Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Gọi $A$ là biến cố email được phân loại là "Bình thường" ($P(A)=1-0,15=0,85\ne 0,80$, d Sai) và $B$ là biến cố email thực sự là "Bình thường". Ta có $P(B\mid A)=1-0,01=0,99$ (b Đúng) và $P(B\mid \overline{A})=0,04$. Khi đó $P(B)=0,85\cdot 0,99+0,15\cdot 0,04=0,8475$ (c Đúng), và $P(A\mid B)=\frac{0,8415}{0,8475}\approx 0,9929<0,995$ (a Sai). Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): S-Đ-Đ-S.

Gọi $A$ là biến cố bị chấn thương vùng đầu ($P(A)=0,26$) và $B$ là biến cố đội mũ bảo hiểm đúng cách ($P(B)=0,90$, $P(A\cap B)=0,18$).
a) Đúng: $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0,26-0,18=0,08$.
b) Đúng: $P(A\mid \overline{B})=\frac{0,08}{1-0,90}=0,80=80\%$.
c) Đúng: $P(A\mid B)=\frac{0,18}{0,90}=0,20=20\%$, nên $\frac{P(A\mid \overline{B})}{P(A\mid B)}=\frac{80\%}{20\%}=4$.
d) Sai: Với học sinh đã bị chấn thương vùng đầu, $P(B\mid A)=\frac{0,18}{0,26}=\frac{9}{13}$ và $P(\overline{B}\mid A)=\frac{4}{13}$. Xác suất nguy kịch là $0,1\cdot \frac{9}{13}+0,8\cdot \frac{4}{13}=\frac{4,1}{13}\approx 0,3154$, nên xác suất không nguy kịch là $1-\frac{4,1}{13}=\frac{8,9}{13}\approx 0,68\ne 0,58$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): Đ-Đ-Đ-S.

a) Đúng. b) Sai vì $P(AB)=\frac{10}{18}\cdot \frac{9}{17}=\frac{5}{17}$. c) Đúng vì $P(A)=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$. d) Đúng (theo đáp án chính thức Trang 11, Mã đề 2101).

Từ sơ đồ cây: $P(B\mid A)=0,99$ (a đúng); $P(AB)=0,8\cdot 0,99=0,792\ne 0,72$ (b sai); $P(B)=0,792+0,2\cdot 0,05=0,802\ne 0,67$ (c sai); $P(\overline{A}\mid \overline{B})=\frac{0,19}{0,198}\ne 0,25$ (d sai) (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề B).

Theo công thức Bayes: $P=\frac{0,01\cdot 0,9}{0,01\cdot 0,9+0,99\cdot 0,2}=\frac{9}{207}=\frac{1}{23}=\frac{a}{b}\Rightarrow a+b=24$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề A).

Trong số $20+40=60$ học sinh nam có $20$ học sinh có tật khúc xạ, nên $P(A\mid B)=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

Trong số $10+30=40$ học sinh nữ có $10$ học sinh có tật khúc xạ, nên $P(A\mid B)=\frac{10}{40}=0,25$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Ta có $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,3}{0,5}=0,6$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Theo công thức Bayes: $P=\frac{0,45\cdot 0,06}{0,45\cdot 0,06+0,55\cdot 0,07}=\frac{27}{65,5}\approx 0,41$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Xác suất lấy được quả bóng đỏ từ hộp II là $P(D)=0,6\cdot \frac{8}{11}+0,4\cdot \frac{7}{11}=\frac{76}{110}$. Xác suất lấy đúng quả bóng đỏ vừa chuyển từ hộp I sang là $0,6\cdot \frac{1}{11}=\frac{6}{110}$. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{6}{76}\approx 0,08$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Theo công thức Bayes: $P=\frac{0,4\cdot 0,25}{0,4\cdot 0,25+0,6\cdot 0,05}=\frac{0,10}{0,13}=\frac{10}{13}\approx 0,77$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

a) Đúng ($2\%=0,02$). b) Sai vì $\frac{0,02\cdot 0,99}{0,02\cdot 0,99+0,98\cdot 0,03}=\frac{33}{82}\approx 0,4024$. c) Đúng. d) Sai vì xác suất dương tính giả là $1-0,97=0,03$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Theo công thức Bayes: $P=\frac{0,01\cdot 0,99}{0,01\cdot 0,99+0,99\cdot 0,01}=0,5$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Gọi $A$ là biến cố gây tai nạn và $B$ là biến cố sử dụng điện thoại ($P(B)=0,03$, $P(B\mid A)=0,21$). Khi đó $\frac{P(A\mid B)}{P(A)}=\frac{P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,21}{0,03}=7$ lần (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Theo công thức Bayes, xác suất người đó mắc bệnh $X$ khi xét nghiệm dương tính là $P=\frac{0,003\cdot 1}{0,003\cdot 1+0,997\cdot 0,06}=\frac{0,003}{0,06282}\approx 0,05$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Theo công thức xác suất có điều kiện: $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,16}{0,8}=0,2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

Theo công thức Bayes, xác suất người đó thực sự mắc bệnh khi kết quả dương tính là $P=\frac{0,1\cdot 0,97}{0,1\cdot 0,97+0,9\cdot 0,03}=\frac{97}{124}\approx 0,78$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 2 (Phần II) có đáp án là: a:Đ, b:Đ, c:Đ, d:Đ.

Số bao lì xì loại III (10 nghìn đồng) là: $40-12-10=18$ bao.
- a) Đúng. Xác suất An bốc được bao 10 nghìn đồng: $P(A)=\frac{18}{40}=0,45$.
- b) Đúng. Tính đối xứng trong bốc thăm không hoàn lại cho thấy xác suất người thứ hai (Bình) bốc được bao 10 nghìn cũng là $P(B)=\frac{18}{40}=0,45$.
- c) Đúng. Nếu Bình bốc được bao 10 nghìn, xác suất để An cũng bốc được bao 10 nghìn là: $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{18\cdot 17}{40\cdot 39}:\frac{18}{40}=\frac{17}{39}\approx 0,4359\approx 0,44$.
- d) Đúng. Xác suất không ai trong 3 bạn bốc được bao 10 nghìn là: $\frac{22}{40}\cdot \frac{21}{39}\cdot \frac{20}{38}\approx 0,1557$. Do đó xác suất có ít nhất một bạn bốc được bao 10 nghìn là $1-0,1557=0,8443\approx 0,84$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 1 (Phần III) có kết quả là: 4,24.

Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện:
Xác suất cần tìm xấp xỉ bằng $4,24\%$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 6 có đáp án là: C.

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện:
$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$.