Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(5;8;3)$, $Q(-2;-1;-4)$ và hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3\\ z=3\end{array}$; ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=3\\ z=-t^{\prime }\end{array}$. Biết điểm $N$ di động trên đường thẳng ${\Delta }_1$ và điểm $P$ di động trên đường thẳng ${\Delta }_2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=MN+NP+PQ$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{rl}x& =1+t\\ y& =-1-t\\ z& =2\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$. Đường vuông góc chung của $d_1,d_2$ đi qua điểm nào?

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau d1 : = = và d 2 :  y = 1 + t .
1 2 −1  z = 2t

Gọi  là đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d1 và d 2 . Khi đó, giao điểm của  và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y − z − 10 = 0 có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y+z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1}$. Biết rằng trong mặt phẳng $(P)$ có hai đường thẳng $d_1,d_2$ cùng đi qua điểm $A(3;-1;0)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $3$. Tính $\sin \phi$ với $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-20\\ y=2\\ z=t\end{array},d_2:\{\begin{array}{l}x=m^2\\ y=m+2\\ z=1-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và điểm $K(8;-1;0)$. Biết rằng tồn tại đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K$ vuông góc với $2$ đường $d_1,d_2$, đồng thời thỏa mãn $d(d_1;\Delta )=d(d_2;\Delta )=d(Oz;\Delta )$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của $m$ thỏa mãn

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;0;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ cắt và vuông góc với $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}(a;b;4)$. Giá trị biểu thức $S=a+b$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-m}{-1}=\frac{z-3}{2},d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{2m+3}$, ở đó $m\ne -\frac{3}{2}$ là tham số. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_2$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{-5}$ và $d^{\prime }:\frac{x+1}{-3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-1}{5}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\prime }\\ y=-1+2t^{\prime }\\ z=2-2t^{\prime }\end{array}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2$, $BC=3$ và $C{C}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $IG$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $A{A}^{\prime }=2,AB=1,AC=2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MB$ và $AN$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ =có AB 2=a, AD 3a và AA′ = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B′D′ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-2}$, $d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+4}{-1}$, $d_3:\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{6}$. Đường thẳng song song với $d_3$, cắt $d_1$ và $d_2$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;1) , B (1; −3; −5) , C (3; −4; −3) và mặt phẳng ( P) : 2 x − y + 2 z + 5 =0 . Xét các đường thẳng ∆ qua A và tạo với đường thẳng BC một góc 45° . Gọi M là giao điểm của ∆ với ( P) . Khi BM lớn nhất, ∆ có một vectơ chỉ  phương là u∆ = (1; a; b ) . Giá trị của a 2 + b 2 bằng

Câu 2. Để bắc các cột kèo thuận tiện, người ta thiết lập một hệ trục $Oxyz$ hợp lý, đơn vị trên mỗi trục là một mét. Trong hệ toạ độ đó, từ điểm $M(3;-4;-5)$ người ta nhận thấy có thể bắc được thanh xà thẳng nối các cột nằm trên các đường thẳng $d_1:\frac{x+4}{-5}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{3}$ và $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+5}{-2}$. Khi đó đoạn thanh xà nối hai cột có độ dài bằng bao nhiêu mét? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;3;-2)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $2$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A(1;2;3),B(-2;1;1)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $\Delta$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất. Phương trình tham số là

Câu 3. Trạm kiểm soát không lưu của một sân bay đang theo dõi hai chuyến bay thương mại thông qua hệ thống radar. Xét trong không gian tọa độ $Oxyz$ (mặt phẳng $Oxy$ biểu diễn mặt đất, chiều dương trục $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên các trục tính bằng km), tại thời điểm hệ thống bắt đầu theo dõi:
Máy bay thứ nhất đang ở vị trí $A_0(0;0;10)$ và di chuyển thẳng đều với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(15;0;0)$.
Máy bay thứ hai đang ở vị trí $B_0(10;-5;10)$ và di chuyển thẳng đều với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(13;5;0)$.
Biết vận tốc của hai máy bay tính bằng km/phút và trong khoảng thời gian theo dõi, hai máy bay đều giữ nguyên hướng và tốc độ bay. Giả sử quy định an toàn hàng không yêu cầu phải luôn duy trì khoảng cách giữa hai máy bay tối thiểu là $10\text{ km}$. Hệ thống cảnh báo va chạm tự động (TCAS) của trạm sẽ kích hoạt còi báo động ngay khi khoảng cách giữa hai máy bay chạm mốc vi phạm này. Hỏi kể từ lúc bắt đầu theo dõi ($t=0$), sau bao nhiêu giây thì còi báo động tại trạm kiểm soát không lưu bắt đầu kêu? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*

Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=8+t\\ y=5+2t\\ z=8-t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\text{ m}$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000\text{ km}$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ NASA đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $4600\text{ km}$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1000\text{ km}$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ $v_1=2\sqrt{2}\cdot 10^3\text{ km/h}$ không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm $M(0;5;12)$ đến $N(12;5;0)$.