Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=3\overrightarrow{AG}$. Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (tính chất hình bình hành, ở đây là hình vuông $ABCD$), ta có $P=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$. Trong hình vuông cạnh $a$: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2$ (vì $\overrightarrow{AD}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AC}$ lên $\overrightarrow{AD}$, góc $CAD=45^{\circ }$: $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$) và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=a^2$ (tương tự, góc $CAB=45^{\circ }$). Vậy $P=a^2-a^2=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: hai vectơ $overrightarrowAB$ và $overrightarrowAC$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (góc giữa chúng $60^0$), nên không bằng nhau. b) Sai: $$\begin{gathered} overrightarrowAB- \\ overrightarrowCB= \\ overrightarrowAB+ \\ overrightarrowBC= \\ overrightarrowAC \\ neq \\ overrightarrowCA \end{gathered}$$. c) Đúng: gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $$\begin{gathered} overrightarrowAB+ \\ overrightarrowAC=2 \\ overrightarrowAM \end{gathered}$$, với $AM$ là đường cao tam giác đều nên $$\begin{gathered} AM= \\ dfraca \\ sqrt32 \end{gathered}$$, suy ra $$\begin{gathered} left| \\ overrightarrowAB+ \\ overrightarrowAC \\ right|=2 \\ cdot \\ dfraca \\ sqrt32=a \\ sqrt3 \end{gathered}$$. d) Đúng: $M$ là trung điểm $BC$ nên $CM$ là trung tuyến, trọng tâm $G$ nằm trên $CM$ với $$\begin{gathered} overrightarrowMG= \\ dfrac13 \\ overrightarrowMC=- \\ dfrac13 \\ overrightarrowCM \end{gathered}$$, do đó $$\begin{gathered} overrightarrowCM+3 \\ overrightarrowMG= \\ overrightarrowCM- \\ overrightarrowCM= \\ vec0 \end{gathered}$$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: S, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$overrightarrowAB$ và $overrightarrowAC$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương nên không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$$\begin{gathered} overrightarrowAB- \\ overrightarrowCB= \\ overrightarrowAB+ \\ overrightarrowBC= \\ overrightarrowAC \\ neq \\ overrightarrowCA \end{gathered}$$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$$\begin{gathered} overrightarrowAB+ \\ overrightarrowAC=2 \\ overrightarrowAM \end{gathered}$$ với $$\begin{gathered} AM= \\ dfraca \\ sqrt32 \end{gathered}$$, nên độ dài bằng $$\begin{gathered} a \\ sqrt3 \end{gathered}$$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ trên trung tuyến $CM$ thỏa $$\begin{gathered} overrightarrowMG= \\ dfrac13 \\ overrightarrowMC=- \\ dfrac13 \\ overrightarrowCM \end{gathered}$$, nên $$\begin{gathered} overrightarrowCM+3 \\ overrightarrowMG= \\ vec0 \end{gathered}$$.

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ (0,25đ). Mà $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$. (0,25đ)
b) Giả sử $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OC}$. $\widehat{OAC}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, $OA=120$; $AC=100$. (0,25đ)
$$OC=\sqrt{O{A}^2+A{C}^2-2.OA.AC.\cos \widehat{OAC}}$$ (0,25đ)
$$=\sqrt{100^2+120^2-\mathrm{2.100.120.}\cos 120^{\circ }}=20\sqrt{91}\approx 190,8(N).$$

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overline{AB}\cdot \overline{AC}=AB\cdot AC\cos 135^{\circ }=2\cdot 8\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-8\sqrt{2}$ → đúng.
b) Góc giữa $\overline{AC}$ và $\overline{BA}$: vì $\overline{BA}=-\overline{AB}$ nên góc bằng $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$, không phải $135^{\circ }$ → sai.
c) $\overline{IJ}=\overline{J}-\overline{I}=\frac{1}{4}\overline{AC}-\frac{1}{2}\overline{AB}$, khác $\frac{1}{2}\overline{AB}-\frac{1}{4}\overline{AC}$ → sai.
d) $\overline{JB}=\overline{AB}-\overline{AJ}=\overline{AB}-\frac{1}{4}\overline{AC}$, nên $\overline{AC}\cdot \overline{JB}=\overline{AC}\cdot \overline{AB}-\frac{1}{4}|\overline{AC}{|}^2=-8\sqrt{2}-16$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{AB}\cdot \overline{AC}=2\cdot 8\cos 135^{\circ }=-8\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overline{AC}$ và $\overline{BA}$ bằng $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{IJ}=\frac{1}{4}\overline{AC}-\frac{1}{2}\overline{AB}$, dấu ngược với khẳng định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{AC}\cdot \overline{JB}=\overline{AC}\cdot \overline{AB}-\frac{1}{4}A{C}^2=-8\sqrt{2}-16$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực $\overrightarrow{f_1}$ (độ lớn $2\sqrt{2}N$, hợp với phương ngang góc $45^{\circ }$) và $\overrightarrow{f_2}$ (độ lớn $2N$ theo phương ngang) cùng xuất phát từ điểm $A$, tạo với nhau góc $45^{\circ }$ (theo hình vẽ). Lực tổng hợp là $\vec{F}=\overrightarrow{f_1}+\overrightarrow{f_2}$. Theo quy tắc hình bình hành:
$$F^2=f_1^2+f_2^2+2f_1{f}_2\cos 45^{\circ }=(2\sqrt{2}{)}^2+2^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8+4+8=20.$$
Vậy $F=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47N$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ (vì $I$ là trung điểm $BC$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Tương tự $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (vì $K$ là trung điểm $CD$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$). Cộng lại: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án A đúng; các phương án B, C, D đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(2;3),B(-1;7),C(-2;5)$: a) $\overrightarrow{AC}=(-2-2;5-3)=(-4;2)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{BC}=(-2+1;5-7)=(-1;-2)$ nên $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ và $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, do đó $|\overrightarrow{AC}|\ne |\overrightarrow{BC}|$ → Sai. c) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=(-4)(-1)+2(-2)=4-4=0$ → Đúng. d) Vì $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BC}$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002 (DSDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(-2-2;5-3)=(-4;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}=|\overrightarrow{BC}|$ với $\overrightarrow{BC}=(-1;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=(-4)(-1)+2(-2)=4-4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BC}$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

a. $$\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=-\frac{3}{7}$$

b. $P=m.g=50\sqrt{3}.10=500\sqrt{3}(N)$

$\left|\overrightarrow{F1}+\overrightarrow{F2}\right|=\left|\overrightarrow{F12}\right|=\left|\vec{P}\right|=2OH$

$\left|\vec{P}\right|=2OH=500\sqrt{3}\Rightarrow OH=250\sqrt{3}$

$OH=OA\frac{\sqrt{3}}{2}=\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}=250\sqrt{3}$

$\left|\overrightarrow{F1}\right|=500N$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-(-2);2-6)=(5;-4)$ nên ý a) Sai. $\overrightarrow{BC}=(-1-3;7-2)=(-4;5)$, do đó $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$ và $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$, nên $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}|$ → ý b) Đúng. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=5\cdot (-4)+(-4)\cdot 5=-40\ne 0$ → ý c) Sai. Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}\ne 0$ nên tam giác không vuông tại $B$ → ý d) Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-(-2);2-6)=(5;-4)\ne (-5;4)$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-4;5)$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{41}=|\overrightarrow{AB}|$ nên đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=5\cdot (-4)+(-4)\cdot 5=-40\ne 0$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-40\ne 0$ nên góc tại $B$ không vuông, tam giác $ABC$ không vuông tại $B$.

