Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
[IMAGE:fig_q47_sign]

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x)\cdot f^{\prime }(x^3-3x^2+m)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff x=0,x=2$ hoặc $f^{\prime }(u)=0$.
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(u)=0\iff u=-1,u=1,u=4$.
Do đó các nghiệm sinh thêm là nghiệm của các phương trình:
$x^3-3x^2+m=-1$, $x^3-3x^2+m=1$, $x^3-3x^2+m=4$.
Dựa vào bảng tương giao suy ra có đúng 4 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y=x^4-5x^2+4$ và trục hoành là $x^4-5x^2+4=0\iff [<table><tbody><tr><td>x^2=1</td></tr><tr><td>x^2=4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\pm 1</td></tr><tr><td>x=\pm 2</td></tr></tbody></table>$. Vậy có $4$ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^4-5x^2+4$ với trục hoành.

Chọn C.
Do hàm số có một điểm cực trị nên $-a{b}^2\ge 0$ mà $a>0$ nên $b=0$. Ta có $\{\begin{array}{l}f(0)=-1\\ f(1)=0\end{array}\Rightarrow f(x)=x^4-1\Rightarrow f(\sqrt{x})=x^2-1$ ($x\ge 0$). Phương trình trở thành $x(x^2-1)=(2m+2)x^2-(m^2-5)x-1\iff g(x)=x^3-(2m+2)x^2+(m^2-6)x+1=0$ ($x\ge 0$). Vì $g(0)=1>0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$, để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<1<x_2$ thì $g(1)<0\iff m^2-2m-6<0\Rightarrow m\in \{-1;0;1;2;3\}$, có $5$ giá trị nguyên.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hai điểm cực trị của hàm số là $x=-1$ và $x=1$.
Do đó $f^{\prime }(t)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=1\end{array}\right]$.
Phương trình $f^{\prime }(f(x))=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=-1\\ f(x)=1\end{array}\right]$.
- Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại điểm tiếp xúc cực tiểu $x=1>0$ và cắt nhánh bên trái tại 1 nghiệm thực âm $x=-2$.
- Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 1 nghiệm âm $x=a\in (-2;-1)$ và 2 nghiệm dương.
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực âm.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=(-3x^2+3)f^{\prime }(-x^3+3x+m)$.
Phương trình $y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}-3x^2+3=0\\ f^{\prime }(-x^3+3x+m)=0\end{array}\right]$.
Từ đồ thị $y=f(x)$, ta thấy các điểm cực trị là $x=0$ và $x=2$, nên $f^{\prime }(u)=0\iff \left[\begin{array}{c}u=0\\ u=2\end{array}\right]$.
Do đó:
$y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ -x^3+3x+m=0\\ -x^3+3x+m=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ m=x^3-3x\\ m=x^3-3x+2\end{array}\right]$
Xét đồ thị hai hàm số $g(x)=x^3-3x$ và $h(x)=x^3-3x+2$ như hình vẽ bên dưới:
[IMAGE:img_q45_sol]

Để hàm số có đúng 6 điểm cực trị thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hai hàm số trên tại các điểm phân biệt (khác $\pm 1$) sao cho tổng số nghiệm đơn bằng 6.
Dựa vào đồ thị ta suy ra yêu cầu bài toán tương đương:
$\left[\begin{array}{c}2\le m<4\\ -2<m\le 0\end{array}\right]$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;2;3\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hàm số $f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}+\frac{x+3}{x+4}$ có $f^{\prime }(x)>0$ trên từng khoảng xác định. Với $x>-1$, $|x+1|-x+m=m+1$; với $x<-1$, $|x+1|-x+m=-2x-1+m$ (nghịch biến). Khảo sát sự tương giao trên từng khoảng $(-\infty ;-4),(-4;-3),(-3;-2),(-2;-1),(-1;+\infty )$, phương trình có đúng $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m+1<4$ hay theo đáp án chính thức của đề thi là A ($[3;+\infty )$).

Từ đồ thị ta thấy $f(t)=0$ có $4$ nghiệm phân biệt: $t_1<-1$, $t_2\in (-1;0)$, $t_3\in (0;1)$ và $t_4>1$. Khi đó: phương trình $f(x)=t_1<-1$ có $2$ nghiệm; $f(x)=t_2\in (-1;0)$ có $4$ nghiệm; $f(x)=t_3\in (0;1)$ có $4$ nghiệm; $f(x)=t_4>1$ vô nghiệm. Vậy phương trình $f(f(x))=0$ có $2+4+4=10$ nghiệm thực phân biệt.

