Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên từ 12 viên: $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=495$. Gọi $(d;v;x)$ là số bi đỏ, vàng, xanh với $d+v+x=4$, $d>v$, $x\ge 1$. Các trường hợp thỏa mãn:
- $(1;0;3)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=5\cdot 4=20$.
- $(2;0;2)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=10\cdot 6=60$.
- $(2;1;1)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=10\cdot 3\cdot 4=120$.
- $(3;0;1)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=10\cdot 4=40$.

(Trường hợp $(3;1;0)$, $(4;0;0)$ bị loại vì không có bi xanh.)

Tổng trường hợp thuận lợi: $20+60+120+40=240$.

Vậy $P=\frac{240}{495}=\frac{16}{33}\approx 0,4848$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 42 học sinh, nên $n(\Omega )=C_{42}^4=\frac{42\cdot 41\cdot 40\cdot 39}{4!}=111930$. Biến cố $A$: '4 học sinh được chọn đến từ cả 4 tổ' nghĩa là mỗi tổ đúng 1 học sinh. Số cách chọn: $n(A)=C_{10}^1\cdot C_9^1\cdot C_{11}^1\cdot C_{12}^1=10\cdot 9\cdot 11\cdot 12=11880$. Vậy $P(A)=\frac{11880}{111930}=\frac{396}{3731}\approx 0,1061$.

(AI giải đề cho tôi)
An chọn 2 trong 8 viên: $C_8^2=28$ cách. Bình chọn 2 trong 12 viên: $C_{12}^2=66$ cách. Không gian mẫu: $28\cdot 66=1848$. Để cả 4 viên cùng màu, màu chung của hai người chỉ có đỏ và xanh (Bình có thêm vàng nhưng An không có).
- Cả 4 viên đỏ: $C_3^2\cdot C_4^2=3\cdot 6=18$ cách.
- Cả 4 viên xanh: $C_5^2\cdot C_5^2=10\cdot 10=100$ cách.
Số cách thuận lợi: $18+100=118$. Xác suất $P=\frac{118}{1848}=\frac{59}{924}$ (tối giản vì 59 nguyên tố, không chia hết 924). Vậy $a+b=59+924=983$, khớp đáp số nguồn.

