Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

Đáp án: $-30$.
$\overrightarrow{AC}=(x-120;y+50)$, $\overrightarrow{AB}=(60;80)$.
$$\overrightarrow{AC}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}\iff \{\begin{array}{l}x-120=\frac{5}{2}.60\\ y+50=\frac{5}{2}.80\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=270\\ y=150\end{array}\Rightarrow C(270;150).$$
Khi đó $T=270-2.150=-30$.

a) $\overrightarrow{AB}=(-3;-4)$; $\vec{u}=(5;-4)$
$\vec{x}=(-3+5;-4-4)=(2;-8)$

b) Điểm $C$ nằm trên Ox nên $C(x;0)$.
$\overrightarrow{AB}=(-3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(x-2;-3)$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\Rightarrow -3(x-2)+(-4)(-3)=0\iff -3x+6+12=0\iff x=6$
Vậy $C(6;0)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(-3;-4)$; $\vec{u}=(5;-4)$
$\vec{x}=(-3+5;-4-4)=(2;-8)$

b) Điểm $C$ nằm trên Ox nên $C(x;0)$.
$\overrightarrow{AB}=(-3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(x-2;-3)$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\Rightarrow -3(x-2)+(-4)(-3)=0\iff -3x+6+12=0\iff x=6$
Vậy $C(6;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}=(2-1;-5+3)=(1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3-1;-7+3)=(2;-4)$, không phải $(1;-8)$ và $(2;-10)$. b) Đúng: $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$ nên $A,B,C$ thẳng hàng. c) Sai: $3\overrightarrow{OD}+5\overrightarrow{DA}-3\overrightarrow{DB}=\vec{0}\iff 3\vec{D}+5(\vec{A}-\vec{D})-3(\vec{B}-\vec{D})=\vec{0}\iff \vec{D}=3\vec{B}-5\vec{A}=(6-5;-15+15)=(1;0)$. Khi đó $2a+b=2\ne -4$. d) Sai: $\overrightarrow{AB}=(1;-2)$, $\overrightarrow{BD}=\vec{D}-\vec{B}=(-1;5)$, $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=\frac{-1-10}{\sqrt{5}\sqrt{26}}=\frac{-11}{\sqrt{130}}\approx -0,9648$, suy ra góc $\approx 164,7^{\circ }>150^{\circ }$. Khớp đáp án mã 102: SĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-4)$, khác với khẳng định.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$ nên ba điểm thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được $D(1;0)$ nên $2a+b=2\ne -4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=-11/\sqrt{130}\approx -0,9648$ nên góc $\approx 164,7^{\circ }>150^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$, tức $B=\frac{A+C+D}{3}$. Suy ra $D=3B-(A+C)$. Với $A(1;-2),B(2;1),C(-3;4)$: $A+C=(-2;2)$, nên $D(a;b)=3(2;1)-(-2;2)=(6;3)-(-2;2)=(8;1)$. Vậy $a=8,b=1$, do đó $2a-b=16-1=15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: 15).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: AB=(2−1;4−1)=(1;3), AC=(10−1;−2−1)=(9;−3). b) Sai: AB·AC theo tích có hướng: 1·(−3)−3·9=−30≠0 nên không thẳng hàng (AC không tỉ lệ AB). c) Đúng: 3OD+5DB−3DC=0 ⟺ 3D+5(B−D)−3(C−D)=0 ⟺ D+5B−3C=0 ⟺ D=3C−5B=(30−10;−6−20)=(20;−26). Vậy 2a+b=40−26=14. d) Đúng: BD=D−B=(18;−30), AB=(1;3). cos(AB,BD)=(18−90)/(√10·√1224)=−72/√12240≈−0,651 nên góc ≈130,6°>120°.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2−1;4−1)=(1;3), AC=(10−1;−2−1)=(9;−3).
b) (AI giải đề cho tôi)
1·(−3)−3·9=−30≠0 nên AB, AC không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
3OD+5DB−3DC=0 ⟺ D+5B−3C=0 ⟺ D=3C−5B=(20;−26), nên 2a+b=40−26=14.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD=(18;−30), cos(AB,BD)=−72/(√10·√1224)≈−0,651, góc ≈130,6°>120°.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B(1;1)$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$, tức $B=\frac{A+C+D}{3}$. Suy ra $D=3B-A-C=(3-1-5;3-2+5)=(-3;6)$. Vậy $a=-3,b=6$ và $2a+b=2(-3)+6=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0).

Gọi $D(x;y)$, ta có $\overrightarrow{AD}=(x-4;y-6)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-4)$.
Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-4=6\\ y-6=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=10\\ y=2\end{array}$.
Vậy $D(10;2)$.

Gọi điểm $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(2-x;-1-y)$, $\overrightarrow{MB}=(4-x;5-y)$, $\overrightarrow{MC}=(-3-x;-y)$ (0,25 điểm).
$\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}2-x+3(4-x)-(-3-x)=0\\ -1-y+3(5-y)-(-y)=0\end{array}$ (0,25 điểm).
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{17}{3}\\ y=\frac{14}{3}\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{17}{3};\frac{14}{3}\right)$ (0,25 điểm).
$OM=\sqrt{{\left(\frac{17}{3}\right)}^2+{\left(\frac{14}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{485}}{3}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Với $A(1;2)$, $B(-1;0)$, $C(2;0)$: $\overrightarrow{AB}=(-2;-2)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=(2-x;-y)=(-2;-2)$, suy ra $x=4$, $y=2$, tức $D(4;2)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(3;0)=\overrightarrow{BC}$, đúng. Khớp với đáp án nguồn là B.

