Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Danh sách một lớp đại học Quốc Gia có $95$ sinh viên gồm $40$ nam và $55$ nữ. Có $23$ sinh viên quốc tịch nước ngoài (trong đó có $12$ nam và $11$ nữ), số sinh viên còn lại có quốc tịch Việt Nam. Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp đó lên bảng. Tính xác suất sinh viên gọi tên có quốc tịch nước ngoài, biết rằng sinh viên đó là nữ? (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Khi khảo sát thị trường người ta thấy có $22,5\%$ khách hàng sử dụng sản phẩm $X$, $50\%$ dùng sản phẩm $Y$. Trong số người dùng sản phẩm $Y$ có $36,5\%$ dùng sản phẩm $X$. Xác suất một người dùng sản phẩm $Y$, biết rằng người đó không dùng sản phẩm $X$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một đồng xu không cân đối được tung lên, có xác suất xuất hiện mặt sấp bằng $0,8$. Vinh quan sát kết quả mặt sấp hoặc mặt ngửa và vội vã chạy đi báo cho Bằng. Tuy nhiên, Vinh có thể sẽ quên kết quả khi đến chỗ Bằng và xác suất Vinh quên bằng $0,4$. Nếu Vinh đã quên, thì thay vì thừa nhận điều này với Bằng, anh ta có khả năng nói với Bằng rằng đồng xu rơi xuống mặt sấp hoặc mặt ngửa với xác suất như nhau. Nếu anh ta nhớ, thì anh ta sẽ báo cho Bằng kết quả đúng.

Một công ty khí tượng sử dụng hai mô hình dự báo thời tiết hoạt động độc lập với nhau là Mô hình 1 và Mô hình 2. Dựa trên dữ liệu quá khứ, độ chính xác của các mô hình được quy định như sau:
- Mô hình 1: Có xác suất dự báo đúng là $80\%$. Nghĩa là, nếu thực tế trời mưa, xác suất mô hình báo có mưa là $0,8$; nếu thực tế không mưa, xác suất mô hình báo không mưa là $0,8$.
- Mô hình 2: Có xác suất dự báo đúng là $90\%$. Nghĩa là, nếu thực tế trời mưa, xác suất mô hình báo có mưa là $0,9$; nếu thực tế không mưa, xác suất mô hình báo không mưa là $0,9$.
Biết rằng tỷ lệ ngày có mưa trong năm ở khu vực này là $20\%$.

Người ta khảo sát $300$ cổ động viên bóng đá Việt Nam về khả năng đến sân xem đội tuyển Việt Nam thi đấu với đội tuyển Thái Lan tại sân vận động Việt Trì vào ngày 5/1/2025. Kết quả thu được cho thấy: $180$ người trả lời “sẽ đi xem” và $120$ người trả lời “sẽ không đi xem”.
Trong số những người trả lời “sẽ đi xem” có $80\%$ thực sự đến sân xem, trong khi $20\%$ không đến sân xem. Đối với những người trả lời “sẽ không đi xem” có $15\%$ thay đổi ý định và đi xem, còn lại $85\%$ không đi xem.
Gọi $A$ là biến cố “Người được khảo sát thực sự đến sân xem”
Gọi $B$ là biến cố “Người trả lời sẽ đến sân xem”.

Các nhà nghiên cứu về tâm lý học giáo dục quan sát một nhóm các học sinh lớp 10 ở một số trường học THPT trong $3$ năm. Ở thời điểm bắt đầu quan sát, có $69\%$ số học sinh được quan sát thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh. Sau $3$ năm, các nhà nghiên cứu này nhận thấy tỉ lệ học sinh có kết quả học tập sa sút trong số những học sinh thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh cao gấp $3$ lần tỉ lệ này trong số những học sinh còn lại. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm và thấy học sinh này có kết quả học tập sa sút trong $3$ năm quan sát, tính xác suất để học sinh này thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Có $2$ hộp đựng các viên bi. Hộp I đựng $3$ viên bi xanh và $2$ viên bi đỏ; hộp II đựng $4$ viên bi xanh và $1$ viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $1$ bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên $1$ bi từ hộp II. Gọi $A$ là biến cố “lấy được bi xanh từ hộp I” và $B$ là biến cố “lấy được bi xanh từ hộp II”. Khi đó

Một trung tâm an ninh mạng sử dụng hai bộ lọc độc lập $S_1$ và $S_2$ để quét các tập tin lạ. Qua thống kê, tỷ lệ tập tin có mã độc trong hệ thống là $2\%$.
- Đối với một tập tin có mã độc, xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,9$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,8$ và xác suất bị cả hai bộ lọc cùng cảnh báo là $0,75$.
- Đối với một tập tin không có mã độc, xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,03$ và xác suất nó không bị bộ lọc nào cảnh báo là $0,93$.
Một tập tin được quét và bị ít nhất một bộ lọc cảnh báo. Xác suất để tập tin đó thực sự có mã độc là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một hộp có $7$ chiếc bút bi xanh và $5$ chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi màu xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Bảng sau đây cho thấy sự phân bố theo giới tính của sinh viên tại một lớp đại học sử dụng xe máy hay ô tô đến trường. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên.



