Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn B
1
Ta có 2 f ( x ) = 1 $\iff$ f ( x ) = .
2
1
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
2
1
thẳng y = .
2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 2 f ( x ) = 1 có 1 nghiệm.

Chọn C
e f ( x ) + f ( x) = 1 e f ( x ) = 1 - f ( x) (1)
(
f e f ( x)
)
+ f ( x) = 1 $\iff$ f ( x ) $\iff$
+ f ( x) = -1 e f ( x ) = -1 - f ( x) ( 2 )
e

Đặt t = f ( x) , ( t \le 1) . Khi đó (1) trở thành et = 1 - t ( 3) , ( t \le 1) .

Khi đó (2) trở thành et = -1 - t ( 4 ) , ( t \le 1) .

Số nghiệm của (3) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = et và y = 1 - t , ( t \le 1)

Số nghiệm của (4) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = et và y = -1 - t , ( t \le 1)

Dựa vào đồ thị phương trình (3) có 1 nghiệm t = 0 hay f ( x) = 0 có 4 nghiệm phâm biệt

Dựa vào đồ thị phương trình (4) có 1 nghiệm t = t1 ( -2  t1  -1) hay f ( x) = t1 có 2 nghiệm
phâm biệt

Vậy phương trình f ( e f ( x ) + f ( x) ) = 1 có 6 nghiệm phân biệt.

Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại $3$ điểm phân biệt (vì $y_{CT}<\frac{3}{2}<y_{CĐ}$). Do đó phương trình có đúng $3$ nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $m(x+4)\sqrt{x^2+2}=4(x^2+2)+(x+4{)}^2\iff m=\frac{4\sqrt{x^2+2}}{x+4}+\frac{x+4}{\sqrt{x^2+2}}$ với $x\ne -4$. Đặt $t=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+2}}$. Khảo sát hàm số $t(x)$, ta tìm được tập giá trị của $t$ và điều kiện để có $4$ nghiệm phân biệt dẫn đến $m\in (4;\frac{13}{3})$ hay tương ứng $(a;b)$ có tổng $a+b=\frac{25}{3}$.

Chọn D

x-2
Đồ thị của hàm số y = cắt trục hoành nên tung độ giao điểm: y = 0.
x +1

x-2
$\Rightarrow$ = 0 $\iff$ x = 2 . Vậy, hoành độ giao điểm là x = 2 . Chọn D
x +1

Chọn B
Tập xác định: D = $\mathbb{R}$ \ -2; -1;0
x -1 x x +1
Xét phương trình hoàng độ giao điểm: + + = e - x - 2019 + 2022m
x x +1 x + 2
x -1 x x +1 -x
$\iff$ + + - e + 2019 = 2022m
x x +1 x + 2
x -1 x x +1 -x
Xét: f ( x ) = + + - e + 2019
x x +1 x + 2
1 1 1
Có: f ' ( x ) = + + + e - x  0 x $\in$ D
x ( x + 1) ( x + 2 )
2 2 2

Bảng biến thiên:

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: 2022m \ge 2022 $\iff$ m \ge 1 .
ex -1

Chọn D
Từ đồ thị của hàm số y = f ( x) ta có:
2 - f ( x) = a ( a $\in$ ( -2; - 1) ) f ( x) = 2 - a (1) ( 2 - a $\in$ ( 3; 4 ) )

f ( 2 - f ( x) ) = 0 $\iff$ 2 - f ( x) = b ( b $\in$ ( 0;1) ) $\iff$ f ( x) = 2 - b ( 2 ) ( 2 - b $\in$ (1; 2 ) ) .

2 - f ( x) = c ( c $\in$ (1; 2 ) ) f ( x) = 2 - c ( 3) ( 2 - c $\in$ ( 0;1) )

Từ đồ thị của hàm số y = f ( x) ta thấy phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3) lần lượt có đúng 1, 3, 3
nghiệm và các nghiệm này là phân biệt.
Vậy phương trình f ( 2 - f ( x) ) = 0 có 7 nghiệm.

Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt nên phương trình $f(x)=2$ có $4$ nghiệm thực phân biệt.

