Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tung một đồng xu 2 lần, mỗi lần có 2 kết quả (S hoặc N). Không gian mẫu là $\Omega =\{SS,SN,NS,NN\}$, gồm 4 phần tử. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: D).

Chọn ngẫu nhiên 1 viên pin từ tổng số 80 viên pin $\Rightarrow n(\Omega )=C_{80}^1=80$. (0,25 điểm)
Số viên pin được chọn là sản phẩm đạt chuẩn là 76 viên pin $\Rightarrow n(A)=76$. (0,25 điểm)
Xác suất để chọn được viên pin đạt chuẩn là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{76}{80}=0,95$. (0,5 điểm)

Chọn ngẫu nhiên 1 linh kiện từ tổng số 100 linh kiện $\Rightarrow n(\Omega )=C_{100}^1=100$. (0,25 điểm)
Số linh kiện đạt chuẩn (không là phế phẩm) là 95 linh kiện $\Rightarrow n(A)=95$. (0,25 điểm)
Xác suất linh kiện được chọn không bị coi là phế phẩm $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{95}{100}=0,95$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách điền: $10!=3628800$. Trong tập $X$ có 5 số lẻ $(1,3,5,7,9)$ và 5 số chẵn $(0,2,4,6,8)$. Biến cố $A$ chỉ phụ thuộc vào vị trí 5 ô chứa số lẻ: cần chọn 5 ô trong 9 ô sao cho mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một ô được chọn, sau đó gán số: $5!$ cách xếp số lẻ và $5!$ cách xếp số chẵn.

Đếm số cách chọn 5 ô với mỗi hàng có ít nhất 1 ô lẻ (tổng 5 ô, mỗi hàng ≥1): các phân bố $(3,1,1)$ và $(2,2,1)$.
- Trường hợp $(3,1,1)$: chọn hàng có 3 ô lẻ (3 cách); hàng này phủ cả 3 cột nên hai hàng còn lại chỉ cần mỗi hàng có 1 ô lẻ, tự do chọn cột: $3\cdot 3=9$ cách. Tổng: $3\cdot 9=27$.
- Trường hợp $(2,2,1)$: chọn hàng có 1 ô lẻ (3 cách), chọn cột của ô đó (3 cách) — cột này đã được phủ. Hai hàng còn lại mỗi hàng chọn 2 cột trong 3 cột: mỗi hàng có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ cách, tổng $9$ tổ hợp. Cần hợp của hai cặp phủ được 2 cột còn lại; có đúng 2 tổ hợp xấu (cả hai hàng cùng chọn cặp gồm cột đã phủ và cùng một cột còn lại, khiến một cột thiếu ô lẻ). Vậy còn $9-2=7$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 7=63$.

Vậy số cách chọn vị trí ô lẻ: $27+63=90$. Số cách điền thuận lợi: $90\cdot (5!{)}^2=90\cdot 14400=1296000$.

$$P(A)=\frac{90\cdot (5!{)}^2}{10!}=\frac{90}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)}\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)}{1}=\frac{90}{252}=\frac{5}{14}$$

Cụ thể: $\frac{1296000}{3628800}=\frac{5}{14}$, nên $a=5$, $b=14$ (phân số tối giản vì $\gcd (5,14)=1$).