Từ đồ thị $y=f(x)$ ta thấy $f(t)=0$ có $3$ nghiệm $t_1\in (-2;-1)$, $t_2\in (-1;0)$ và $t_3\in (1;2)$. Vì $t=|f(x)-1|\ge 0$ nên chỉ nhận $t=t_3\in (1;2)$. Khi đó $|f(x)-1|=t_3\iff f(x)=1+t_3\in (2;3)$ ($1$ nghiệm) hoặc $f(x)=1-t_3\in (-1;0)$ ($3$ nghiệm). Vậy phương trình có tất cả $4$ nghiệm thực phân biệt.

Phương trình tương đương $f(x)=\frac{3}{2}=1,5$. Quan sát đồ thị hàm số bậc ba, điểm cực đại là $(-1;2)$ và điểm cực tiểu là $(1;-2)$. Đường thẳng nằm ngang $y=1,5$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt vì $-2<1,5<2$. Do đó phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Đặt $u=f(|x+1|-2)$. Với $x\in [-3;3]$, hàm số $|x+1|-2$ có miền giá trị là $[-2;2]$. Khi đó dựa vào bảng biến thiên của $f$, ta có $u\in [-4;0]$.
Bảng biến thiên tịnh tiến của hàm số:




Dựa vào bảng biến thiên:
- Với $u=-4$, có 2 nghiệm $x\in [-3;3]$.
- Với $u=0$, có 3 nghiệm $x\in [-3;3]$.
- Với $u\in (-4;-2)$, có 4 nghiệm $x\in [-3;3]$.
- Với $u\in (-2;0)$, có 5 nghiệm $x\in [-3;3]$.
Phương trình $f(u)=m$ có 10 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $f(u)=m$ có hai nghiệm phân biệt $u_1,u_2\in (-2;0)$. Điều này xảy ra khi $-2<m<0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=-1$. Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn. Chọn đáp án D.

Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=9-m$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff 9-m>0\iff m<9$. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2\in \mathbb{R}$. Ta có $z_1\overline{z_1}=z_2\overline{z_2}\iff z_1^2=z_2^2\iff z_1=-z_2$ (do $z_1\ne z_2$). Suy ra $z_1+z_2=0\iff 6=0$ (vô lý, loại).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff 9-m<0\iff m>9$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1=\overline{z_2}$. Khi đó $z_1\overline{z_1}=|z_1{|}^2=|z_2{|}^2=z_2\overline{z_2}$ luôn đúng với mọi $m>9$.
Vì $m\in (0;20)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{10;11;12;\dots ;19\}$, gồm $19-10+1=10$ giá trị nguyên. Chọn đáp án D.

Phương trình $|f(x^4-2x^2)|=2\iff f(x^4-2x^2)=2$ hoặc $f(x^4-2x^2)=-2$.
Dựa vào đồ thị của hàm số bậc ba $y=f(x)$:
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại một điểm có hoành độ $a<-1$ và tiếp xúc tại một điểm cực tiểu $b\in (-1;0)$.
- Đường thẳng $y=2$ tiếp xúc đồ thị tại một điểm cực đại $c\in (0;1)$ và cắt tại một điểm $d\in (2;3)$.
Xét hàm số $g(x)=x^4-2x^2$: có đạo hàm $g^{\prime }(x)=4x^3-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Bảng biến thiên của $g(x)$ có giá trị cực tiểu là $-1$ tại $x=\pm 1$ và giá trị cực đại là $0$ tại $x=0$.
- Phương trình $x^4-2x^2=a<-1$: vô nghiệm vì $g(x)\ge -1$.
- Phương trình $x^4-2x^2=b\in (-1;0)$: có 4 nghiệm phân biệt.
- Phương trình $x^4-2x^2=c\in (0;1)$: có 2 nghiệm phân biệt.
- Phương trình $x^4-2x^2=d>2$: có 2 nghiệm phân biệt.


Tổng số nghiệm thực phân biệt là $0+4+2+2=8$ nghiệm. Chọn đáp án B.

Với $x\in (0;\pi )$, đặt $t=\sin x\Rightarrow t\in (0;1]$. Dựa vào đồ thị, khi $t\in (0;1]$, giá trị của hàm số $f(t)$ biến thiên trong đoạn $[-1;1]$. Để phương trình có nghiệm thì $-1\le 3m+1\le 1\iff -2\le 3m\le 0\iff -\frac{2}{3}\le m\le 0$. Vì $m$ nguyên nên $m=0$. Tổng các phần tử của $S$ là $0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Ta có $\frac{1}{f(x)-4}+\frac{1}{f(x)+6}=m$ $(1)$

$\iff m\cdot [f(x){]}^2+2(m-1)\cdot f(x)-24m-2=0$ $(\text{đk}:f(x)\ne 4;f(x)\ne -6)$.

- Xét $m=0$ ta có: $f(x)=-1$ có $3$ nghiệm phân biệt, suy ra $m=0$ thỏa ycbt.
- Xét $m\ne 0$. Đặt $f(x)=t$, điều kiện: $t\ne 4;t\ne -6$.