Gọi điểm $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(2-x;-1-y)$, $\overrightarrow{MB}=(4-x;5-y)$, $\overrightarrow{MC}=(-3-x;-y)$ (0,25 điểm).
$\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}2-x+3(4-x)-(-3-x)=0\\ -1-y+3(5-y)-(-y)=0\end{array}$ (0,25 điểm).
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{17}{3}\\ y=\frac{14}{3}\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{17}{3};\frac{14}{3}\right)$ (0,25 điểm).
$OM=\sqrt{{\left(\frac{17}{3}\right)}^2+{\left(\frac{14}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{485}}{3}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(3;-1),B(-4;2),C(4;3)$: $x_D=3+4-(-4)=11$, $y_D=-1+3-2=0$. Vậy $D(11;0)$, khớp đáp án A (mã đề 101, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4, mã đề 0102, đáp án SSSD khớp với tính toán độc lập. a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1;5)\ne (-4;-5)$ → Sai. b) Trung điểm $AC$: $I\left(\frac{1+(-3)}{2};\frac{0+(-5)}{2}\right)=(-1;-2,5)$, nên $a-2b=-1-2(-2,5)=4\ne -10$ → Sai. c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=A+B-C-M=(1+0+3-6;0+5+5-10)=(-2;0)\ne \vec{0}$ → Sai. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+C-B=(1-3-0;0-5-5)=(-2;-10)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1;5-0)=(-1;5)\ne (-4;-5)$, khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I\left(\frac{1-3}{2};\frac{0-5}{2}\right)=(-1;-2,5)$, nên $a-2b=-1+5=4\ne -10$, khẳng định Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=A+B-C-M=(1+0+3-6;0+5+5-10)=(-2;0)\ne \vec{0}$, khẳng định Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ hình bình hành $\iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff D=A+C-B=(1-3-0;0-5-5)=(-2;-10)$, khẳng định Đúng.

Đáp án: 2.
Do tín hiệu âm thanh phát đi từ vị trí $I(x;y)$ đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại $O$, $A$, $B$ nhận được cùng một thời điểm nên: $IO=IA=IB$.
Ta có: $IO=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$
$$IA=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-0{)}^2}$$
$$IB=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-3{)}^2}$$
Vì $IO=IA=IB$, nên ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-0{)}^2\\ (x-1{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2x+1=0\\ -6y+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}.$$
Vậy $x+y=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1;-2-5)=(0;-7)$ → đúng. b) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $D=C+\overrightarrow{AB}=(1;-2)+(2;-7)=(3;-9)\ne (1;5)$ → sai. c) $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}-\overrightarrow{M}=(1-3+1+1;5+2-2-3)=(0;2)\ne \vec{0}$ → sai. d) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+3+1}{3};\frac{5-2-2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$, nên $a+b=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=2$ → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=C-A=(0;-7)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ yêu cầu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, suy ra $D=(3;-9)$, không phải $(1;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(0;2)\ne \vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $a+b=2$.

Đáp án: 2.
Do tín hiệu âm thanh phát đi từ vị trí $I(x;y)$ đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại $O,A,B$ nhận được cùng một thời điểm nên: $IO=IA=IB$.
Ta có: $IO=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$
$IA=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-0{)}^2}$
$IB=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-3{)}^2}$
Vì $IO=IA=IB$, nên ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-0{)}^2\\ (x-1{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2x+1=0\\ -6y+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}.$$
Vậy $x+y=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$, tức tọa độ trọng tâm: $C=\frac{A+B+D}{3}$.

Tọa độ $C(-2;3)$ nên:
$$x_C=\frac{3+2+x}{3}=-2\Rightarrow 5+x=-6\Rightarrow x=-11$$
$$y_C=\frac{1+4+y}{3}=3\Rightarrow 5+y=9\Rightarrow y=4$$

Vậy $D(-11;4)$ và $S=x+y=-11+4=-7$.

Kiểm tra: trọng tâm của $A(3;1),B(2;4),D(-11;4)$ là $\left(\frac{3+2-11}{3};\frac{1+4+4}{3}\right)=(-2;3)=C$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) AB=(2-1;4-1)=(1;3) → đúng. b) Trọng tâm G=((1+2+7)/3;(1+4+3)/3)=(10/3;8/3), không phải (7/3;8/3) → sai. c) BC=(5;-1), |BC|=√(25+1)=√26 → đúng. d) Phân giác trong tại A: BD/DC=AB/AC. AB=√10, AC=√(6²+2²)=√40=2√10 nên BD/DC=1/2, tức D chia BC theo tỉ lệ 1:2: D=(2B+C)/3=((4+7)/3;(8+3)/3)=(11/3;11/3) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2-1;4-1)=(1;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
G=((1+2+7)/3;(1+4+3)/3)=(10/3;8/3) ≠ (7/3;8/3).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC=(5;-1), |BC|=√26.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD/DC=AB/AC=√10/(2√10)=1/2 nên D=(2B+C)/3=(11/3;11/3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;9)$, $\overrightarrow{AC}=(0;5)$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\left|x_{AB}{y}_{AC}-y_{AB}{x}_{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(5)-9\cdot 0\right|=\frac{10}{2}=5$. Vậy đáp án B. (Có thể kiểm tra: $AC$ thẳng đứng độ dài 5, khoảng cách từ $B$ đến đường $x=3$ bằng 2, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$.)