Từ đồ thị, $f(t)=3$ có $2$ nghiệm $t_1\in (-2;-1)$ và $t_2\in (1;2)$. Khi đó $\ln f(x)=t_1\iff f(x)=e^{t_1}\in (e^{-2};e^{-1})\subset (0;1)$ (có $2$ nghiệm vì cực đại của $f(x)$ nhỏ hơn $3$ nhưng nhánh đồ thị cắt đường $y=e^{t_1}$ tại $2$ điểm) và $\ln f(x)=t_2\iff f(x)=e^{t_2}\in (e;e^2)$ (có $2$ nghiệm). Tổng cộng phương trình có $4$ nghiệm thực phân biệt.

Phương trình tương đương $f(2\sin x)=-\frac{1}{3}$. Đặt $t=2\sin x$. Với $x\in [-\pi ;\pi ]$ thì $t\in [-2;2]$. Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)=-\frac{1}{3}$ có nghiệm trong $[-2;2]$. Với mỗi giá trị $t\in (-2;2),t\ne 0$, phương trình $2\sin x=t$ cho số nghiệm tương ứng thuộc $[-\pi ;\pi ]$, tổng cộng phương trình có đúng $4$ nghiệm.

Từ đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$, ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị là $x=-1,x=0,x=1$.
Do đó:
$f^{\prime }(u)=0\iff [\begin{array}{rl}u& =-1\\ u& =0\\ u& =1.\end{array}$
Đặt $t={\mathrm{e}}^x>0$. Phương trình $f^{\prime }(f({\mathrm{e}}^x))=0$ trở thành:
$f^{\prime }(f(t))=0\iff [\begin{array}{rl}f(t)& =-1\\ f(t)& =0\\ f(t)& =1.\end{array}$
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên miền $t>0$:
- Phương trình $f(t)=-1$: đường thẳng $y=-1$ cắt nhánh đi xuống bên phải của đồ thị tại đúng 1 điểm có hoành độ $t_1>1$.
- Phương trình $f(t)=0$: đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị tại điểm $t=0$ (loại vì $t>0$) và cắt nhánh đi xuống bên phải tại đúng 1 điểm có hoành độ $t_2>1$ ($t_2\ne t_1$).
- Phương trình $f(t)=1$: đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $t=1>0$ (hoặc cắt tại nhánh dương), cho đúng 1 nghiệm dương $t_3>0$.
Ba nghiệm dương $t_1,t_2,t_3$ đôi một khác nhau.
Với mỗi giá trị $t_k>0$, phương trình ${\mathrm{e}}^x=t_k$ cho duy nhất 1 nghiệm thực $x=\ln t_k$.
Vậy phương trình $f^{\prime }(f({\mathrm{e}}^x))=0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt, tức số phần tử của $S$ là 3.

Chọn đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ($y=0$):
$\frac{x-4}{x+2}=0⟺x-4=0⟺x=4.$
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $P(4;0)$.

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, ta thấy các điểm cực trị của $f(t)$ là $t=-1$ và $t=2$.

Do đó $f^{\prime }(3-2f(x))=0⟺[<table><tbody><tr><td>3-2f(x)=-1</td></tr><tr><td>3-2f(x)=2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)=2(1)</td></tr><tr><td>f(x)=\frac{1}{2}(2)</td></tr></tbody></table>$



Dựa vào đồ thị và bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại 6 điểm phân biệt.
- Hai tập nghiệm này không giao nhau vì $2\ne \frac{1}{2}$.

Vậy phương trình có tất cả $4+6=10$ nghiệm thực phân biệt.

