Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=1$ nên $mx+n=m(x-1)$, tức $n=-m$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{m\left[x^2-2x-(b+c)\right]}{(mx+n{)}^2}$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=3$ (điểm cực trị), suy ra $b+c=3$. Tiệm cận xiên: chia $x^2+bx+c$ cho $m(x-1)$ được $y=\frac{1}{m}x+\frac{b+1}{m}$. Vì hàm số tăng lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$ nên hệ số góc $\frac{1}{m}>0$. Thử phương án $y=x$: $m=1$, $b=-1$, $c=4$, khi đó $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}$. Kiểm tra: $y(-1)=\frac{6}{-2}=-3$ (đúng), $y(3)=\frac{10}{2}=5$ (đúng), khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$, đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=\frac{m{x}^2+x-3}{x-1}=mx+(m+1)+\frac{m+2}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=mx+m+1$. Giao với Ox: $x=-\frac{m+1}{m}$ (cần $m\ne 0$); giao với Oy: $y=m+1$. Diện tích tam giác: $\frac{1}{2}\left|\frac{m+1}{m}\right|\cdot |m+1|=2\iff (m+1{)}^2=4|m|$.
- Với $m>0$: $m^2-2m+1=0\Rightarrow m=1$.
- Với $m<0$: $m^2+6m+1=0\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$ (đều âm, thỏa mãn).
Tổng các giá trị: $1+(-3+2\sqrt{2})+(-3-2\sqrt{2})=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=-1, đồ thị đi qua (0;-2) và (2;0). Suy ra b=f(0)=-2; a/c=-1; f(2)=0 nên 2a+b=0 → a=1, c=-1. Vậy f(x)=(x-2)/(1-x). f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(1-2)/(1-x)^2=-1/(1-x)^2<0 trên tập xác định ℝ\{1}. a) Sai vì f'(x)<0 chỉ trên tập xác định, không xác định tại x=1 nên không thể nói f'(x)<0 với mọi x∈ℝ. b) Đúng: f'(x)<0 trên (-∞;1) và (1;+∞) nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó. c) Sai: tiệm cận đứng x=1 đúng nhưng tiệm cận ngang là y=-1 chứ không phải y=1. d) Đúng: a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2. Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 1702: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-1/(cx+1)^2<0 chỉ trên tập xác định ℝ\{1}; tại x=1 hàm không xác định nên khẳng định f'(x)<0 với mọi x∈ℝ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với a=1,b=-2,c=-1 ta có f'(x)=-1/(1-x)^2<0 trên (-∞;1) và (1;+∞), nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là x=1 đúng, nhưng tiệm cận ngang là y=a/c=-1, không phải y=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-2, c=-1 nên a+b+c=-2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ nên $n=-m$; chọn $m=1,n=-1$ (không mất tổng quát vì tiệm cận xiên không phụ thuộc tỷ lệ). Khi đó $y=\frac{x^2+bx+c}{x-1}$, đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-(b+c)}{(x-1{)}^2}$. Cực trị tại $x=-1$ và $x=3$ nên $x^2-2x-(b+c)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$, suy ra $b+c=3$. Giá trị tại $x=3$ bằng $5$: $\frac{9+3b+c}{2}=5\Rightarrow 3b+c=1$, suy ra $b=-1,c=4$. Kiểm tra tại $x=-1$: $\frac{1+1+4}{-2}=-3$ đúng. Vậy $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}=x+\frac{4}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{7-4x}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Với $M\left(x;\frac{7-4x}{2x-1}\right)\in (H)$, ta có $y+2=\frac{7-4x+2(2x-1)}{2x-1}=\frac{5}{2x-1}$. Đặt $t=|2x-1|>0$, tổng khoảng cách từ $M$ tới hai tiệm cận là $d=\left|x-\frac{1}{2}\right|+|y+2|=\frac{t}{2}+\frac{5}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{5}{t}}=2\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{10}$, dấu bằng khi $t=\sqrt{10}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{10}$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $4-x>0\Rightarrow x<4$. Xét $x\to -\infty$: $\sqrt{9x^2-x+10}=|x|\sqrt{9-\frac{1}{x}+\frac{10}{x^2}}=-x\sqrt{9-\frac{1}{x}+\frac{10}{x^2}}=-3x\sqrt{1-\frac{1}{9x}+\frac{10}{x^2}}\approx -3x+\frac{1}{6}$. Khi đó $y=6x-\left(-3x+\frac{1}{6}\right)-\frac{8}{\sqrt{4-x}}\to 9x-\frac{1}{6}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=9x-\frac{1}{6}$. Giao với $Ox$: $9x-\frac{1}{6}=0\Rightarrow x=\frac{1}{54}$, tức $A\left(\frac{1}{54};0\right)$. Giao với $Oy$: $y=-\frac{1}{6}$, tức $B\left(0;-\frac{1}{6}\right)$. Diện tích tam giác $OAB$: $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{54}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{648}$. Kết quả khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $b=2$; tiệm cận ngang $y=3$ nên $a=3$. Vậy $f(x)=\frac{3x+8}{x+2}$.
