Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Trong căn phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng $5\text{ m}$, chiều cao của phòng là $6\text{ m}$, có hai con nhện đang di chuyển trên 2 dây tơ khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng thì con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$, còn con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con nhện bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $A(-1;4;4)$, $B(-4;6;5)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$.

Trong không gian $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là km, một con tàu vũ trụ bay theo đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(1;-3;4)$ với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(2;-1;3)$ km/s. Một tiểu hành tinh bay theo đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $B(3;-4;5)$ với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(1;2;-1)$ km/s. Chọn mốc thời gian $t=0$ (giây) khi tàu vũ trụ ở vị trí $A$ và tiểu hành tinh ở vị trí $B$.

Câu 4. Bay Flycam trái phép là hành vi tiềm ẩn nguy cơ uy hiếp trực tiếp an toàn hàng không, lĩnh vực liên quan tới tính mạng của hàng trăm hành khách trên mỗi chuyến bay. Một cảng hàng không quốc tế thiết lập hệ thống radar giám sát được đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: $1\text{ km}$, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất). Tại thời điểm $t=0$, radar quét được tín hiệu một flycam xâm nhập tại điểm $A(4;2;2)$ và đang bay theo đường thẳng với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1(-1;0;0)$ (đơn vị: km/phút). Cùng lúc đó, một máy bay chở khách A321 đang chờ lệnh cất cánh tại điểm $B(0;-2;0)$. Nếu được cấp phép, quỹ đạo cất cánh dự kiến của máy bay là một đường thẳng với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2(0;4;3)$ (đơn vị: km/phút). Kiểm soát viên không lưu không được phép cấp lệnh cất cánh cho máy bay thương mại nếu hệ thống dự báo có bất kì thời điểm nào khoảng cách giữa máy bay và vật thể lạ nhỏ hơn $5\text{ km}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên bằng $4\sqrt{2}$ và đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, có $AC=4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}^{\prime }$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C^{\prime }M$ và $AB$ (không làm tròn ở các bước trung gian).

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, biết $AB=2$, $AD=CD=1$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $AH=2HD$, biết $SH=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét đường thẳng $(\Delta )$ đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z-3=0$. Khi $(\Delta )$ tạo với đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}$ một góc nhỏ nhất thì đường thẳng $(\Delta )$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(5;b;c)$. Giá trị của $b+c$ bằng bao nhiêu?

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(-1;4;4)$, $B(-4;6;5)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$. Một điểm $C$ thay đổi trên $d$ có giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{a}$. Giá trị $\frac{a}{6}$ bằng bao nhiêu?

Câu 6. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=16\end{array}$ ($t$ là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm $A(12;10;15)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$) đến đường ống này. Dựa vào kinh nghiệm của mình, họ phải chọn vị trí $B$ thuộc đường ống và vị trí $C$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường $AB+BC+AC$ là bé nhất, tìm giá trị bé nhất đó theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười.

Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=4,A^{\prime }{B}^{\prime }=2$ và chiều cao $h=2$. Cô-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $AB=8,A^{\prime }{B}^{\prime }=4$ và $A{A}^{\prime }=5$. Hỏi khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 4. Xét trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc toạ độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $M(-500;-300;500)$ và $N(-200;-200;450)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, toạ độ của máy bay là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2$, góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $OB$ và $SH=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-4t\\ z=-1\end{array}$ (với $t\in \mathbb{R}$ là tham số). Góc giữa $\Delta$ và đường thẳng $Oy$ bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và $d^{\prime }:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{1}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d,d^{\prime }$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai tuyến cáp ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ được lắp đặt theo các hướng khác nhau trong không gian, có phương trình lần lượt là: ${\Delta }_1:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2},{\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{1}$. Một mặt phẳng $(P):2x+y-2z+3=0$ biểu diễn mặt bằng thi công. Một kỹ sư cần thiết kế một đoạn ống nối $d$ (là đoạn thẳng) sao cho $d$ song song với $(P)$ và cắt ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ lần lượt tại $A,B$, đồng thời $AB$ là ngắn nhất (để tiết kiệm chi phí vật liệu và giảm hao phí tín hiệu). Tính độ dài đoạn $AB$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-9}{-1}$, $d_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+5}{1}$. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta$ tại $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$. Biết $AB=12;A{A}^{\prime }=24$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$?

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3},{\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{3}$. Xét $2$ vectơ ${\vec{u}}_1=(-2;1;3)$ và ${\vec{u}}_2=(1;-1;3)$.