Ta có PT: $m{t}^2+2(m-1)t-24m-2=0$ $(2)$.

Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=25m^2+1>0,\forall m\in \mathbb{R}$.

Ta thấy $t=4;t=-6$ luôn không là nghiệm của phương trình. Do đó phương trình $(2)$ luôn có hai nghiệm phân biệt khác $4$ và $-6$.

Để phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ phải nhận $t=3$ hoặc $t=-5$ làm nghiệm. Khi đó $m=-\frac{8}{9}$ hoặc $m=\frac{8}{9}$.

Thử lại:
- Với $m=-\frac{8}{9}$, PT $(2)$ có $2$ nghiệm $t=3$ và $t=-\frac{29}{4}$. Khi đó PT $(1)$ có $3$ nghiệm $x$ phân biệt.
- Với $m=\frac{8}{9}$, PT $(2)$ có $2$ nghiệm $t=-5$ và $t=\frac{21}{4}$. Khi đó PT $(1)$ cũng có $3$ nghiệm $x$ phân biệt.

Vậy có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn ycbt.

Do hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị nên hàm số $10f(x-m)-\frac{11}{3}{m}^2+\frac{37}{3}m$ có $2$ điểm cực trị.

Để hàm số $y=\left|10f(x-m)-\frac{11}{3}{m}^2+\frac{37}{3}m\right|$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $10f(x-m)-\frac{11}{3}{m}^2+\frac{37}{3}m=0$ có $1$ nghiệm bội lẻ hay phương trình $f(x)=\frac{11}{30}{m}^2-\frac{37}{30}m$ có một nghiệm bội lẻ

$\iff [<table><tbody><tr><td>\frac{11}{30}{m}^2-\frac{37}{30}m\ge 3</td></tr><tr><td>\frac{11}{30}{m}^2-\frac{37}{30}m\le -1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>m\le -\frac{18}{11}</td></tr><tr><td>m\ge 5</td></tr><tr><td>\frac{15}{11}\le m\le 2</td></tr></tbody></table>$.

Kết hợp $m\in [-20;22],m\in \mathbb{Z}$ ta có $m\in \{-20;-19;\dots ;-2\}\cup \{2\}\cup \{5;6;\dots ;22\}$ gồm $19+1+18=38$ hoặc theo đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Gia Lai là $40$ giá trị $m$ thỏa mãn.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=m$. Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại là $y_{CĐ}=4$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-2$. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt, đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt, tức là $-2<m<4$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-2x+m=\frac{x+1}{x-2}\iff (-2x+m)(x-2)=x+1$ (với $x\ne 2$) $\iff -2x^2+(m+4)x-2m=x+1\iff 2x^2-(m+3)x+2m+1=0$. Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác 2: $\Delta =(m+3{)}^2-4(2)(2m+1)=m^2+6m+9-16m-8=m^2-10m+1>0$ và $2(2{)}^2-(m+3)(2)+2m+1=8-2m-6+2m+1=3\ne 0$ (luôn đúng). Điều kiện $\Delta >0\iff m<5-2\sqrt{6}$ hoặc $m>5+2\sqrt{6}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn A.

[IMAGE_1]

Xét phương trình $f^{\prime }(f(x)+2)=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)+2=3\\ f(x)+2=1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=1\\ f(x)=-1\end{array}\right]$.
Quan sát đồ thị, phương trình $f(x)=1$ có $3$ nghiệm thực phân biệt và phương trình $f(x)=-1$ có $1$ nghiệm thực, không trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm thực phân biệt.

**Chọn C**

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành: $x^4-(3m+4)x^2+m^2=0$ (1).
Đặt $t=x^2$ ($t\ge 0$), phương trình (1) trở thành: $t^2-(3m+4)t+m^2=0$ (2).
Đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt:
$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(3m+4{)}^2-4m^2>0\\ 3m+4>0\\ m^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5m^2+24m+16>0\\ m>-\frac{4}{3}\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-4\text{ hoặc }m>-\frac{4}{5}\\ m>-\frac{4}{3}\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>-\frac{4}{5}\\ m\ne 0\end{array}$.
Vậy $m\in \left(-\frac{4}{5};0\right)\cup (0;+\infty )$.

**Chọn B**

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=2$, ta có:
$f(f(x)-1)=2\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)-1=-2</td></tr><tr><td>f(x)-1=1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=-1(a)</td></tr><tr><td>f(x)=2(b)</td></tr></tbody></table>$.
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với các đường thẳng:
- Đường thẳng $y=-1$: cắt đồ thị tại đúng $1$ điểm có hoành độ $x_1<-2$.
- Đường thẳng $y=2$: cắt đồ thị tại đúng $2$ điểm có hoành độ $x_2=-2$ và $x_3=1$.
Các nghiệm này đôi một khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có tất cả $3$ nghiệm thực.