a) Tâm đối xứng của đồ thị là giao hai tiệm cận $I(-2;3)$, không phải $I(3;-2)$ → sai.
b) Hàm số liên tục trên mỗi khoảng và có tiệm cận ngang $y=3$, không đạt giá trị 3, nên tập giá trị $T=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ → đúng.
c) $a+2b=3+2\cdot 2=7\ne -1$ → sai.
d) Hai tiệm cận: $x=-2$ và $y=3$. Với $A(x;y)\in (C)$: $y=3-\frac{2}{x+2}$, tổng khoảng cách $d=|x+2|+\left|y-3\right|=|x+2|+\frac{2}{|x+2|}\ge 2\sqrt{2}\approx 2,8284$. Vì $2\sqrt{2}<2,83$ (ví dụ khi $|x+2|=\sqrt{2}$ thì $d=2\sqrt{2}\approx 2,8284<2,83$), khẳng định 'luôn lớn hơn 2,83' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận $x=-2$ và $y=3$, tức $I(-2;3)$, không phải $I(3;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do có tiệm cận ngang $y=3$, hàm số không nhận giá trị 3 và nhận mọi giá trị khác: $T=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a=3$, $b=2$ nên $a+2b=7\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng khoảng cách $d=|x+2|+\frac{2}{|x+2|}\ge 2\sqrt{2}\approx 2,8284<2,83$, nên không luôn lớn hơn 2,83.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{mx-1}{x+m}$ có tiệm cận đứng $x=-m$ (khi $m\ne 0$) và tiệm cận ngang $y=m$. Hai tiệm cận cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật với hai cạnh là $|-m|$ và $|m|$, diện tích $=m^2=4\Rightarrow m=\pm 2$. Với cả $m=2$ và $m=-2$, hàm số đều xác định và có đủ hai tiệm cận (mỗi giá trị cho một cặp tiệm cận khác nhau nên không trùng đồ thị). Vậy $S=\{-2;2\}$ có 2 phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+c=0\iff c=-1$. Tiệm cận xiên $y=ax+b$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $2$ (đường nét đứt tại $y=2$) nên $b=2$. Kiểm tra: đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $1$, và $f(0)=b+\frac{1}{c}=2+\frac{1}{-1}=1$ ✓ (khớp với hình). Đường thẳng $y=ax+2$ đi lên từ trái sang phải nên $a>0$; theo hình nó cắt trục hoành bên trái gốc $O$ tại $x=-1$, do đó $-\frac{b}{a}=-1\Rightarrow a=2$. Vậy $a=2,b=2,c=-1$, tổng $a+b+c=2+2-1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y = x + 1, đồ thị đi qua (0;2) và có điểm cực tiểu (-2;-2). Suy ra hàm số có dạng y = x + 1 + k/(x+1); thay (0;2): 2 = 1 + k nên k = 1, tức y = x + 1 + 1/(x+1). a) y' = 1 - 1/(x+1)^2; trên (-2;0) có (x+1)^2 < 1 nên y' < 0, hàm nghịch biến trên từng khoảng (-2;-1) và (-1;0) nhưng không liên tục tại x = -1 nên không nghịch biến trên khoảng (-2;0) → Sai. b) Tiệm cận xiên y = x + 1 → Đúng. c) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-1;0), không phải (0;-1) → Sai. d) Tiệm cận đứng x = -1 → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 104: SĐSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại x = -1 nên chỉ nghịch biến trên các khoảng (-2;-1) và (-1;0), không nghịch biến trên toàn khoảng (-2;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, y = x + 1 + 1/(x+1) nên lim [y - (x+1)] = 0, tiệm cận xiên y = x + 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận xiên y = x + 1, tức I(-1;0), không phải (0;-1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 (thể hiện rõ trên hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$, cực đại tại $(-2;-2)$, cực tiểu tại $(0;2)$. Cụ thể $y=x+1+\frac{1}{x+1}$ thỏa mãn mọi dữ kiện đồ thị. a) Đúng: tiệm cận xiên là $y=x+1$. b) Sai: $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ nhưng không liên tục tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên $(-2;0)$. c) Sai: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$. d) Đúng: tiệm cận đứng $x=-1$. Kết quả khớp đáp án ĐSDS của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường thẳng mà hai nhánh tiến tới khi $x\to \pm \infty$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$; hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ nhưng không liên tục tại $x=-1$, do đó không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hai nhánh tiến tới vô cực khi $x\to -1$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên đi qua A(1;4/3) và B(3;2) có hệ số góc (2-4/3)/(3-1)=1/3, phương trình y = x/3 + 1. Vậy f(x) = x/3 + 1 + d/(x+1). Đơn vị: trục hoành 1 đơn vị = 100 sản phẩm, trục tung 1 đơn vị = 1000 USD. Bán 200 sản phẩm tức x=2: R(2)=4+4=8; lợi nhuận = R(2) - f(2) = 5,25 (nghìn USD). f(2)=2/3+1+d/3=5/3+d/3 nên 8 - 5/3 - d/3 = 21/4 => d/3 = 19/3 - 21/4 = 13/12 => d = 13/4. Tổng chi phí khi sản xuất 300 sản phẩm (x=3): f(3)=1+1+13/16 = 45/16 = 2,8125 ≈ 2,81 nghìn đô. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2+4x-1\ge 0$. Xét $x\to +\infty$: $\sqrt{x^2+4x-1}=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}\approx x\left(1+\frac{2}{x}\right)=x+2$. Suy ra $y=x+\sqrt{x^2+4x-1}\approx 2x+2$, vậy tiệm cận xiên khi $x\to +\infty$ là $y=2x+2$, tức $a=2,b=2$. Do đó $a^2+b^2=4+4=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng nhánh của hàm số:
- Với $x>1$: $y=\frac{2x}{x^2-1}$. Khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$. (Nhánh này không xét $x=-1$ vì ngoài miền xác định.)
- Với $0<x\le 1$: $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$. Khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to -\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -1$, không tạo tiệm cận mới (nhánh thứ nhất tại $x\to 1^{+}$ tiến ra $+\infty$).
- Với $x\le 0$: $y=\sqrt{x^2-2x}-x$. Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{x^2-2x}=-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}\approx -x+1$, nên $y\approx (-x+1)-x=-2x+1$, tức có tiệm cận xiên $y=-2x+1$.
Vậy tổng số tiệm cận: $x=1$, $y=0$, $x=0$, $y=-2x+1$ — tất cả 4 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ nên tiệm cận đứng chỉ có thể tại $x=1$. Để đồ thị không có tiệm cận đứng, giới hạn khi $x\to 1$ phải hữu hạn, tức tử số phải triệt tiêu bậc đủ tại $x=1$. Đặt $t=x-1$, khi đó $\sqrt{3x+1}=\sqrt{4+3t}=2+\frac{3}{4}t+o(t)$. Tử số: $\sqrt{3x+1}+ax+b=2+a+b+\left(\frac{3}{4}+a\right)t+o(t)$. Điều kiện 1: $2+a+b=0\Rightarrow a+b=-2$. Điều kiện 2 (để giới hạn hữu hạn, không vô cực): $\frac{3}{4}+a=0\Rightarrow a=-\frac{3}{4}$, suy ra $b=-2-\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{5}{4}$. Khi đó $a-b=-\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là $x=-2$ nên $c\cdot (-2)+2=0\Rightarrow c=1$. Phép chia: $\frac{a{x}^2+bx+1}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{1-2(b-2a)}{x+2}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)$. Đồ thị cho thấy tiệm cận xiên đi qua $(0;1)$ và có hệ số góc $1$ (song song với đường $y=x$), do đó $a=1$ và $b-2a=1\Rightarrow b=3$. Khi đó $T=2a+3b-c=2+9-1=10$. Kiểm tra: $y(0)=\frac{1}{2}>0$, tử $x^2+3x+1=0$ có nghiệm gần $-0,38$ và $-2,62$, phù hợp hình vẽ. Vậy $T=10$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2b+c=0$, tức $c=-2b$. Giới hạn khi $x\to \pm \infty$ bằng $1$ nên $\frac{a}{b}=1$, tức $a=b$. $f^{\prime }(x)=\frac{ac-2b}{(bx+c{)}^2}>0$ trên các khoảng xác định nên $ac-2b>0$. Thay $a=b$, $c=-2b$: $b(-2b)-2b=-2b^2-2b>0⟺b(b+1)<0⟺-1<b<0$. Vậy $b<0$, $a=b<0$, $c=-2b>0$. Trong $a,b,c$ có đúng $2$ số âm ($a$ và $b$). