Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(4a;0)$, $D(0;3a)$, $C(2a;3a)$ (hình thang vuông tại $A$, $D$). $I$ trung điểm $AD$ nên $I\left(0;\frac{3a}{2}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(0;-\frac{3a}{2}\right)$, $\overrightarrow{IB}=\left(4a;-\frac{3a}{2}\right)$, $\overrightarrow{ID}=\left(0;\frac{3a}{2}\right)$.
$\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{ID}=-\frac{9a^2}{4}$; $\overrightarrow{IB}\cdot \overrightarrow{ID}=-\frac{9a^2}{4}$.
Vậy $\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\cdot \overrightarrow{ID}=-\frac{9a^2}{2}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 32: a) $\vec{a}.\vec{b}=2.3+5.(-7)=6-35=-29\ne 29$ → sai. b) $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-29}{\sqrt{29}\sqrt{58}}=\frac{-29}{\sqrt{1682}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ }\ne 15^{\circ }$ → sai. c) $\cos (\vec{a},\vec{c})=\frac{2.1+5.1}{\sqrt{29}\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{58}}\approx 0,91915$ nên $(\vec{a},\vec{c})\approx 23,1986^{\circ }$ → đúng. d) $\vec{d}=(4x+1;x+4)$, $\cos (\vec{d},\vec{c})=\frac{(4x+1)+(x+4)}{\sqrt{(4x+1{)}^2+(x+4{)}^2}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ suy ra $5x+5=\sqrt{17x^2+16x+17}$ (cần $x\ge -1$). Bình phương: $25(x+1{)}^2=17x^2+16x+17\iff 4x^2+17x+4=0\iff x=-\frac{1}{4}$ hoặc $x=-4$. Với $x=-4$ thì $5x+5=-15<0$ (loại vì cos phải dương), vậy $x=-\frac{1}{4}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}.\vec{b}=2.3+5.(-7)=-29\ne 29$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-29}{\sqrt{29.58}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $135^{\circ }$, không phải $15^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{c})=\frac{7}{\sqrt{58}}\approx 0,91915$ nên $(\vec{a},\vec{c})\approx 23,1986^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\cos (\vec{d},\vec{c})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ta được $5x+5=\sqrt{17x^2+16x+17}$, giải ra $x=-\frac{1}{4}$ hoặc $x=-4$; nghiệm $x=-4$ bị loại vì khi đó $\vec{d}.\vec{c}<0$ (góc $135^{\circ }$). Vậy $x=-\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ với $\vec{u}\perp \vec{v}$, $|\vec{u}|=|\vec{v}|=a$.

a) $E$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}=\vec{u}+\frac{3}{4}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{3}{4}\vec{v}$, khác $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{4}\overrightarrow{AD}$. Sai.

c) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{3}{4}\vec{v}\right)-\left(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\right)=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}{a}^2+\frac{3}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{a}^2\ne 0$ nên góc $A$ không vuông; $|AE{|}^2=\frac{5a^2}{4}\ne |AF{|}^2=\frac{5a^2}{8}$ nên tam giác $AEF$ không vuông cân. Sai.
a) E là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$, khác với $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{4}\overrightarrow{AD}$. Sai.
c) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)-\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$. Đúng.
d) $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}{a}^2+\frac{3}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{a}^2\ne 0$ nên góc $A$ không vuông; hơn nữa $|AE{|}^2=\frac{5a^2}{4}$ còn $|AF{|}^2=\frac{5a^2}{8}$, hai cạnh không bằng nhau → tam giác $AEF$ không vuông cân. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$ → sai. b) $D$ trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ → đúng. c) Định lí cosin: $B{C}^2=32+36-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=68-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → sai. d) $\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(24k-32+36k-24)=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$, phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $D$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, phát biểu đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B{C}^2=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$, phát biểu sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$, phát biểu đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh 2, góc $B=60^{\circ }$ nên góc $A=120^{\circ }$, góc $D=60^{\circ }$.

a) Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2$ và $\hat{B}=60^{\circ }$ nên đều, do đó $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, tức góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$. Đúng.

b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng $\hat{A}=120^{\circ }$, nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ (đối chiều với $\overrightarrow{AD}$) bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.

c) Góc $D=60^{\circ }$ nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DA}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2\ne 3$. Sai.

