Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Lớp 12/1 có $25$ bạn nam và $10$ bạn nữ; lớp 12/2 có $20$ bạn nam và $15$ bạn nữ. Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt giao lưu với đơn vị kết nghĩa, Đoàn trường chọn ngẫu nhiên từ hai lớp trên mỗi lớp $2$ học sinh. Sau khi nhóm $4$ bạn đã tập hợp, cả nhóm bầu ngẫu nhiên một bạn trong số đó làm nhóm trưởng.

Trong một đợt khảo sát về hành vi người dùng trên ứng dụng ngân hàng số của một ngân hàng thương mại, bộ phận dữ liệu nhận thấy: xác suất để một khách hàng có sử dụng dịch vụ thanh toán hóa đơn bằng mã QR là $0,7$; xác suất để khách hàng có sử dụng dịch vụ gửi tiết kiệm trực tuyến là $0,5$ và xác suất để khách hàng sử dụng cả hai dịch vụ này là $0,3$.

Trong một trung tâm tiếng Anh, thống kê cho thấy tỷ lệ học sinh tại trung tâm sử dụng AI để làm bài tập về nhà kỹ năng viết là $10\%$. Để đảm bảo tính công bằng, trung tâm áp dụng quy trình kiểm tra bài viết ở nhà của học sinh như sau:
Vòng 1. Quét phần mềm tự động – áp dụng cho $100\%$ các bài nộp. Phần mềm này có độ nhạy (phát hiện đúng bài có dùng AI) là $80\%$. Tuy nhiên, do đôi khi văn phong của học sinh vô tình giống văn mẫu, phần mềm có tỷ lệ báo nhầm một bài học sinh tự viết hoàn toàn thành “Có dùng AI” là $15\%$.
Vòng 2. Trợ giảng lớp chấm trực tiếp, chỉ thực hiện trên những bài đã bị vòng 1 báo “Có dùng AI”. Đây là bước kiểm tra sâu, nếu học sinh thực sự dùng AI, trợ giảng có khả năng phát hiện tuyệt đối $100\%$. Tuy nhiên, do bị “ám thị” bởi cảnh báo của phần mềm, trợ giảng vẫn có xác suất $5\%$ đánh giá nhầm một bài học sinh tự viết hoàn toàn thành “Có dùng AI”.
Sau khi thực hiện quy trình kiểm tra, các bài viết được gắn nhãn “Có dùng AI” hoặc “Tự viết hoàn toàn”. Chọn ngẫu nhiên một bài viết ở nhà của học sinh đã trải qua quy trình kiểm tra. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Giả sử $5\%$ email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là $95\%$ và có $10\%$ những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc.

Các nhà khoa học thử nghiệm một loại xét nghiệm để phát hiện virus X-Omega. Tuy nhiên, bộ xét nghiệm này không chính xác hoàn toàn. Theo thống kê tại khu vực nghiên cứu:
+ Tỉ lệ người thực sự nhiễm virus là $10\%$;
+ Nếu một người nhiễm virus, xét nghiệm sẽ cho dương tính với xác suất $95\%$.
+ Nếu một người không nhiễm virus, xét nghiệm vẫn có thể cho dương tính giả với xác suất $5\%$.
Chọn ngẫu nhiên một người trong khu vực nghiên cứu.

Câu 4. Trong hộp có $9$ chiếc bút bi xanh và $3$ chiếc bút bi đen. Bình lấy ngẫu nhiên một chiếc bút, sau đó An lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong $11$ chiếc còn lại.

Câu 2. Tại một sân bay, hệ thống kiểm tra hành lý tự động được sử dụng để phát hiện hành lý có chứa vật cấm. Nếu một hành lý có chứa vật cấm, hệ thống phát hiện đúng và báo động với xác suất $0,98$. Nếu một hành lý không chứa vật cấm, hệ thống vẫn báo động nhầm với xác suất $0,02$. Theo thống kê, tỉ lệ hành lý có chứa vật cấm là $1\%$. Chọn ngẫu nhiên một hành lý được kiểm tra. Tính xác suất để hành lý đó thực sự có chứa vật cấm biết rằng hành lý đó bị báo động. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 6. Trong một trò chơi, có $3$ chiếc rương bề ngoài giống hệt nhau. Rương I chứa $3$ đồng tiền vàng. Rương II chứa $3$ đồng tiền bạc. Rương III chứa $2$ đồng tiền vàng và $1$ đồng tiền bạc. Người chơi chọn ngẫu nhiên một chiếc rương và từ rương đó (không nhìn) rút ngẫu nhiên ra $1$ đồng tiền. Sau đó chọn một trong $2$ rương còn lại, rồi rút tiếp $1$ đồng tiền. Tính xác suất để lần $2$ rút được đồng tiền vàng biết rằng lần $1$ đã rút được đồng tiền vàng.

Cho $A,B$ là các biến cố thỏa mãn $\mathrm{P}(\overline{A}\cap \overline{B})=0,35$; $\mathrm{P}(A)=0,25$; $\mathrm{P}(B)=0,6$. Giá trị của $\mathrm{P}(A\mid B)$ bằng

Một thống kê cho thấy, ở một quốc gia X, tỉ lệ người mới bị mắc bệnh hiểm nghèo Y là $0,6\%$. Ông M đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo Y và nhận được kết quả âm tính. Biết rằng, nếu một người mắc bệnh hiểm nghèo Y thì khi xét nghiệm cho kết quả là $95\%$ dương tính; nếu một người không mắc bệnh hiểm nghèo Y thì khi xét nghiệm cho kết quả là $98\%$ âm tính. Gọi $A$ là biến cố "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo Y" và $B$ là biến cố "Xét nghiệm bệnh hiểm nghèo Y cho kết quả dương tính".

