Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Câu 1. Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$, $\widehat{BCD}=\widehat{A^{\prime }{D}^{\prime }D}=\widehat{B{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=60^{\circ }$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }D$ và $C{D}^{\prime }$ bằng $\frac{a\sqrt{m}}{n}$. Tính giá trị biểu thức $m^2+n^2$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu của sân bay đặt tại điểm $O(0;0;0)$, đơn vị độ dài trên mỗi trục ứng với $1$ km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu $417$ km sẽ hiển thị trên màn hình radar. Một máy bay đang ở vị trí $M(-779;-260;8)$ chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi theo hướng của vectơ $\vec{u}=(91;75;0)$.

Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng $\text{km}$), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch $B$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\\ z=0\end{array}$. Tàu chở hàng $C$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2:\{\begin{array}{l}x=2-s\\ y=9+s\\ z=0\end{array}$. Do thời tiết xấu, nên hai tàu $B$ và $C$ gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ $A$ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch $B$ trước, sau đó đến tàu chở hàng $C$. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch $B$ dừng lại và tàu chở hàng $C$ dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $P=AB+BC+CA$ là nhỏ nhất. Khi đó $P_{\min }=\sqrt{a}\text{ (km)}$, hãy tính $a+2025$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với $10\text{ km}$, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là $750\text{ km/h}$. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_2=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là $900\text{ km/h}$. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động là $50\text{ km}$. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ ($42\times 42\text{ cm}$) trong không gian $Oxyz$ (giả sử $\vec{i}=\vec{j}=\vec{k}=1\text{ cm}$). Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là $100\text{ m}$, trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d^{\prime }$ lần lượt có phương trình $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2\\ z=4\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$. Để bắn trúng hồng tâm (thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d^{\prime }$ và cách giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ một khoảng $6\text{ cm}$. Khi $c<0$, tính giá trị biểu thức $2a-b+3c$.

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $1$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;60;150)$ và $X(100;-40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30;-20)$ nằm dưới một cái hồ tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $10\text{ m}$ độ dài, mặt phẳng $(Oxy)$ được coi là mặt nước biển (trong một phạm vi đủ nhỏ), đường đi của một tàu ngầm KILO 636 nằm trên đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-20\end{array}$. Khi tàu đậu ở vị trí điểm $A(-34;-68;-20)$ hệ thống định vị của tàu phát hiện phía trước có một khu vực nguy hiểm với trung tâm là điểm $C(6;12;-30)$ phạm vi ảnh hưởng tương đương một khối cầu tâm $C$, bán kính $R=12$ (giả thiết từ bề mặt của khối cầu trở ra phía ngoài khối cầu đó là vùng an toàn). Để tránh nguy hiểm mà không thay đổi độ sâu so với mặt nước biển và không muốn phải quay đầu, chỉ huy quyết định ngay tại vị trí $A$, tàu đổi hướng di chuyển mới theo đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ tạo với đường thẳng $\Delta$ một góc $\alpha$. Tính giá trị nhỏ nhất của góc $\alpha$ để tàu được an toàn (kết quả tính bằng độ, làm tròn đến hàng phần trăm).

Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su-30 và MiG-31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo mỗi trục là $1\text{ km}$ và xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su-30 ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900\text{ (km/h)}$ và máy bay chiến đấu MiG-31 ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910\text{ (km/h)}$. Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc $80\text{ (km/h)}$ theo hướng vectơ $\vec{u}=(-3;0;4)$, gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay. Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại $C(178;430;0)$, bán kính đáy $7\text{ km}$, trục vuông góc với mặt đất và chiều cao $43\text{ km}$. Máy bay MiG-31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách giữa hai máy bay chiến đấu là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-1+2t\\ z=2t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{-2}$.

RLK-MTs Valdai, hệ thống radar chuyên dụng của Nga dùng để phát hiện, ngăn chặn và vô hiệu hóa các máy bay không người lái nhỏ. Nó được thiết kế để phát hiện máy bay không người lái của đối phương ở khoảng cách lên đến 15km và hạ gục chúng bằng các biện pháp đối phó điện tử (sử dụng module triệt tiêu tín hiệu điều khiển và điều hướng) ở cự ly từ 2 km trở xuống. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một cơ sở quân sự có một nhà kho chứa vũ khí bí mật đặt tại điểm $A(2;0;0)$ và sử dụng một hệ thống RLK-MTs Valdai đặt tại điểm $T(-300;-500;0)$ để bảo vệ. Một máy bay không người lái (drone) của quân địch đang ở tại điểm $B(5002;3000;4000)$, được điều khiển tiến thẳng đến vị trí điểm $A$ và sẽ phát nổ tại $A$ nếu không bị ngăn cản.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và có $AB=A{A}^{\prime }=2$. Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $CE$ và $A^{\prime }B$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-5}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}$, $d^{\prime }:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-1}$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$.

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình vẽ).

Tính khoảng cách ngắn nhất (km) giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.

Câu 4. Trong công trường có một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, đơn vị dm sao cho $O\equiv C^{\prime }$, đồng thời: Tia $Ox$ trùng với tia $C^{\prime }{D}^{\prime }$; Tia $Oy$ trùng với tia $C^{\prime }{B}^{\prime }$; Tia $Oz$ trùng với tia $C^{\prime }C$. Biết $AB=10\text{ dm}$, $AD=5\text{ dm}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ dm}$. Một con kiến đi thẳng đều từ $B$ đến $C^{\prime }$ với tốc độ $1\text{ dm/s}$; đồng thời một con bọ đi thẳng đều từ $D$ đến $B^{\prime }$ với tốc độ $1\text{ dm/s}$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai con vật bằng bao nhiêu dm (làm tròn đến hàng phần trăm của dm)?