$$S=a-b=5-14=-9$$

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có $6\times 2=12$ kết quả đồng khả năng. Biến cố 'xúc xắc ra mặt lẻ' có 3 kết quả (1, 3, 5) và 'đồng tiền ra sấp' có 1 kết quả, nên biến cố cần tính có $3\times 1=3$ kết quả. Vậy xác suất bằng $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập S gồm các số tự nhiên hai chữ số từ 10 đến 99 nên có 90 phần tử (ý a sai). Chọn đồng thời 2 số từ S: |Ω| = C(90,2) = 90·89/2 = 4005 (ý b sai). Số các số chia hết cho 3 trong [10;99] là các số 12,15,...,99: 30 số, nên P(A) = C(30,2)/4005 = 435/4005 = 29/267 (ý c đúng). Với ý d: trong S có 30 số dư 0, 30 số dư 1, 30 số dư 2 khi chia cho 3. Tổng chia hết cho 3 khi hai số cùng dư 0 (C(30,2)=435 cách) hoặc một số dư 1 và một số dư 2 (30·30=900 cách), tổng 1335 cách. P(B) = 1335/4005 = 1/3 (ý d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
S = {10, 11, ..., 99} có 99 - 10 + 1 = 90 phần tử, không phải 99.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn đồng thời 2 số (không phân biệt thứ tự): |Ω| = C(90,2) = 4005, không phải 8010.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 30 số chia hết cho 3 trong S (từ 12 đến 99). P(A) = C(30,2)/C(90,2) = 435/4005 = 29/267.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi lớp dư 0,1,2 mod 3 có đúng 30 số. Tổng chia hết cho 3: cùng dư 0 (435 cách) hoặc dư 1 và dư 2 (900 cách), tổng 1335. P(B) = 1335/4005 = 1/3.

(AI giải đề cho tôi)
Có 20 miếng vàng chia thành 5 bộ, mỗi bộ 4 miếng. Chọn ngẫu nhiên 9 miếng từ 20: số cách $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{9}\right)=167960$.

Đếm số cách chọn 9 miếng chứa đúng một bộ đầy đủ 4 miếng:
- Chọn bộ nào được đủ 4 miếng: 5 cách.
- 5 miếng còn lại chọn từ 16 miếng của 4 bộ kia sao cho không chứa đủ một bộ nào khác (để 'đúng một' bộ): tổng số cách $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{5}\right)=4368$; trừ các trường hợp chứa đủ một bộ: chọn bộ (4 cách) và 1 miếng tùy ý từ 12 miếng còn lại: $4\cdot 12=48$. Vậy số cách hợp lệ là $4368-48=4320$.

Số trường hợp thuận lợi: $5\cdot 4320=21600$.

Xác suất: $P=\frac{21600}{167960}\approx 0.12860=12,8596\%\approx 12,9\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{30}^3=4060$. Xác suất cả 3 đều nam: $C_{16}^3=560$; cả 3 đều nữ: $C_{14}^3=364$. Hai biến cố rời nhau nên $P=\frac{560+364}{4060}=\frac{924}{4060}=\frac{33}{145}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=36$. Số chẵn trên xúc xắc: $\{2;4;6\}$.
a) $A\cap B$: cả hai lần đều chẵn, có $3\cdot 3=9$ kết quả nên $P(A\cap B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.
b) $C$: đúng một lần chẵn: chọn lần chẵn (2 cách) $\times 3\cdot 3=18$ kết quả, $P(C)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{10}^4=210$. Biến cố 'đúng 2 quả đỏ' (trong 3 đỏ) và 2 quả trắng (trong 7 trắng): $n(A)=C_3^2\cdot C_7^2=3\cdot 21=63$. Vậy $P(A)=\frac{63}{210}=\frac{3}{10}=0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên, $n(\Omega )=\mathrm{C}(21,2)=210$.
a) Trong 21 số có 11 số lẻ $(1,3,\dots ,21)$ và 10 số chẵn. Số cách chọn 2 số lẻ: $\mathrm{C}(11,2)=55$. Vậy $P(B)=\frac{55}{210}=\frac{11}{42}$.
b) Tổng hai số chẵn khi cả hai cùng lẻ hoặc cùng chẵn: $\mathrm{C}(11,2)+\mathrm{C}(10,2)=55+45=100$. Vậy $P(C)=\frac{100}{210}=\frac{10}{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo 2 xúc xắc, tổng số chấm chia hết cho 5 nghĩa là tổng bằng 5 hoặc 10 (tổng nhỏ nhất 2, lớn nhất 12). Tổng bằng 5: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ — 4 khả năng. Tổng bằng 10: $(4,6),(5,5),(6,4)$ — 3 khả năng. Tổng cộng $4+3=7$ khả năng. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: chỉ thích Bóng đá = 15 − 5 = 10; chỉ thích Bóng bàn = 10 − 5 = 5; thích cả hai = 5; không thích môn nào = 30 − 20 = 10. Tổng số cách chọn 2 học sinh: $C_{30}^2=435$.
a) Hai bạn thích đá bóng: $\frac{C_{15}^2}{C_{30}^2}=\frac{105}{435}=\frac{7}{29}$ → Đúng.
b) Ít nhất một bạn thích đá bóng: $1-\frac{C_{15}^2}{C_{30}^2}=1-\frac{7}{29}=\frac{22}{29}\ne \frac{12}{29}$ → Sai.
c) Số bạn thích ít nhất một môn là 20, nên xác suất $\frac{C_{20}^2}{C_{30}^2}=\frac{190}{435}=\frac{38}{87}\ne \frac{20}{29}$ → Sai.
d) Hai bạn thích cả hai môn: $\frac{C_5^2}{C_{30}^2}=\frac{10}{435}=\frac{2}{87}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1101: a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{C_{15}^2}{C_{30}^2}=\frac{105}{435}=\frac{7}{29}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$1-\frac{7}{29}=\frac{22}{29}\ne \frac{12}{29}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{C_{20}^2}{C_{30}^2}=\frac{38}{87}\ne \frac{20}{29}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{C_5^2}{C_{30}^2}=\frac{10}{435}=\frac{2}{87}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chỉ cần xét cách chia 10 người thành 5 cặp đối diện (vị trí ghế không ảnh hưởng). Tổng số cách chia: $\frac{10!}{2^5\cdot 5!}=945$.