Ta có: $n(\Omega )=C_{13}^3=286$. Gọi biến cố $A$: “3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12”. Gọi biến cố $B$: “chọn một học sinh khối 11; một học sinh nam khối 12 và một học sinh nữ khối 12”, suy ra số phần tử của biến cố $B:n(B)=C_2^1{C}_8^1{C}_3^1=48\Rightarrow P(B)=\frac{24}{143}$. Gọi biến cố $C$: “chọn một học sinh khối 11 và hai học sinh nữ khối 12”, suy ra số phần tử của biến cố $C:n(C)=C_2^1{C}_3^2=6\Rightarrow P(C)=\frac{3}{143}$. Gọi biến cố $D$: “chọn hai học sinh khối 11; một học sinh nữ khối 12”, suy ra số phần tử của biến cố $D:n(D)=C_2^2{C}_3^1=\frac{3}{286}$. Ta có $B,C,D$ là các biến cố xung khắc và $A=B\cup C\cup D$. Vậy $P(A)=P(B)+P(C)+P(D)=\frac{57}{286}\approx 0.2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số phần tử của A: chữ số đầu có 9 cách (1–9), 8 chữ số còn lại chọn từ 9 chữ số còn lại: n(A)=9·A_9^8=9·362880=3265920.
a) n(M)=9A_9^8 → ĐÚNG.
b) Số lẻ: chữ số cuối lẻ (5 cách), chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối (8 cách), 7 chữ số giữa từ 8 chữ số còn lại: n(N)=5·8·A_8^7=1612800, P(N)=1612800/3265920≈0,4938≠0,34 → SAI.
c) Số chẵn: nếu tận cùng 0: 9·A_8^7=362880; nếu tận cùng ∈{2,4,6,8}: 4·8·A_8^7=1290240; tổng 1653120, P(P)≈0,5062≠0,45 → SAI.
d) Chọn 9 chữ số từ 0–9 (loại 1 chữ số), tổng 0..9=45≡0 (mod 3) nên tổng các chữ số chia hết cho 3 ⟺ chữ số bị loại ∈{0,3,6,9}. Nếu loại 0: 9!=362880 số; nếu loại 3,6,9: mỗi trường hợp 8·8!=322560 số, tổng 967680. n(Q)=1330560, P(Q)=1330560/3265920≈0,4074∈[0,4;0,5) → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số có 9 chữ số đôi một khác nhau: chữ số đầu 9 cách, 8 chữ số sau chọn từ 9 chữ số còn lại: n(M)=9A_9^8=3265920. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
n(N)=5·8·A_8^7=1612800 nên P(N)=1612800/3265920≈0,4938≠0,34. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n(P)=9·A_8^7+4·8·A_8^7=1653120 nên P(P)≈0,5062≠0,45. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 0+1+...+9=45 chia hết cho 3, nên tổng 9 chữ số được chọn chia hết cho 3 khi chữ số bị loại thuộc {0,3,6,9}. n(Q)=9!+3·(8·8!)=1330560, P(Q)≈0,4074 nằm trong [0,4;0,5). Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh (6 nữ, 4 nam) thành hàng ngang: có $10!$ cách. Xếp 6 bạn nữ trước: $6!$ cách, tạo thành 7 khoảng trống (trước, giữa và sau các bạn nữ). Muốn giữa hai bạn nam liên tiếp (liên tiếp trong thứ tự các bạn nam) có đúng hai bạn nữ thì khoảng cách giữa các khoảng trống chứa nam phải cách nhau đúng 2 khoảng, tức 4 bạn nam phải nằm ở các khoảng thứ 1, 3, 5, 7 (cách duy nhất), khi đó giữa hai nam liên tiếp luôn có đúng 2 nữ. Sắp 4 nam vào 4 khoảng đó: $4!$ cách. Số cách thuận lợi: $6!\cdot 4!=17280$. Vậy $P=\frac{6!\cdot 4!}{10!}=\frac{1}{210}=\frac{a}{b}$ với $a=1$, $b=210$ (tối giản). Suy ra $a+b=211$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 20 số nguyên dương đầu tiên có 10 số chẵn và 10 số lẻ. Xác suất để 3 số được chọn đều lẻ là $\frac{C_{10}^3}{C_{20}^3}=\frac{120}{1140}=\frac{2}{19}$. Vậy xác suất có ít nhất 1 số chẵn là $P=1-\frac{2}{19}=\frac{17}{19}$, với $a=17$, $b=19$ đều là số nguyên tố. Tích $ab=17\cdot 19=323$, khớp với đáp án nguồn.

a) Số hạng tổng quát của khai triển là: $C_3^k{\left(x^2\right)}^{3-k}.{\left(\frac{2}{x}\right)}^k=C_3^k.2^k.x^{6-3k}$
Để có số hạng không chứa x thì $6-3k=3\iff k=1$
Vậy số hạng không chứa x là $C_3^1.2=6$

b) Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{12}^4=495$.
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc cả ba khối là: $C_5^2.C_4^1.C_3^1+C_5^1.C_4^2.C_3^1+C_5^1.C_4^1.C_3^2=270$
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là $C_{12}^4-270=225$.
Xác suất để chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là $P=\frac{225}{495}=\frac{5}{11}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 chữ số từ A={1;2;3;4;5;6} và xếp theo thứ tự là $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$ (các số lập thành đều có 3 chữ số khác nhau).
a) Số chẵn: chữ số tận cùng là 2;4;6 (3 cách), hai chữ số còn lại: $5\cdot 4=20$ cách → 60 số. Xác suất $=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$ → Đúng.
b) Số lẻ: chữ số tận cùng là 1;3;5 → cũng 60 số, xác suất $=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{4}$ → Sai.
c) Chia hết cho 5: tận cùng là 5 (1 cách), hai chữ số đầu: $5\cdot 4=20$ → 20 số. Xác suất $=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$ → Đúng.
d) Chia hết cho 3: xét phần dư mod 3: nhóm 0: {3;6}, nhóm 1: {1;4}, nhóm 2: {2;5}. Ba số cùng nhóm không đủ phần tử, nên chỉ chọn 1 số từ mỗi nhóm: $2\cdot 2\cdot 2=8$ bộ, mỗi bộ có $3!=6$ cách xếp → 48 số. Xác suất $=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng chẵn: 3·5·4=60 số trên tổng 120 số, xác suất 1/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng lẻ: 3·5·4=60 số, xác suất 1/2, không phải 3/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng là 5: 5·4=20 số, xác suất 20/120=1/6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 số từ mỗi nhóm phần dư {3,6},{1,4},{2,5}: 8 bộ × 6 xếp = 48 số, xác suất 48/120=2/5.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau: chữ số đầu khác 0 nên có $9\cdot A_9^5=9\cdot 15120=136080$ số. Số có đúng 5 chữ số lẻ: phải dùng cả 5 chữ số lẻ $\{1,3,5,7,9\}$ và 1 chữ số chẵn. Nếu chữ số chẵn là 0: số hoán vị với 0 không đứng đầu là $6!-5!=720-120=600$. Nếu chữ số chẵn khác 0 (4 cách chọn): mỗi cách có $6!=720$ hoán vị, tức $4\cdot 720=2880$. Tổng trường hợp thuận: $600+2880=3480$. Xác suất $P=\frac{3480}{136080}\approx 0,0256\approx 0,03$, khớp đáp án nguồn.