a. $\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=\frac{2}{3}$

b. $P=m.g=40\sqrt{3}.10=400\sqrt{3}(N)$
$$\left|\overrightarrow{F1}+\overrightarrow{F2}\right|=\left|\overrightarrow{F12}\right|=\left|\vec{P}\right|=2OH$$
$$\left|\vec{P}\right|=2OH=400\sqrt{3}\Rightarrow OH=200\sqrt{3}$$
$$OH=OA\frac{\sqrt{3}}{2}=\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}$$
$$\left|\overrightarrow{F1}\right|=400N$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A'(0;0;2), cạnh 2 cm.
a) $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$... cụ thể $\overrightarrow{CD}=(0;-2;0)=-\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=(2;2;0)\cdot (0;-2;0)=-4\ne 4$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AD}=(0;2;0)$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;2)$ vuông góc nhau nên tích vô hướng bằng 0 (một số vô hướng). Tuy nhiên phát biểu viết $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\vec{0}$ là sai về mặt ký hiệu/đối tượng vì tích vô hướng là số vô hướng, không thể bằng vectơ $\vec{0}$ → Sai (theo đáp án mã đề 0101: 2b là S).
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$ → Sai.
d) Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=(2;2;0)\cdot (0;-2;0)=-4\ne 4$, vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ tạo góc 135° với $\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ nên tích vô hướng bằng 0 (số vô hướng); phát biểu viết bằng $\vec{0}$ (vectơ) là sai. Khớp đáp án mã đề 0101: 2b = S.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình hộp cho ba vectơ đôi một vuông góc cùng xuất phát từ A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II): Tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2}$, $AC=6$, $\widehat{BAC}=45^{\circ }$, $D$ trung điểm $BC$, $E$ trên $AC$ với $AE=\frac{5}{6}AC$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ → Sai.
b) Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, không phải $\overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
d) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\cdot 24-32+30-24\right)=\frac{1}{2}(20-32+30-24)=-3\ne 0$ → Sai.
Kết quả Sai-Đúng-Sai-Sai khớp với bảng đáp án nguồn (SDSS, trang 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(20-32+30-24)=-3\ne 0$ nên $AD$ không vuông góc $BE$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-3)+1\cdot 1=-5$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{-5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ nên $\alpha =135^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (135).

Ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QD})+(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC})$
$=(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP})+(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PQ})+(\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{QC})$
$=\vec{0}+2\overrightarrow{PQ}+\vec{0}$
$=2\overrightarrow{PQ}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với 3 điểm $M,N,P$ không thẳng hàng, mỗi vectơ khác vectơ-không được xác định bởi một cặp điểm đầu - điểm cuối phân biệt. Số cặp chọn điểm đầu và điểm cuối từ 3 điểm là $A_3^2=3\times 2=6$: các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$. Vì 3 điểm không thẳng hàng nên không có vectơ nào trùng nhau. Vậy có 6 vectơ, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-1)=5$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (45).

Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{KB})+(\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{KC})$ [Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
$=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{DH})+(\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{HK})+(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC})$
$=\vec{0}+2\overrightarrow{HK}+\vec{0}$
$=2\overrightarrow{HK}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có góc $BAC=60^{\circ }$. Vectơ $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, nên góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $MNPQ$ (theo thứ tự đỉnh $M,N,P,Q$), hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm chung $O$. Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $N$: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{NO}$. Vì $O$ là trung điểm $NQ$ nên $2\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{NQ}$. Vậy $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NQ}$, tương ứng phương án D. Các phương án khác sai vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NQ}$ cho tổng theo đường chéo từ $N$ đến $P$ chỉ khi $MNPQ$ có thứ tự đỉnh khác; kiểm tra: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{NP}$ chỉ đúng nếu $MP$ và $NQ$... thực tế với thứ tự $M,N,P,Q$ thì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NQ}=2\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{NQ}\ne \overrightarrow{NP}$ (trừ trường hợp đặc biệt), nên A, B, C đều sai.