Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai vì hai đường thẳng trùng nhau (theo đáp án chính thức Trang 11, Mã đề 2101).

Hình chiếu vuông góc của $O(0;0;0)$ lên đường thẳng $AB$ là $M\left(\frac{700}{19};-\frac{3050}{19};\frac{1150}{19}\right)\Rightarrow 57a+19b+19c=2100-3050+1150=200$ (theo đáp án chính thức Trang 12, Mã đề 2101).

Ta có ${\vec{u}}_1=(1;-1;2)$ và ${\vec{u}}_2=(-2;2;2)\Rightarrow {\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=-2-2+4=0\Rightarrow (d_1,d_2)=90^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề B).

Ta có ${\vec{u}}_1=(-2;1;-1)$ và ${\vec{u}}_2=(-4;-4;-1)\Rightarrow \cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|8-4+1|}{\sqrt{6}\sqrt{33}}=\frac{5}{3\sqrt{22}}\Rightarrow ({\Delta }_1,{\Delta }_2)\approx 69,19^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề A).

Khoảng cách từ $O$ đến $d$ là $d(O,d)=\sqrt{\frac{(-60000{)}^2}{100^2+80^2}+10^2}=\sqrt{\frac{900000}{41}+100}$. Độ dài quãng đường máy bay nhận được tín hiệu là $2\sqrt{600^2-d(O,d{)}^2}\approx 749\text{ km}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề A).

Dựng hệ trục tọa độ $Axyz$. Đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AB=2a$, do đó tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với $AC=a\sqrt{3},BC=a$. Tọa độ các đỉnh: $A(0;0;0),B(2a;0;0),C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right),S(0;0;3a)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AC$ và $SB$ theo công thức $d=\frac{|[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SB}]\cdot \overrightarrow{AS}|}{|[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SB}]|}=\frac{3a\sqrt{10}}{10}$.


Chọn B.

Ta có ${\vec{u}}_d=(1;0;1)$ và ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;2;1)\Rightarrow \cos (d,\Delta )=\frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow (d,\Delta )\approx 54,7^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

Khoảng cách ngắn nhất từ $O(0;0;0)$ đến đường thẳng $d$ qua $A(-688;-185;8)$ có VTCP $\vec{u}=(91;75;0)$ là $d(O,d)=\sqrt{\frac{(-688\cdot 75+185\cdot 91{)}^2}{91^2+75^2}+8^2}\approx 295\text{ km}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Ta có ${\vec{u}}_d=(1;1;0)$ và ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;2;1)\Rightarrow \cos (d,\Delta )=\frac{4}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow (d,\Delta )\approx 19,5^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $A(0;0;0)$, trục $Ox$ chứa $AB$, $Oy$ chứa $AC$, $Oz$ chứa $A{A}^{\prime }$.
Khi đó: $A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), B'(a; 0; a\sqrt

}}

$. Chọn D.

Hai vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(2;3;1)$ và ${\vec{u}}_2=(4;6;2)$ cùng phương, đồng thời điểm $M(-1;-2;0)\in d_1$ không thuộc $d_2$, nên $d_1//d_2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua $M(1;-1;0)$ có VTCP ${\vec{u}}_1=(2;2;3)$.
Đường thẳng ${\Delta }_2$ đi qua $N(3;3;-2)$ có VTCP ${\vec{u}}_2=(-1;-2;1)$.
Ta có $\frac{2}{-1}\ne \frac{2}{-2}$ nên ${\vec{u}}_1$ và ${\vec{u}}_2$ không cùng phương.
Xét vectơ $\overrightarrow{MN}=(2;4;-2)$.
Tích có hướng $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(2(1)-3(-2);3(-1)-2(1);2(-2)-2(-1))=(8;-5;-2)$.
Tích hỗn tạp: $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]\cdot \overrightarrow{MN}=8(2)+(-5)(4)+(-2)(-2)=16-20+4=0$.
Suy ra hai đường thẳng đồng phẳng. Vì chúng không cùng phương nên ${\Delta }_1$ cắt ${\Delta }_2$.

**Chọn C**

N

M
P

Điểm N a; b; c  thuộc đường thẳng  và độ dài MN nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu
vuông góc của M lên đường thẳng  .

Gọi mặt phẳng P  đi qua M và vuông góc với  nên nhận vectơ n  2;1; -1 làm vectơ
pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng P  là 2 x - 2  1 y  2 - 1 z - 5  0
 2x  y - z  3  0 .

x  1  2t



Phương trình tham số của đường thẳng  là y  -2  t



z  -t

1
Tọa độ N    P  nên suy ra 2 1  2t   -2  t  - -t   3  0  t  -
2
 5 1
Tọa độ N 0; - ;  .
 2 2 
5 1  5 1
Vậy a  0; b  - ; c   a  b  c  0  -    -2
2 2  2  2

( )

Ta có ${\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=1+1-2=0$, nên góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ có cùng VTCP $(1;2;-1)$ và đi qua $(0;0;1)\notin d$ nên song song với $d$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-2}$ có VTCP $(-2;1;-2)$ cùng phương với $(2;-1;2)$ và điểm $(2;0;1)\notin d$ nên $\Delta \parallel d$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Ta có ${\vec{u}}_1=(1;-1;2),{\vec{u}}_2=(-1;1;1)\Rightarrow {\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=-1-1+2=0$, nên góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Côsin góc giữa hai đường thẳng bằng $\frac{|\vec{u}\cdot {\vec{u}}^{\prime }|}{|\vec{u}|\cdot |{\vec{u}}^{\prime }|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).