a) Số hạng tổng quát của khai triển là: $$C_5^k{\left(x^3\right)}^{5-k}.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k=C_5^k.(-1{)}^k.x^{15-5k}$$
Để có số hạng không chứa x thì $15-5k=0\iff k=3$
Vậy số hạng không chứa x là $C_5^3.(-1{)}^3=-10$

b) Phép thử: “Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong 12 quả cầu” $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{12}^3$
Gọi $A$ là biến cố: “Ba quả lấy ra có đúng hai màu”
Suy ra biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “Ba quả lấy ra có cùng màu hoặc có đủ ba màu”
TH1: Ba quả lấy ra có cùng màu $\Rightarrow$ có $C_7^3+C_4^3=39$ cách chọn.
TH2: Ba quả lấy ra có đủ ba màu $\Rightarrow$ có $C_7^1.C_4^1.1=28$ cách chọn.
$\Rightarrow$ Số phần tử của $\overline{A}$ là $n\left(\overline{A}\right)=39+28=67\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n(\Omega )}=\frac{67}{220}$
$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{67}{220}=\frac{153}{220}\approx 0,7$

Số phần tử không gian mẫu là $6^4$. Biến cố đối “Tích số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong 4 lần gieo không chia hết cho 5”. Ở mỗi lần gieo có năm khả năng là $\{1,2,3,4,6\}$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối là $5^4$. Xác suất cần tìm là $$P(A)=1-\frac{5^4}{6^4}=\frac{671}{1296}.$$ Khi đó $a+b=671+1296=1967$.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{10}^6$. Vì số nhỏ thứ hai là $k$, nên số nhỏ thứ nhất nhận các giá trị từ 1 đến $k-1$. Tức có $k-1$ cách chọn số nhỏ thứ nhất. Số nhỏ thứ hai là $k$, nên chỉ có một cách. Bốn số còn lại nhận các giá trị từ $k+1$ đến 10. Từ $k+1$ đến 10 có $10-k$ số, nên có $C_{10-k}^4$ cách chọn bốn số còn lại. Số kết quả thuận lợi của biến cố là $(k-1)C_{10-k}^4$. Chú ý, ta cần có điều kiện $k⩾2$ và $10-k⩾4$, hay $2⩽k⩽6$. Xác suất cần tìm là $$\frac{(k-1)C_{10-k}^4}{C_{10}^6}.$$ Từ kết quả tổng quát trên, nếu số bé thứ hai là $k$, $2⩽k⩽6$, thì xác suất tương ứng là $$\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{3}{14};\frac{2}{21};\frac{1}{42}.$$ Theo bảng đáp án biểu điểm: nếu số nhỏ thứ hai là 4, thì số nhỏ thứ nhất chọn từ tập $\{1;2;3\}$ và bốn số còn lại có số cách chọn là $C_6^4$, nên số cách chọn sao cho số nhỏ thứ hai là 4 là $3C_6^4$; xác suất cần tìm là $$\frac{3C_6^4}{C_{10}^6}=\frac{3}{14}.$$ (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

Số phần tử không gian mẫu là $6^3$. Biến cố đối “Tích số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong 3 lần gieo không chia hết cho 5”. Ở mỗi lần gieo có năm khả năng là $\{1,2,3,4,6\}$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối là $5^3$. Xác suất cần tìm là $$P(A)=1-\frac{5^3}{6^3}=\frac{91}{216}.$$ Khi đó $a+b=91+216=307$.

