Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương trình $2f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{2}=-1,5$.
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $-3<-1,5<1$. Do đó đường thẳng nằm ngang $y=-1,5$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:
$x^4-2x^2=0\iff x^2(x^2-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}$.
Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt, do đó đồ thị có 3 giao điểm với trục hoành.

Chọn đáp án D.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, phương trình $f(t)=1$ có nghiệm khi đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại các điểm có hoành độ $t=1$ và $t=-2$.
Do đó $f[2-f(x)]=1\iff 2-f(x)=1$ hoặc $2-f(x)=-2$.
- Với $2-f(x)=1\iff f(x)=1$. Từ đồ thị, phương trình này có 2 nghiệm thực phân biệt là $x_1=1$ và $x_2=-2$.
- Với $2-f(x)=-2\iff f(x)=4$. Nhìn vào đồ thị hàm số, đường thẳng $y=4$ cắt nhánh bên trái của đồ thị tại đúng 1 điểm có hoành độ $x_3<-2$.
Các nghiệm $x_1,x_2,x_3$ đôi một khác nhau. Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm thực phân biệt.

Chọn đáp án B.

Phương trình tương đương:
$\log f(x)-\log (m{x}^2)+xf(x)-m{x}^2=m{x}^3-f(x)\iff \log f(x)+(x+1)f(x)=\log (m{x}^2)+m{x}^2(x+1)$.
Xét hàm số đặc trưng $g(t)=\log t+(x+1)t$ với $t>0$ và $x>0$. Hàm số $g(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó phương trình tương đương với $f(x)=m{x}^2\iff m=\frac{f(x)}{x^2}$.
Từ đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có các điểm cực trị tại $x=0,x=\pm 1$ và đi qua $(0;3)$, $(1;4)$, $(-1;4)$, ta xác định được công thức của $f(x)=-x^4+2x^2+3$.
Khảo sát hàm số $h(x)=\frac{-x^4+2x^2+3}{x^2}=-x^2+2+\frac{3}{x^2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$:
Đạo hàm $h^{\prime }(x)=-2x-\frac{6}{x^3}<0,\forall x>0$, hoặc xét kỹ điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
Phân tích bảng biến thiên cho thấy số giá trị nguyên của $m\in [-2021;2021]$ là 2019 giá trị.

Chọn đáp án D.

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2-6x+1=0$.
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2-6x+1$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-6=0\iff x=1\pm \sqrt{3}$.
Hai giá trị cực trị là $y_{CĐ}=f(1-\sqrt{3})>0$ và $y_{CT}=f(1+\sqrt{3})<0$.
Vì $y_{CĐ}\cdot y_{CT}<0$, đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Chọn B.
Từ đồ thị của hàm số $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ có 3 nghiệm đơn phân biệt làm cho hàm số $f(x)$ có 3 điểm cực trị.
Với giả thiết $f(a)>0$ tại điểm cực đại hoặc vị trí tương ứng, xét chiều biến thiên và dấu của các giá trị cực trị, đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x=x^2-x-1\iff x^3-x^2-x+1=0\iff (x-1{)}^2(x+1)=0$. Nghiệm bội hai $x=1$ ứng với tiếp điểm $B(1;-1)$, nghiệm đơn $x=-1$ ứng với giao điểm $A(-1;1)$.

Đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $O(0;0)$ nên $f(0)=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow b=c=0$. Lại có $f(1)=3\Rightarrow 1+a=3\iff a=2$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+8x+4\Rightarrow y^{\prime }(-3)=7$. Phương trình tiếp tuyến tại $A(-3;-2)$ là $y=7(x+3)-2=7x+19$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+4x^2+4x+1=7x+19\iff (x+3{)}^2(x-2)=0\Rightarrow x_B=2\Rightarrow B(2;33)$.

Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$. Từ bảng biến thiên, $f(t)=-2\iff t=-1$ hoặc $t=1$. Với $x\in [0;2\pi ]$, $\cos x=-1\iff x=\pi$ ($1$ nghiệm) và $\cos x=1\iff x\in \{0;2\pi \}$ ($2$ nghiệm). Vậy phương trình có $3$ nghiệm.

Chọn D.
Phương trình $2f(x)=5\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$.
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y=2,5$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy cực tiểu tại $y=2$ và cực đại tại $y=4$.
Vì $2<2,5<4$, đường thẳng $y=2,5$ cắt các nhánh của đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $f^2(x)-f(x)=0⟺f(x)[f(x)-1]=0⟺[\begin{array}{rl}f(x)& =0\\ f(x)& =1\end{array}$.
Quan sát đồ thị:
- Đường thẳng $y=0$ (trục hoành) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt $x=-1$ (tiếp xúc) và $x=2$ (cắt ngang).
- Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm có hoành độ $x>2$.
Các nghiệm này phân biệt nhau. Vậy phương trình có tất cả $2+1=3$ nghiệm thực phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+m{x}^2+x=0\iff x(x^2+mx+1)=0$.
Để cắt tại 3 điểm phân biệt thì $x^2+mx+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức $m^2-4>0$.
Theo Vi-ét: $x_1+x_2=-m$ và $x_1{x}_2=1$.
Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc $\iff f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1\iff (3x_1^2+2m{x}_1)(3x_2^2+2m{x}_2)=-1$.
Khai triển và thay Vi-ét ta được: $9-6m^2+4m^2=-1\iff -2m^2=-10\iff m^2=5\iff m=\pm \sqrt{5}$.
Tổng bình phương các giá trị của $m$ là $(\sqrt{5}{)}^2+(-\sqrt{5}{)}^2=10$.

Đặt $u=|x^2-2|-3\ge -3$. Mỗi giá trị $u\in (-3;-1)$ cho $4$ nghiệm $x$; mỗi giá trị $u>-1$ cho $2$ nghiệm $x$. Từ bảng biến thiên của $f(u)$ trên $[-3;+\infty )$, khi $m\in (-2;-1)$, phương trình $f(u)=m$ có $2$ nghiệm $u\in (-3;-1)$ (cho $8$ nghiệm $x$) và $1$ nghiệm $u>1$ (cho $2$ nghiệm $x$), tổng cộng có nhiều nhất $10$ nghiệm.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+3x=3x⟺x^3-3x^2=0⟺x^2(x-3)=0⟺x=0$ hoặc $x=3$. Vậy có 2 giao điểm.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn A.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn A.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(u)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt $u_1\in (-1;0)$, $u_2\in (0;1)$ và $u_3\in (2;3)$.
Khi đó $f(3-f(x))=0⟺3-f(x)=u_i⟺f(x)=3-u_i(i=1,2,3)$:
- Với $u_1\in (-1;0)⟹3-u_1\in (3;4)$: đường thẳng $y=3-u_1>1$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $1$ điểm.
- Với $u_2\in (0;1)⟹3-u_2\in (2;3)$: đường thẳng $y=3-u_2>1$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $1$ điểm.
- Với $u_3\in (2;3)⟹3-u_3\in (0;1)$: đường thẳng $y=3-u_3\in (-3;1)$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có tất cả $1+1+3=5$ nghiệm thực.

Phương trình $3f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{3}\approx 1,67$. Trên đoạn $[0;4]$, hàm số có giá trị tại $x=0$ là $f(0)=2$, giảm xuống điểm cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}\in (0;2)$ và $y_{CT}<\frac{5}{3}$, rồi tăng lên $f(4)=6$. Đường thẳng $y=\frac{5}{3}$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc $[0;4]$ (một điểm trong khoảng $(0;2)$ và một điểm trong khoảng $(2;4)$). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực trên $[0;4]$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn A.