Tính xác suất sinh viên được chọn là nam biết bạn đó đi xe máy đến trường.

Lớp 12A có $40$ học sinh, trong đó có $25$ học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, $16$ học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, $12$ học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Toán. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Xét các biến cố sau:
$A$: "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh";
$B$: "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Toán".
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một hộp chứa $12$ viên bi xanh và $6$ viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp, xem màu rồi bỏ ra ngoài. Đến lượt bạn Bình lấy bi với số lượng phụ thuộc vào màu của viên bi mà bạn An đã lấy. Cụ thể: Nếu viên bi An lấy ra có màu xanh thì bạn Bình sẽ lấy ra hai viên bi từ hộp; còn nếu viên bi An lấy ra có màu đỏ thì bạn Bình sẽ lấy ngẫu nhiên $4$ viên bi từ hộp. Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu đỏ, biết rằng trong các viên bi bạn Bình lấy ra có ít nhất một viên bi khác màu với viên bi của bạn An (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Có hai chiếc hộp, hộp I có $5$ quả bóng đỏ và $3$ quả bóng vàng, hộp II có $4$ quả bóng đỏ và $6$ quả bóng vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I rồi chuyển (bỏ) vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp II. Biết rằng trong hai quả bóng lấy ra từ hộp II có ít nhất một quả màu đỏ. Tính xác suất để quả bóng được chuyển từ hộp I sang là quả bóng màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Nghiên cứu số bệnh nhân bị bệnh X trong một bệnh viện, người ta thấy rằng có $2$ nguyên nhân gây ra bệnh X là do nhiễm một trong hai chủng virus V19 và virus V20. Bệnh nhân nhiễm bệnh X do chủng virus V19 chiếm $70\%$ số bệnh nhân và nhiễm bệnh X do chủng virus V20 là $30\%$. Trong những bệnh nhân nhiễm bệnh X do chủng virus V19 thì có $30\%$ bị biến chứng, trong những bệnh nhân bị nhiễm bệnh X do chủng virus V20 thì có $50\%$ bị biến chứng. Rút ngẫu nhiên một bệnh án của bệnh nhân nhiễm bệnh X, các phát biểu sau đúng hay sai?

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất $0,95$ và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất $0,01$. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn, xác suất để đó là thư rác bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giả sử $5\%$ email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là $95\%$ và có $10\%$ những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc.

Có một kho chứa bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau ($24$ lon/thùng) gồm $2$ loại: loại I để lẫn mỗi thùng $5$ lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng $3$ lon quá hạn. Biết số lượng thùng loại I gấp $2$ lần số lượng thùng loại II. Chọn ngẫu nhiên $1$ thùng từ trong kho, từ thùng đó chọn ngẫu nhiên $10$ lon thì thấy trong $10$ lon đó có hai lon quá hạn sử dụng. Tính xác suất $10$ lon được lấy là bia loại I (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một trường đại học trao hai loại học bổng $A$ và $B$ cho sinh viên trong trường, một sinh viên có thể được nhận cả hai loại học bổng $A$ và $B$. Trong số các sinh viên được trao học bổng loại $A$ có $12\%$ số bạn được trao học bổng loại $B$ và trong số các sinh viên không được trao học bổng loại $A$ có $10\%$ số bạn được trao học bổng loại $B$. Có $10,2\%$ số sinh viên toàn trường được trao học bổng loại $B$. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong trường.

Nhằm đưa ra cảnh báo sớm về tình trạng sức khỏe của cư dân, người ta sử dụng một ứng dụng trí tuệ nhân tạo để sàng lọc nguy cơ mắc bệnh dựa trên hồ sơ y tế được lưu trữ. Khi phát hiện nguy cơ mắc bệnh, ứng dụng này sẽ gửi cảnh báo để giúp người dân đi khám bệnh kịp thời. Người ta dùng ứng dụng này để tầm soát nguy cơ mắc một loại bệnh.
Kết quả thu được khi quét thử nghiệm hồ sơ y tế của $10000$ người như sau: Có $1000$ người nhận được cảnh báo và $9000$ người còn lại không nhận được cảnh báo từ ứng dụng. Trong số $1000$ người nhận được cảnh báo thì có $700$ người có bệnh và $300$ người không có bệnh. Trong số $9000$ người không nhận được cảnh báo thì có $100$ người có bệnh và $8900$ người không có bệnh.
Chọn ngẫu nhiên một người trong số $10000$ người nói trên.

Một ứng viên tham gia quy trình tuyển dụng gồm ba vòng phỏng vấn liên tiếp. