Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị bậc ba $f(x)=-x^3+3x+1$, ta có $f^{\prime }(u)=0\iff u=-1$ hoặc $u=1$. Phương trình $f^{\prime }(f(x)-x)=0\iff f(x)-x=-1$ hoặc $f(x)-x=1\iff -x^3+2x+2=0$ ($1$ nghiệm) hoặc $-x^3+2x=0$ ($3$ nghiệm phân biệt), tổng cộng có $4$ nghiệm.

Từ đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương $y=f(x)$, ta thấy hàm số có ba điểm cực trị $x_1<0<x_2$ (đối xứng qua $O$, với $x_1=-x_0,x_2=x_0$ trong đó $x_0\approx 1,41$). Đạo hàm $f^{\prime }(u)=0\iff u\in \{-x_0,0,x_0\}$. Do đó phương trình $f^{\prime }(f(x)-1)=0\iff f(x)-1\in \{-x_0,0,x_0\}\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=1</td></tr><tr><td>f(x)=1+x_0</td></tr><tr><td>f(x)=1-x_0</td></tr></tbody></table>$. Dựa vào đồ thị $f(x)$ với điểm cực đại $(0;1)$ và hai điểm cực tiểu $(-\sqrt{2};-1)$ và $(\sqrt{2};-1)$:
1) $f(x)=1$: đường thẳng $y=1$ tiếp xúc đồ thị tại cực đại $x=0$ và cắt 2 nhánh ngoài, có 3 nghiệm phân biệt.
2) $f(x)=1+x_0>1$: đường thẳng $y=1+x_0$ nằm trên điểm cực đại, cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
3) $f(x)=1-x_0$: do $x_0=\sqrt{2}\approx 1,41$ nên $1-x_0=1-\sqrt{2}\approx -0,41\in (-1;1)$. Đường thẳng $y=1-x_0$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm thực phân biệt là $3+2+4=9$ nghiệm. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn D.

Phương trình có 2 nghiệm phức không thực khi ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2+2)=-2m-1<0\iff m>-\frac{1}{2}$. Nghiệm phức là $z=(m-1)\pm i\sqrt{2m+1}$. Diện tích tam giác $OMN$ là $S=|m-1|\sqrt{2m+1}\le \sqrt{5}\iff (m-1{)}^2(2m+1)\le 5$. Do tam giác không suy biến nên $m\ne 1$. Các số nguyên $m>-\frac{1}{2}$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=2$. Vậy có 2 giá trị nguyên. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn D.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm $-1,1,2$ nên $f^{\prime \prime }(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $u_1,u_2$ với $-1<u_1<1<u_2<2$. Do $-5/3<u_1<1$, đường thẳng $y=u_1$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại 4 điểm phân biệt. Do $1<u_2<13/4$, đường thẳng $y=u_2$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại 2 điểm phân biệt. Tổng số nghiệm phân biệt là $4+2=6$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn D.

Ta có $f(f(x))+2=0\iff f(f(x))=-2$. Từ đồ thị, $f(t)=-2$ có $3$ nghiệm phân biệt: $t=a<-2$, $t=0$ (nghiệm kép) và $t=b>2$. Đường thẳng $y=a<-2$ cắt đồ thị tại $4$ điểm phân biệt (vì $-3<a<-2$ khi xét giá trị hoặc mỗi nhánh cắt), đường thẳng $y=0$ cắt tại $2$ điểm và $y=b>2$ cắt tại $2$ điểm, tổng cộng có $8$ nghiệm thực phân biệt.

Ta có $g^{\prime }(x)=2f[2f(x)+1]\cdot f^{\prime }[2f(x)+1]\cdot 2f^{\prime }(x)=4f^{\prime }(x)\cdot f[2f(x)+1]\cdot f^{\prime }[2f(x)+1]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)=0(1)</td></tr><tr><td>f[2f(x)+1]=0(2)</td></tr><tr><td>f^{\prime }[2f(x)+1]=0(3)</td></tr></tbody></table>$
Từ bảng biến thiên của $f(x)$:
- $f^{\prime }(x)=0\iff x=-3$ hoặc $x=0$. (2 nghiệm)
- Xét (2): $f(u)=0\iff u=0$ (vì hàm số có $y_{CD}=0$ tại $x=-3$). Do đó $2f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{2}$.
Trên khoảng $(-\infty ;0)$, giá trị cực đại là 0, cực tiểu là $-2$, nên đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thuộc $(-\infty ;0)$ và cắt nhánh $(0;+\infty )$ tại 1 điểm, tổng cộng cho 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1).
- Xét (3): $f^{\prime }(u)=0\iff u=-3$ hoặc $u=0$, tương ứng $2f(x)+1=-3\iff f(x)=-2$ (nghiệm kép $x=0$), hoặc $2f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{2}$ (trùng với (2)).
Tổng hợp lại, phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án A.

Ta có $4f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{4}$. Vì $-2<-\frac{3}{4}<1$ nên đường thẳng $y=-\frac{3}{4}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt, tức phương trình có $4$ nghiệm thực.

Đặt $u=2f(x)-1=2x^3-6x^2+9$, có $u_{\text{CĐ}}=u(0)=9,u_{\text{CT}}=u(2)=1$. Phương trình $2f(x)-1=u$ có $1$ nghiệm $x$ khi $u>9$ hoặc $u<1$; $2$ nghiệm khi $u\in \{1;9\}$; $3$ nghiệm khi $1<u<9$. Mặt khác hàm số $f(u)=u^3-3u^2+5$ đồng biến trên $(2;+\infty )$ với $f(0)=5,f(1)=3,f(2)=1,f(9)=491$. Kiểm tra số nghiệm của $f(u)=m$ dẫn đến số nghiệm $x$: theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101), có $485$ giá trị nguyên của $m$ (đáp án C).

**Chọn D**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Có 4 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+2=0\iff (x-1)(x^2-2x-2)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=1\pm \sqrt{3}\end{array}$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị có 3 điểm chung với trục hoành.

Dựa vào đồ thị, hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại các điểm $x_1,x_2$. Phương trình $f^{\prime }(u)=0\iff u=x_1$ hoặc $u=x_2$. Thay $u=f(x)-1\iff f(x)=x_1+1$ hoặc $f(x)=x_2+1$. Tổng số giao điểm với các đường nằm ngang cho ra đúng 9 nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(u)=0$ có 4 nghiệm phân biệt $u_1<-1$, $-1<u_2<0$, $0<u_3<1$, $u_4>2$.
Do đó phương trình $f(f(x)-1)=0\iff f(x)-1=u_i\iff f(x)=u_i+1$.
Lập bảng biến thiên và tương giao đường thẳng $y=u_i+1$:


Tổng số nghiệm của phương trình là $11$ nghiệm phân biệt. Chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x+2=2-4x\iff x^3+x=0\iff x=0\Rightarrow y=2\Rightarrow M(0;2)$. Suy ra $a+b=2$.

Vẽ đường thẳng $y=3$ lên bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$.

[IMAGE_1]

Suy ra phương trình $f(x)=3$ có $3$ nghiệm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm phân biệt $\iff -3<m<5$.

Đặt $t=x^3-3x(1)$. Ta có bảng biến thiên của hàm số $t=x^3-3x$:

[IMAGE_1]

Khi đó ta có: $f(x^3-3x)=m\iff f(t)=m\iff t^3-3t^2+2=m(2)$.
Để phương trình $(1)$ có $7$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ có $3$ nghiệm $t$ trong đó có $2$ nghiệm $t\in (-2;2)$ và $1$ nghiệm $t>2$ hoặc $t<-2$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=t^3-3t^2+2$:

[IMAGE_2]

Dựa vào bảng biến thiên, để thỏa mãn yêu cầu trên thì $m\in (-2;2)\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \{-1;0;1\}\Rightarrow \sum m=0$.

**Chọn D**

Số nghiệm thực của phương trình $f(x)=1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=1$. Dựa vào đồ thị hình vẽ, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt.

**Chọn C**

Đặt $t=1-x$. Với $x\in (0;+\infty )$ thì $t<1$.
Phương trình trở thành $f(t)=1$ với $t<1$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ $t<1$.
Mỗi giá trị $t<1$ cho tương ứng một nghiệm $x=1-t>0$. Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc $(0;+\infty )$.

Điều kiện xác định: $x\ne 2$.
Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:
$\frac{x^2-5x+4}{x-2}=0\iff x^2-5x+4=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (thỏa ma˜n)}</td></tr><tr><td>x=4\text{ (thỏa ma˜n)}</td></tr></tbody></table>$
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=1$. Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=1$ (song song với trục hoành, nằm giữa $-2$ và $2$) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.