Số phần tử không gian mẫu là $6^4$. Biến cố đối “Tích số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong 4 lần gieo không chia hết cho 3”. Ở mỗi lần gieo có bốn khả năng là $\{1,2,4,5\}$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối là $4^4$. Xác suất cần tìm là $$P(A)=1-\frac{4^4}{6^4}=\frac{65}{81}.$$ Khi đó $a+b=65+81=146$.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{10}^6$. Vì số nhỏ thứ hai là $k$, nên số nhỏ thứ nhất nhận các giá trị từ 1 đến $k-1$. Tức có $k-1$ cách chọn số nhỏ thứ nhất. Số nhỏ thứ hai là $k$, nên chỉ có một cách. Bốn số còn lại nhận các giá trị từ $k+1$ đến 10. Từ $k+1$ đến 10 có $10-k$ số, nên có $C_{10-k}^4$ cách chọn bốn số còn lại. Số kết quả thuận lợi của biến cố là $(k-1)C_{10-k}^4$. Chú ý, ta cần có điều kiện $k⩾2$ và $10-k⩾4$, hay $2⩽k⩽6$. Xác suất cần tìm là $$\frac{(k-1)C_{10-k}^4}{C_{10}^6}.$$ Từ kết quả tổng quát trên, nếu số bé thứ hai là $k$, $2⩽k⩽6$, thì xác suất tương ứng là $$\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{3}{14};\frac{2}{21};\frac{1}{42}.$$ Theo bảng đáp án biểu điểm: nếu số nhỏ thứ hai là 4, thì số nhỏ thứ nhất chọn từ tập $\{1;2;3\}$ và bốn số còn lại có số cách chọn là $C_6^4$, nên số cách chọn sao cho số nhỏ thứ hai là 4 là $3C_6^4$; xác suất cần tìm là $$\frac{3C_6^4}{C_{10}^6}=\frac{3}{14}.$$ (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

Số phần tử không gian mẫu là $6^3$. Biến cố đối “Tích số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong 3 lần gieo không chia hết cho 3”. Ở mỗi lần gieo có bốn khả năng là $\{1,2,4,5\}$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối là $4^3$. Xác suất cần tìm là $$P(A)=1-\frac{4^3}{6^3}=\frac{19}{27}.$$ Khi đó $a+b=19+27=46$.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{10}^6$. Vì số nhỏ thứ hai là $k$, nên số nhỏ thứ nhất nhận các giá trị từ 1 đến $k-1$. Tức có $k-1$ cách chọn số nhỏ thứ nhất. Số nhỏ thứ hai là $k$, nên chỉ có một cách. Bốn số còn lại nhận các giá trị từ $k+1$ đến 10. Từ $k+1$ đến 10 có $10-k$ số, nên có $C_{10-k}^4$ cách chọn bốn số còn lại. Số kết quả thuận lợi của biến cố là $(k-1)C_{10-k}^4$. Chú ý, ta cần có điều kiện $k⩾2$ và $10-k⩾4$, hay $2⩽k⩽6$. Xác suất cần tìm là $$\frac{(k-1)C_{10-k}^4}{C_{10}^6}.$$ Từ kết quả tổng quát trên, nếu số bé thứ hai là $k$, $2⩽k⩽6$, thì xác suất tương ứng là $$\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{3}{14};\frac{2}{21};\frac{1}{42}.$$ Theo bảng đáp án biểu điểm: nếu số nhỏ thứ hai là 4, thì số nhỏ thứ nhất chọn từ tập $\{1;2;3\}$ và bốn số còn lại có số cách chọn là $C_6^4$, nên số cách chọn sao cho số nhỏ thứ hai là 4 là $3C_6^4$; xác suất cần tìm là $\frac{3C_6^4}{C_{10}^6}=\frac{3}{14}$. (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{30}^3=4060$. Gọi A là biến cố: “Tích 3 số rút ra từ 3 thẻ là một số chia hết cho 3”. $\overline{A}$ là biến cố: “Tích 3 số rút ra từ 3 thẻ là một số không chia hết cho 3”. Trong 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30 có 10 thẻ được đánh số chia hết cho 3 và 20 thẻ được đánh số không chia hết cho 3 (học sinh không giải thích vẫn cho điểm). Khi đó $n(\overline{A})=C_{20}^3$. $\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{C_{20}^3}{C_{30}^3}$ $\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{C_{20}^3}{C_{30}^3}=\frac{146}{203}$.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 đôi giày nên tổng cộng 16 chiếc. Không gian mẫu: chọn ngẫu nhiên 2 chiếc từ 16 chiếc, $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2}\right)=120$. Sự kiện A: '2 chiếc lấy ra là một đôi' nghĩa là 2 chiếc cùng thuộc một trong 8 đôi, nên $n(A)=8$. Vậy $P(A)=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1/15.