Xét bất phương trình $4^x-3\cdot 2^{x+\sqrt{x}}-4\cdot 4^{\sqrt{x}}\le 0$.
Đặt $u=2^x>0$ và $v=2^{\sqrt{x}}>0$. Bất phương trình trở thành:
$u^2-3uv-4v^2\le 0⟺(u+v)(u-4v)\le 0$.
Vì $u+v>0$ nên $u-4v\le 0⟺u\le 4v$.
$⟺2^x\le 4\cdot 2^{\sqrt{x}}=2^{\sqrt{x}+2}⟺x\le \sqrt{x}+2⟺x-\sqrt{x}-2\le 0$.
Đặt $t=\sqrt{x}\ge 0$, ta có $t^2-t-2\le 0⟺-1\le t\le 2⟹0\le \sqrt{x}\le 2⟺0\le x\le 4$.
Phương trình $x^2+9x+1=m{e}^x⟺m=\frac{x^2+9x+1}{e^x}=g(x)$.
Đạo hàm: $g^{\prime }(x)=\frac{(2x+9)e^x-(x^2+9x+1)e^x}{e^{2x}}=\frac{-x^2-7x+8}{e^x}=\frac{-(x-1)(x+8)}{e^x}$.
Với $x\in [0;4]$, $g^{\prime }(x)=0⟺x=1$.
Bảng biến thiên của $g(x)$ trên $[0;4]$:
- $g(0)=1$.
- $g(1)=\frac{11}{e}\approx 4,046$.
- $g(4)=\frac{53}{e^4}\approx 0,97<1$.
Để phương trình $g(x)=m$ có $2$ nghiệm phân biệt thuộc $[0;4]$ thì:
$1\le m<\frac{11}{e}\approx 4,046$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4\}$.
Tập hợp $S$ có $4$ phần tử.
Chọn đáp án A.

Xét $g(m)=3\sqrt{m}+4\sqrt{1-m}$ trên $[0;1]$.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$g(m)\le \sqrt{(3^2+4^2)(m+1-m)}=5$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(m)$ trên $[0;1]$ là $\min (g(0),g(1))=\min (4,3)=3$.
Do đó $3\le g(m)\le 5$.
Xét hàm số $u(x)=x^3-3x^2$ có $u^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
Cực đại tại $x=0,u(0)=0$; cực tiểu tại $x=2,u(2)=-4$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, với $k\in [3;5]$, đường thẳng $y=k$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại các giá trị tương ứng, dẫn tới phương trình $f(u(x))=g(m)$ có đúng $5$ nghiệm thực phân biệt.
Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-2x^3+6x=0\iff -2x(x^2-3)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{3}$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt, vậy số giao điểm là 3. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

Đặt $t=\frac{2\sin x+1}{2}=\sin x+\frac{1}{2}$. Vì $\sin x\in [-1;1]$ nên $t\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Xét hàm số $f(t)=2t^3-3t^2+1$ trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$: $f^{\prime }(t)=6t^2-6t=6t(t-1)=0\iff t=0$ hoặc $t=1$. Ta có $f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=1$. Do đó khi $t\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$ thì $u=f(t)\in [0;1]$. Với $u\in [0;1]$, hàm số $f(u)$ nhận giá trị trong $[0;1]$ (vì $f(0)=1,f(1)=0$). Do đó phương trình có nghiệm khi $f(m)\in [0;1]\iff 0\le 2m^3-3m^2+1\le 1$. Xét $2m^3-3m^2+1\ge 0\iff (m-1{)}^2(2m+1)\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{2}$; và $2m^3-3m^2\le 0\iff m^2(2m-3)\le 0\iff m\le \frac{3}{2}$ hoặc $m=0$. Giao lại ta được $m\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1\}$, có 2 giá trị nguyên thỏa mãn. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=1$ (tại $x=\pm 1$) và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=2$ (tại $x=0$). Đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ nằm giữa giá trị cực tiểu và cực đại ($1<\frac{3}{2}<2$). Do đó, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 4 điểm phân biệt, phương trình có 4 nghiệm. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.

Phương trình $f^{\prime }(x)+(x+1)f(x)=3x^2$ là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nhân cả hai vế với thừa số tích phân $e^{\frac{x^2}{2}+x}$, ta có ${\left[e^{\frac{x^2}{2}+x}f(x)\right]}^{\prime }=3x^2{e}^{\frac{x^2}{2}+x}$. Khảo sát phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=1$ trên $\mathbb{R}$, ta thấy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt (trong đó có nghiệm hiển nhiên $x=0$ do $f(0)=1$). Do đó đồ thị cắt đường thẳng $y=1$ tại đúng 2 điểm. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Chọn C.
[IMAGE:fig_q13_sol]

Ta có $2f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{2}=-1,5$.
Đường thẳng $y=-1,5$ nằm giữa $-2$ và $2$ nên cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực.