x^2\right]dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}3x^{2}dx=5$.
Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}3x^{2}dx={x^3|}_1^2=8-1=7$.
Suy ra $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=5-7=-2$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Sai. $G$ là nguyên hàm của $g$ nên $G^{\prime }=g$; công thức Newton–Leibniz cho ${\int }_a^{b}g(x)dx=G(b)-G(a)$, còn ${\int }_a^{b}G(x)dx$ là tích phân của chính $G$ và không bằng $G(a)-G(b)$. b) Sai. Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}g(x)dx=-{\int }_a^{b}g(x)dx$; hai vế chỉ bằng nhau khi tích phân bằng 0. c) Đúng. Tính chất cộng đoạn: ${\int }_c^{b}g(x)dx={\int }_c^{a}g(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx=n+m=m+n$. d) Đúng. Tính tuyến tính: ${\int }_a^b[2025g(x)+2026]dx=2025{\int }_a^{b}g(x)dx+2026{\int }_a^{b}dx=2025{\int }_a^{b}g(x)dx+2026(b-a)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G$ là nguyên hàm của $g$ nên $G^{\prime }=g$; Newton–Leibniz cho ${\int }_a^{b}g(x)dx=G(b)-G(a)$. Khẳng định ${\int }_a^{b}G(x)dx=G(a)-G(b)$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}g(x)dx=-{\int }_a^{b}g(x)dx$, hai vế chỉ bằng nhau khi tích phân bằng 0. Khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất cộng đoạn: ${\int }_c^{b}g(x)dx={\int }_c^{a}g(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx=n+m=m+n$. Khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính: ${\int }_a^b[2025g(x)+2026]dx=2025{\int }_a^{b}g(x)dx+2026(b-a)$. Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sin x$, $y=0$, $x=0$, $x=2\pi$ được tính bằng tích phân của trị tuyệt đối: $S={\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$. Trên $[0,\pi ]$ thì $\sin x\ge 0$, trên $[\pi ,2\pi ]$ thì $\sin x\le 0$, nên nếu lấy ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$ (sai), còn ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ chỉ là một nửa diện tích. Do đó đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^3[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_1^{3}g(x)dx$. Thay số: $-3=2-{\int }_1^{3}g(x)dx$, suy ra ${\int }_1^{3}g(x)dx=2+3=5$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 10: A).