d) Tọa độ hóa: $A(0,0),B(2,0),C(1,\sqrt{3}),D(-1,\sqrt{3})$, tâm $O\left(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{OB}=\left(1.5,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{BA}=(-2,0)$, nên $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=1.5\cdot (-2)+0=-3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ với góc $B=60^{\circ }$ nên đều, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi có góc $B=60^{\circ }$ nên góc $D=60^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DA}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $A(0,0),B(2,0),C(1,\sqrt{3}),D(-1,\sqrt{3})$, $O(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})$: $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=1.5\cdot (-2)+0=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$, $BC=2a$ nên $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=30^{\circ }\ne 60^{\circ }$ ⇒ Sai.
b) $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$ nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos B=a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=a^2$ ⇒ Đúng.
c) Góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$ là $180^{\circ }-C=150^{\circ }$, nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3a^2\ne 3a^2$ ⇒ Sai.
d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$; $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=-3a^2$; $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ (vì $CA\perp AB$). Tổng $=-a^2-3a^2+0=-4a^2$ ⇒ Đúng.
Lưu ý: nguồn in nhãn mệnh đề thứ tư là 'b)' (lỗi đánh số gốc), thực chất là mệnh đề d).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot 2a\cdot \cos B=2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \cos (180^{\circ }-30^{\circ })=-3a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$, $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=-3a^2$, $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, tổng bằng $-4a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $M(0;0)$, $A(0;a)$, $B(-b;0)$, $C(b;0)$ (vì tam giác cân tại $A$ nên $AM\perp BC$). Hình chiếu $H$ của $M$ trên $AC$: đường $AC$ có vectơ chỉ phương $(b;-a)$, giải $(H-M)\cdot (b;-a)=0$ cho $H=A+t(b;-a)$ với $t=\frac{a^2}{a^2+b^2}$, suy ra $H=\left(\frac{a^{2}b}{d};\frac{a{b}^2}{d}\right)$ với $d=a^2+b^2$. Vì $E$ là trung điểm $MH$: $E=\left(\frac{a^{2}b}{2d};\frac{a{b}^2}{2d}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{a^{2}b}{2d};\frac{-a(2a^2+b^2)}{2d}\right)$ và $\overrightarrow{BH}=\left(\frac{b(2a^2+b^2)}{d};\frac{a{b}^2}{d}\right)$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BH}=\frac{a^2{b}^2(2a^2+b^2)}{2d^2}-\frac{a^2{b}^2(2a^2+b^2)}{2d^2}=0$.
Vậy $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BH}=0$, trùng với đáp số đã cho trong tài liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $H(0;0)$, $A(0;a)$, $B(-b;0)$, $C(b;0)$ (vì tam giác cân tại $A$ nên $AH\perp BC$ và $H$ là trung điểm $BC$). Đường thẳng $AC$ có vectơ chỉ phương $(b;-a)$. Gọi $D=A+t(b;-a)=(tb;a(1-t))$. Vì $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$ nên $\overrightarrow{HD}\cdot (b;-a)=0$: $$t{b}^2-a^2(1-t)=0\Rightarrow t(a^2+b^2)=a^2.$$ M là trung điểm $HD$ nên $M\left(\frac{tb}{2};\frac{a(1-t)}{2}\right)$. Khi đó: $$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{tb}{2};\frac{a(1-t)}{2}-a\right)=\left(\frac{tb}{2};-\frac{a(1+t)}{2}\right),$$ $$\overrightarrow{BD}=(tb+b;a(1-t))=(b(1+t);a(1-t)).$$ Suy ra: $$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{t{b}^2(1+t)}{2}-\frac{a^2(1+t)(1-t)}{2}=\frac{1+t}{2}[t{b}^2-a^2(1-t)]=\frac{1+t}{2}[t(a^2+b^2)-a^2]=0.$$ Kiểm tra bằng số cụ thể $a=3,b=4$: $t=\frac{9}{25}$, $D=\left(\frac{36}{25};\frac{48}{25}\right)$, $M=\left(\frac{18}{25};\frac{24}{25}\right)$, $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{18\cdot 136-51\cdot 48}{625}=0$. Vậy $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=0$, trùng với đáp số của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{A{B}^2}{4}=M{I}^2-\frac{a^2}{4}$. Điều kiện $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\frac{3a^2}{4}$ suy ra $M{I}^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow M{I}^2=a^2\Rightarrow MI=a$. Vậy tập hợp $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R=a=7$, khớp với đáp số 7 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $BD$. Ta chứng minh tứ giác $AHCD$ là hình bình hành: gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó $AM$ là trung tuyến và $AH\perp BC$ nên $\widehat{MAH}=90^{\circ }-\widehat{ABM}$... cách ngắn gọn hơn: đặt $O$ làm gốc, $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (tính chất trực tâm), mà $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$ nên $\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$, tức trung điểm của $HD$ trùng trung điểm của $AC$. Vậy $AHCD$ là hình bình hành. Suy ra $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$. Do đó khẳng định ở phương án B đúng. Phương án A sai vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CH}\ne \overrightarrow{HC}$. Phương án C sai vì $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CH}$. Phương án D sai vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, không thể có $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ (trừ khi $B$ trùng $O$, vô nghiệm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp làm gốc tọa độ, gọi $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ lần lượt là các vectơ vị trí của $A,B,C$. Khi đó $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$ và trực tâm $H$ có vectơ vị trí $\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$. Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $\vec{d}=-\vec{b}$.