Câu 4. Một công ty công nghệ tổ chức một kỳ thi tuyển dụng với hai bài kiểm tra: một bài kiểm tra lập trình và một bài kiểm tra tư duy logic. Công ty nhận thấy rằng, $60\%$ ứng viên là nam, $40\%$ ứng viên là nữ. $80\%$ nam vượt qua bài kiểm tra lập trình, $70\%$ nữ vượt qua bài kiểm tra lập trình. $75\%$ nam vượt qua bài kiểm tra tư duy logic, $85\%$ nữ vượt qua bài kiểm tra tư duy logic. Giả sử các bài kiểm tra là độc lập giữa các giới tính.

Câu 3. Trước thềm trận siêu kinh điển (El Clasico) giữa Barcelona và Real Madrid, Đài truyền hình Marca thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ (biết rằng trong số những người được phỏng vấn, số người đang mặc áo thi đấu của hai đội chiếm $20\%$). Kết quả khảo sát cho thấy rằng $60\%$ người trả lời sẽ xem, $40\%$ người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, số liệu thực tế sau trận đấu cho thấy có sự sai lệch giữa câu trả lời và hành động thực:
- Trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là $90\%$.
- Trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự xem là $15\%$.

Gọi $A$ là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu".
Gọi $B$ là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ xem trận đấu".

Trong một khảo sát về sức khỏe cộng đồng tại thành phố Hà Nội. Giả sử tỉ lệ người dân của thành phố Hà Nội nghiện thuốc lá là $20\%$; Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$, trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$.
Gọi $A$ là biến cố "người nghiện thuốc lá".
Gọi $B$ là biến cố "người bị bệnh phổi".
Khi đó:

Tại trường THPT Ngô Quyền-Đông Anh có $20\%$ học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10\%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh của nhà trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Câu 3. Tại một địa phương, tỷ lệ người mắc một căn bệnh truyền nhiễm $X$ là $5\%$. Để phát hiện bệnh, người ta sử dụng một loại xét nghiệm nhanh có đặc tính sau: Nếu một người thực sự mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $90\%$. Tuy nhiên, nếu một người không mắc bệnh, vẫn có $10\%$ xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính (dương tính giả). Chọn ngẫu nhiên một người tại địa phương đó để làm xét nghiệm.

Câu 4. Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau: có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày, $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress. Trong số các bệnh nhân thường xuyên bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày. Chọn ngẫu nhiên $1$ bệnh nhân.

Câu 2. Một kho hàng có $85\%$ sản phẩm loại I và $15\%$ sản phẩm loại II, trong đó có $1\%$ sản phẩm loại I bị hỏng, $4\%$ sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên $1$ sản phẩm.
Biến cố $A$: "Khách hàng chọn được sản phẩm loại I".
Biến cố $B$: "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng".

Câu 2. Sói đồng cỏ Bắc Mỹ (coyote) là một loài động vật hoang dã phân bố chủ yếu ở Bắc Mỹ. Tại bang Oklahoma, Hoa Kỳ, $70\%$ số coyote bị mắc một căn bệnh gọi là Ehrlichiosis. Người ta thực hiện xét nghiệm giúp phát hiện căn bệnh này. Kết quả xét nghiệm có thể là dương tính hoặc âm tính. Biết rằng nếu coyote bị bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính là $97\%$; nếu coyote không bị bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả âm tính là $95\%$. Các bác sĩ thú y bắt ngẫu nhiên $1$ con coyote ở Oklahoma và tiến hành xét nghiệm cho nó.

Câu 4. Một hệ thống AI được sử dụng để tự động kiểm tra và phân loại linh kiện điện tử trong một nhà máy bằng cách "đánh dấu" các linh kiện nghi ngờ bị lỗi để loại bỏ. Qua một thời gian dài theo dõi, người ta thống kê được: trong số tất cả linh kiện đi qua hệ thống, có $20\%$ số linh kiện bị đánh dấu. Trong số các linh kiện bị đánh dấu, có $5\%$ số linh kiện thực chất là đạt chuẩn (không lỗi). Trong số các linh kiện không bị đánh dấu, có $10\%$ số linh kiện thực chất bị lỗi.
Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử đã qua kiểm tra.

Câu 2. Virus Hanta là một loại virus gây bệnh truyền nhiễm, lây lan chủ yếu từ động vật sang người, phần lớn thông qua các loại động vật gặm nhấm (đặc biệt là chuột). Đầu tháng 5/2026, theo thông tin của Tổ chức Y tế thế giới (WHO), thế giới đã ghi nhận chùm ca mắc bệnh do virus Hanta gây ra, trong đó đã có ca tử vong.

Xét những người dân sống một khu vực X được xác nhận có chuột nhiễm virus Hanta. Xác suất để một người *tiếp xúc trực tiếp* với chuột nhiễm bệnh là $30\%$, *tiếp xúc gián tiếp* với chuột nhiễm bệnh (thông qua nước tiểu, phân, nước bọt của chuột nhiễm bệnh tại nơi chuột nhiễm bệnh làm tổ hay trú ẩn) là $70\%$. Nếu tiếp xúc trực tiếp với chuột nhiễm bệnh, xác suất để người đó nhiễm bệnh là $90\%$. Nếu tiếp xúc gián tiếp với chuột nhiễm bệnh, xác suất để người đó không nhiễm bệnh là $36\%$. Chọn ngẫu nhiên một người dân sống trong khu vực X (Lưu ý: Người nhiễm bệnh dưới đây được hiểu là nhiễm bệnh do virus Hanta gây ra).