Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Một đội khảo sát đang sử dụng hai phương tiện giám sát trên không:
- Flycam $A$ đang bay ở vị trí $A(1;-3;4)$.
- Flycam $B$ đang bay ở vị trí $B(-2;1;2)$.
Trên mặt đất bằng phẳng (mặt phẳng $(Oxy)$), có hai robot cảm biến mặt đất $M$ và $N$ di chuyển để thu tín hiệu từ hai thiết bị trên. Hai robot $M$ và $N$ luôn giữ khoảng cách $2$ mét với nhau để duy trì mạng lưới truyền thông nội bộ. Robot $M$ nhận dữ liệu từ Flycam $A$, còn robot $N$ nhận tín hiệu từ Flycam $B$. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất từ các robot đến thiết bị tương ứng (tức là $AM+BN$ nhỏ nhất), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $3$ điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A(2;3;-1),B(0;4;2),C(1;2;-1),D(7;2;1)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=4|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+6|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;10)$ và $B\left(3;4;\frac{19}{2}\right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng $20$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;-1;2),B(2;-1;4)$ và mặt phẳng $(P):z-1=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất. Tính $T=2a-3b+c$.

Trong không gian Oxyz , cho các điểm A (1;1;1) , B (-1;2; 0) , C (3; -1;2) và mặt phẳng
(α) : 2x - y + 2z + 7 = 0 . Điểm M chạy tùy ý trên (α) . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  
3MA + 5MB - 7MC . Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;3;-2)$, $B(1;4;3)$, $C(-2;5;2)$ và $D(-1;-1;8)$. Điểm $M$ di động trên trục $Oy$. Gọi $P=2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+3|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}|$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;0;0)$, $B(1;2;3)$. Gọi $M$ là một điểm đi động thỏa mãn $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{\sqrt{3}OM\cdot OA}{2}$ và $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}=0$. Gọi $p,q$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $BM$. Giá trị $p^2+q^2$ bằng

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  4;0;0  , B  8;0;6  . Xét điểm M thay đổi sao cho
khoảng cách từ A đến đường thẳng OM bằng 2 và diện tích tam giác OAM không lớn hơn 6 .
Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

 13  7   13 

Một cuộc diễn tập phòng không được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ với 1 đơn vị độ dài trên các trục tính bằng 1 km trên thực tế. Một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$ và tên lửa bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 600 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 1080 km/h và bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(-3;4;0)$. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $A(6;-20;1)$ thì tên lửa khai hỏa, rời bệ phóng và sau đó bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người bị bắn hạ bằng bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m}$, $B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến.

Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi, khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu $\text{m}$? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, một vật được treo bằng ba sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A(-2;-1;0)$, $B(2;-1;0)$, $C(0;4;0)$, còn đầu kia được gắn với vật tại điểm $D(0;0;-4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 15 N. Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật bằng bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$. Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật $PEHQ$ và $PFGQ$, biết tam giác $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của cạnh $DC$. Các kích thước của nhà lần lượt là $AB=6\text{m},AE=5\text{m},AD=8\text{m},QT=7\text{m}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{m}$ và các trục tọa độ tương ứng là các trục $Ox,Oy,Oz$.



Khi đó:

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình lập phương $OBCD.O^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $12$ sao cho điểm $D$ thuộc tia $Ox$, điểm $B$ thuộc tia $Oy$, và điểm $O^{\prime }$ thuộc tia $Oz$. Điểm $M$ thuộc cạnh $O^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $O^{\prime }{B}^{\prime }=3O^{\prime }M$. Một con kiến bò từ vị trí $M$ qua sáu mặt của hình lập phương đã cho rồi quay lại vị trí điểm $M$ sao cho quãng đường đi được của con kiến là ngắn nhất. Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương?

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-1;2)$, $B(-1;1;1)$, $C(-3;-3;4)$, $D\left(1;\frac{1}{2};1\right)$. Điểm $M$ thay đổi trên $\text{mp}(Oxy)$. Khi biểu thức $T=-3{\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2-2{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2+{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị lớn nhất thì hoành độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$ và $|i\bar{w}|=1$. Khi $|iz+w+3-4i|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $|z-w|$ bằng

Trong không gian Oxyz , cho các điểm
(
)
(
)
(
)
6 2
1
2
6 3
2
2 1
-
-
-
-
; ;
,
;
;
,
;
;
A
B
C
. Hai điểm
,
M N
thay đổi sao cho
5
=
=
,
MN
MC
NC đông thời tam giác MAB vuông tại M . Giá trị lớn nhất của
biểu thức
2
2
2
-
OM
ON gần nhất với số nào trong các số sau

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=2$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(10;0;0)$ và $B(6;8;0)$. Gọi $C$ là một điểm thay đổi trên trục $Oz$ và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Biết rằng $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng

Cho số phức z thay đổi thoả mãn z = z - 4 - 4i . Gọi S là tập hợp các số phức w = . Biết
z2
w1 + w2
rằng w1 , w2 là hai số thuộc S sao cho w1 - w2 = 2 , khi đó mô đun của số phức - 3 - 4i đạt giá trị
2
lớn nhất bằng