Dùng bao hàm - loại trừ với các cặp cùng lớp: lớp 12A có 1 cặp, lớp 12B có 3 cặp (2 bạn A, 3 bạn B; 5 bạn còn lại mỗi người một lớp nên không tạo cặp cùng lớp).
- A ngồi cặp: $7!!=105$.
- Một cặp B ngồi cặp: $3\cdot 105=315$.
- A và một cặp B: $3\cdot 5!!=45$; hai cặp B: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot 15=45$; ba cặp B: $3$.
- A và hai cặp B: $3\cdot 3=9$; A và ba cặp B: $3$.

Số cách xấu: $105+315-45-45-3+9+3=339$. Số cách tốt: $945-339=606$.

Xác suất $P=\frac{606}{945}\approx 0,6413\approx 0,6$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách: chọn 6 số từ H và xếp vào 6 vị trí là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{6}\right)\cdot 6!=5005\cdot 720=3603600$.

Đếm cách thuận lợi: Gọi $a,c,e$ lần lượt là số ở $A,C,E$. Điều kiện để $(A,B,C),(C,D,E),(E,F,A)$ lập thành cấp số cộng là $B=\frac{a+c}{2}$, $D=\frac{c+e}{2}$, $F=\frac{e+a}{2}$. Do đó $a,c,e$ phải cùng tính chẵn lẻ (để các trung bình cộng là số nguyên); các giá trị trung bình nằm trong $[1;15]$ tự động. Với $a,c,e$ đôi một khác nhau thì các trung bình cộng cũng khác nhau và khác $a,c,e$ (vì $(a+c)/2=a\iff c=a$, v.v.).

Số bộ $(a,c,e)$ có thứ tự, đôi một khác nhau, cùng chẵn hoặc cùng lẻ: số lẻ có 8 số, số chẵn có 7 số, nên $8\cdot 7\cdot 6+7\cdot 6\cdot 5=336+210=546$.