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $2x+5\ge 0\iff x\ge -\frac{5}{2}$, nên $x=-2$ thuộc tập xác định. Hàm số chỉ có thể có tiệm cận đứng tại $x=-2$ (mẫu số triệt tiêu tại đó). Để không có tiệm cận đứng, giới hạn ${\lim }_{x\to -2}\frac{\sqrt{2x+5}+ax+b}{(x+2{)}^2}$ phải hữu hạn, tức tử số phải triệt tiêu đến bậc ít nhất 2 tại $x=-2$. Đặt $t=x+2$, khi đó $\sqrt{2x+5}=\sqrt{2t+1}=1+t-\frac{t^2}{2}+\cdots$ (khai triển Taylor quanh $t=0$). Tử số: $$1+t-\frac{t^2}{2}+\cdots +a(t-2)+b=(1-2a+b)+(1+a)t-\frac{t^2}{2}+\cdots$$ Yêu cầu hệ số của $t^0$ và $t^1$ bằng 0: $1-2a+b=0$ và $1+a=0\Rightarrow a=-1$. Suy ra $b=2a-1=-3$. Khi đó $a-b=-1-(-3)=2$. Thử lại: tử số $\approx -\frac{t^2}{2}$, nên giới hạn bằng $-\frac{1}{2}$ hữu hạn — đúng, đồ thị không có tiệm cận đứng. Vậy $a-b=2$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$: $y=\frac{x^2(1+3/x+2/x^2)}{|x|\sqrt{3+1/x^2}}\approx \frac{x}{\sqrt{3}}$, nên tiệm cận xiên thứ nhất là $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ (hệ số góc $m_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$). Khi $x\to -\infty$: $|x|=-x$ nên $y\approx -\frac{x}{\sqrt{3}}$, tiệm cận xiên thứ hai là $y=-\frac{x}{\sqrt{3}}$ (hệ số góc $m_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$). Góc giữa hai đường: $\tan \alpha =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|=\frac{2/\sqrt{3}}{1-1/3}=\frac{2/\sqrt{3}}{2/3}=\sqrt{3}$, suy ra $\alpha =60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-10x+5000}{x}=2x-10+\frac{5000}{x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
a) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to \pm \infty }\left(2-\frac{10}{x}+\frac{5000}{x^2}\right)=2$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-2x+10\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5000}{x}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-10$.
b) Sai. Xét $f(x)=2x-10+\frac{5000}{x}$ với $x>0$: $f^{\prime }(x)=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x^2=2500\iff x=50$ (vì $x>0$). Vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<50$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>50$ nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=50$, tức nhà hàng phải chế biến 50 phần thức ăn (không phải 45 phần).
c) Sai. Trên mỗi nhánh, $y^{\prime }=2-\frac{5000}{x^2}$; với $x>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=50$ (với $x<0$, hàm đạt cực đại tại $x=-50$). Vậy hàm số có điểm cực trị, mệnh đề 'không có điểm cực trị' là sai.
d) Sai. Trên mỗi nhánh hàm số có cực trị nhưng không có giá trị lớn nhất trên tập xác định (khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$), nên không tồn tại GTLN bằng 5000.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}=2$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-2x+10)=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x=50$ (với $x>0$), và $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=50$. Vậy phải chế biến 50 phần thức ăn, không phải 45.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có cực tiểu tại $x=50$ (nhánh $x>0$) và cực đại tại $x=-50$ (nhánh $x<0$), nên hàm số có điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định.