Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại $x=1$. Tại $x=3$, hàm số đạt cực đại bằng $2$ (giá trị hữu hạn) nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng. Vậy đường tiệm cận đứng là $x=1$, khớp đáp án D (đáp án chính thức Mã đề 2101, Câu 2: D).

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$ nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là $y=-1$. Chọn D

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án:
- A: $y=x+1+\frac{x^2+2}{x}=x+1+x+\frac{2}{x}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$, không có tiệm cận xiên $y=x+1$.
- B: $y=\frac{x+1}{2x-3}$ có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$, không có tiệm cận xiên.
- C: $y=\frac{x^2-x}{x-2}$. Chia đa thức: $x^2-x=(x-2)(x+1)+2$, nên $y=x+1+\frac{2}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-2}\to 0$, vậy $y=x+1$ là tiệm cận xiên. Đúng.
- D: $y=\frac{x^2+x+2}{x+1}=x+\frac{2}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x$, không phải $y=x+1$.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln \frac{x+1}{x^2+1}$ xác định khi $\frac{x+1}{x^2+1}>0$. Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên điều kiện là $x+1>0$, tức tập xác định $D=(-1;+\infty )$. Xét giới hạn tại biên trái: khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $\frac{x+1}{x^2+1}\to 0^{+}$, do đó $y=\ln \frac{x+1}{x^2+1}\to -\infty$. Vậy đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $3x^2-4x+1=(3x+2)(x-2)+5$, nên $y=3x+2+\frac{5}{x-2}$. Tiệm cận xiên là $y=3x+2$. Giao với trục $Ox$: $x=-\frac{2}{3}$; giao với trục $Oy$: $y=2$. Diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+b}{x-c}$ có bảng biến thiên với $y^{\prime }=\frac{-ac-b}{(x-c{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng, gián đoạn tại $x=3$. a) Đúng: từ bảng, khi $x\to 3^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=3$. b) Sai: vì $x=3$ là TCĐ nên $c=3\ne -3$. c) Sai: hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=3$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. d) Đúng: tiệm cận ngang là $y=a=2$ (giới hạn khi $x\to \pm \infty$ đều bằng 2), nên $a=2$, do đó $a+c=2+3=5$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1202, câu 16: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 3^{-}$, $y\to +\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=c=3$, do đó $c=3\ne -3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ do gián đoạn tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang $y=a=2$ nên $a=2$; với $c=3$ ta có $a+c=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta viết lại $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}$. Phép chia đa thức: $x^2-3x=(x+1)(x-4)+4$, nên $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$. Đồ thị hàm $y=x-4+\frac{4}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-4$. Vậy $I(-1;-5)$, tức $a=-1$, $b=-5$. Khi đó $a-2b=-1-2(-5)=9$. Kết quả khớp với đáp án chính thức (mã đề 1202, câu 19 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên cả hai khoảng nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định → a) Sai. Tiệm cận đứng là $x=3$ nên $c=3$ → b) Sai. Tiệm cận ngang $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{ax+b}{x-c}=a=2$, do đó $a+c=2+3=5$ → c) Đúng. Tiệm cận ngang là $y=2$ → d) Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1201: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho $y^{\prime }>0$ trên cả $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của $y=\frac{ax+b}{x-c}$ là $x=c$. Theo bảng biến thiên, tiệm cận đứng là $x=3$ nên $c=3$, không phải $c=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang $y=a=2$ (giá trị $y$ tiến tới khi $x\to \pm \infty$), và $c=3$, nên $a+c=2+3=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án:
- A: $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên chỉ có tiệm cận ngang $y=0$, không có tiệm cận xiên.
- B: $y=\sqrt{x^2-2x+3}$, khi $x\to +\infty$ thì $y\approx x-1$ và khi $x\to -\infty$ thì $y\approx -x+1$, không phải $y=x+1$.
- C: $y=\frac{x^2-x}{x-2}=x+1+\frac{2}{x-2}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x-2}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+1)\right]=0$, tức đường thẳng $y=x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
- D: $y=\frac{2x^2+x+1}{2x+1}=x+\frac{1}{2x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x$, không phải $y=x+1$.
Vậy đáp án đúng là C.

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x^2-2x}=1$; $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-3x+1}{x-2}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+1}{x-2}=-1$. Tương tự do $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f(x)-x\right]=-1$. Vậy đường thẳng $y=x-1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-x+1}{x(x+1)}=2$.

Tiếp theo: $f(x)-ax=\frac{2x^2-x+1-2x(x+1)}{x+1}=\frac{-3x+1}{x+1}$, nên $b={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-3x+1}{x+1}=-3$.

Vậy $T=a^2+b^2=2^2+(-3{)}^2=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $-x^2+4x-4=(x-1)(-x+3)-1$ nên $y=-x+3-\frac{1}{x-1}$. a) Sai: tiệm cận xiên là $y=-x+3$, không phải $y=-x-3$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=1$. c) Đúng: $y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\in (2;+\infty )$ (vì $\frac{1}{(x-1{)}^2}<1$), nên hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty )$. d) Đúng: khoảng cách từ $M(0;4)$ đến trục hoành là $|4|=4$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=-x+3-\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+3$, không phải $y=-x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ trên $(2;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(0;4)$ đến trục hoành $Ox$ là $|y_M|=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-4x+4}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=x-3+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2793, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-4x+4}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}=x-3+\frac{1}{x-1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-3)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (10D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) Đúng: chia đa thức cho $x-1$ được $y=x-2+\frac{1}{x-1}$, với ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$.
b) Đúng: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) Sai: $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(2;+\infty )$ ta có $x(x-2)>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến (không nghịch biến) trên khoảng này.
d) Sai: khoảng cách từ $M(2;1)$ đến trục tung $Oy$ là $|x_M|=2\ne 4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}>0$ trên $(2;+\infty )$ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;1)$ đến trục tung bằng $|2|=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+2x-11}{x-2}=2x+6+\frac{1}{x-2}$ (kiểm tra: $(2x+6)(x-2)=2x^2+2x-12$, dư $1$). Vậy tiệm cận xiên là $y=2x+6$. Cắt $Ox$: $2x+6=0\Rightarrow x=-3$, nên $A(-3;0)$. Cắt $Oy$: $y=6$, nên $B(0;6)$. Diện tích tam giác $OAB$ vuông tại $O$: $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x-3}{x+1}=\frac{2(x+1)-5}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}$. Đồ thị hàm số $y=2-\frac{5}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$, giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị: $(-1;2)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=-x-1+\frac{6}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$. Khớp với đáp án A của mã đề 1201.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, tức ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\infty$. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$. (Đáp án này cũng khớp với đáp án của đề: mã đề 122, câu 3 là D.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x+1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$. Đường $x=-1$ là tiệm cận đứng (không phải ngang). Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.