Vậy $P=\frac{546}{3603600}=\frac{1}{6600}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số bi đỏ có đánh số: $50\cdot 60\%=30$ viên. Số bi vàng có đánh số: $30\cdot 50\%=15$ viên. Tổng số bi có đánh số: $30+15=45$ viên. Xác suất lấy được viên bi có đánh số: $P=\frac{45}{80}=0,5625\approx 0,56$.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 20 học sinh (7 nữ, 13 nam), chọn ngẫu nhiên 5 bạn.
a) Không gian mẫu là số cách chọn 5 bạn từ 20 bạn: n(Ω)=C(20,5)=15504. Đúng.
b) Biến cố A: '5 bạn đều là nam', nên biến cố đối là 'trong 5 bạn có ít nhất một bạn nữ'. Đúng.
c) A là chọn 5 bạn đều nam tức chọn 5 từ 13 nam: n(A)=C(13,5)=1287, không phải C(7,5) (đó là chọn 5 nữ). Sai.
d) Xác suất chọn được ít nhất 1 nữ: P=1−n(A)/n(Ω)=1−1287/15504=14217/15504=4739/5168 (rút gọn với 3). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 từ 20 học sinh: n(Ω)=C(20,5)=15504.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối của 'đều là nam' là 'có ít nhất một bạn nữ'.
c) (AI giải đề cho tôi)
n(A)=C(13,5)=1287 vì chọn 5 nam từ 13 nam, không phải C(7,5).
d) (AI giải đề cho tôi)
P(ít nhất 1 nữ)=1−C(13,5)/C(20,5)=1−1287/15504=14217/15504=4739/5168.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán có đầy đủ dữ liệu, giải như sau:

a) Không gian mẫu: An chọn 1 quần (3 cách: xanh, nâu, đen), 1 áo (2 cách: trắng, cam), 1 giày (2 cách: đen, vàng). Sơ đồ hình cây: nhánh quần (xanh, nâu, đen), mỗi nhánh chia thành áo (trắng, cam), mỗi nhánh áo chia thành giày (đen, vàng). Vậy $n(\Omega )=3\cdot 2\cdot 2=12$ phần tử, kí hiệu bộ (quần; áo; giày): (xanh; trắng; đen), (xanh; trắng; vàng), (xanh; cam; đen), (xanh; cam; vàng), (nâu; trắng; đen), (nâu; trắng; vàng), (nâu; cam; đen), (nâu; cam; vàng), (đen; trắng; đen), (đen; trắng; vàng), (đen; cam; đen), (đen; cam; vàng).

b) Biến cố $B$: quần và giày cùng màu. Chỉ có quần đen đi với giày đen (quần xanh, nâu không có giày cùng màu). Với mỗi bộ như vậy có 2 cách chọn áo (trắng, cam), nên $B=\{(đen;tr\acute{\stackrel{˘}{a}}ng;đen),(đen;cam;đen)\}$, tức $n(B)=2$.

c) Biến cố $C$: quần và giày không cùng màu. $C$ là biến cố đối của $B$, nên $n(C)=12-2=10$. Xác suất $P(C)=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\approx 0,833$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong các số từ 1 đến 9, các số chia hết cho 4 là 4 và 8, tức có 2 thẻ 'thuận lợi' và 7 thẻ không chia hết cho 4. Gọi n là số thẻ lấy ra cùng lúc. Xác suất không có thẻ nào chia hết cho 4 là P(Ā) = C(7,n)/C(9,n), nên xác suất có ít nhất một thẻ chia hết cho 4 là P(A) = 1 − C(7,n)/C(9,n). Yêu cầu: 1 − C(7,n)/C(9,n) > 5/6 ⟺ C(7,n)/C(9,n) < 1/6. Thử: với n = 5: C(7,5)/C(9,5) = 21/126 = 1/6, không thỏa (vì cần lớn hơn 5/6). Với n = 6: C(7,6)/C(9,6) = 7/84 = 1/12 < 1/6, thỏa mãn. Vậy phải lấy ít nhất 6 thẻ cùng lúc.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo súc sắc 2 lần, mỗi lần có 6 kết quả nên không gian mẫu có $6\times 6=36$ phần tử. Đáp án C.