Xét $\overrightarrow{HA}=\vec{a}-\vec{h}=\vec{a}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-(\vec{b}+\vec{c})$ và $\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}=-\vec{b}-\vec{c}=-(\vec{b}+\vec{c})$. Suy ra $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$.

Xét $\overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=-\vec{b}-\vec{a}=-(\vec{a}+\vec{b})$ và $\overrightarrow{HC}=\vec{c}-\vec{h}=\vec{c}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-(\vec{a}+\vec{b})$. Suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$.

Vậy $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$, đáp án đúng là C. Lưu ý $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ còn $\overrightarrow{OD}=\vec{d}=-\vec{b}$ nên $\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OD}$, do đó D sai; A sai vì $\overrightarrow{AD}=-(\vec{a}+\vec{b})\ne \overrightarrow{CH}=\vec{h}-\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$; B sai vì $\overrightarrow{DA}=\vec{a}+\vec{b}\ne \overrightarrow{HC}=-(\vec{a}+\vec{b})$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: A(0;0), B(2;0), C(0;2) thì D(1;0), E(1;1). Gọi M(x;y). Phương trình: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ tức $(A-M)+(C-B)-(M-B)-(B-A)=A-B$, suy ra $2A+C-2B-2M=A-B$, nên $2M=3A+C-2B$, tức $M=(0;1)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{MA}=(0;-1)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;2)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(2;0)$: tổng bằng $(-2;0)=\overrightarrow{BA}$ đúng. Xét các đáp án: $\overrightarrow{BD}=(-1;0)$, $\overrightarrow{CM}=(0;-1)$ → A sai; $\overrightarrow{AM}=(0;1)$, $\overrightarrow{ED}=(0;-1)$ → B sai; M không là trung điểm BC → C sai; $\overrightarrow{EM}=M-E=(-1;0)=\overrightarrow{BD}$ → D đúng. Cách vecto: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BE}$, nên $2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}$, suy ra $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BE}=\frac{\overrightarrow{CB}}{2}$, từ đó $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ các đỉnh lục giác đều bán kính 1: $A(1,0)$, $B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $C(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1,0)$, $E(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $F(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$, tâm $O(0,0)$. Khi đó $\overrightarrow{OC}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, có độ dài bằng cạnh lục giác. Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{ED}=D-E=(-1+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{OC}$. Lưu ý $\overrightarrow{DE}=E-D=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\overrightarrow{OC}$ nên không thỏa. Các cặp đỉnh khác cho vectơ khác hướng hoặc khác độ dài (chỉ các cạnh song song cùng chiều với $OC$ mới thỏa). Vậy có đúng 2 vectơ: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{ED}$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Xét từng khẳng định (đặt $AB=c,AC=b,BC=a$):
- A: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos B=c\cdot a\cdot \frac{c}{a}=c^2>0$, nên $0<c^2$ đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=|AC||CB|\cos C=b\cdot a\cdot \frac{b}{a}=b^2$; còn $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=-b^2$. Khi đó $b^2<-b^2$ là vô lý, khẳng định B luôn sai.
- C: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-c^2$ và $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=b^2>0$, nên $-c^2<b^2$ đúng.
- B là khẳng định sai (luôn sai với mọi tam giác vuông tại $A$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình vuông $ABCD$ tâm $O$ (thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều, kết quả không đổi).
- $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$: vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC})=0^{\circ }$.
- $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$: vì $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$... thực tế $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$, còn $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}$, hai vecto cùng phương ngược chiều nên góc bằng $180^{\circ }$? Kiểm tra lại: $\overrightarrow{CB}$ đi từ $C$ đến $B$, tức hướng ngược với $\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, còn $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$). Vậy $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }$.
- $\overrightarrow{CO}$ và $\overrightarrow{DC}$: $\overrightarrow{DC}$ hướng từ $D$ xuống $C$; $\overrightarrow{CO}$ hướng từ $C$ vào tâm $O$, tạo với $\overrightarrow{DC}$ một góc $45^{\circ }$ (vì $CO$ nằm trên đường chéo $CA$, tạo với cạnh $CD$ góc $45^{\circ }$, và $\overrightarrow{CO}$ cùng phía với hướng xuống của $\overrightarrow{DC}$).
Tổng: $0^{\circ }+180^{\circ }+45^{\circ }=225^{\circ }$.
Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{u}$. Với $M$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$. Với $N$ là trung điểm $AB$: $\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}=-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{DN}=\left(\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)\cdot \left(-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)=-{\vec{v}}^2+\frac{1}{4}{\vec{u}}^2=\frac{1}{4}A{B}^2-A{D}^2$ (các số hạng chéo triệt tiêu vì $\vec{u}\cdot \vec{v}-\vec{u}\cdot \vec{v}=0$). Vậy đáp án A.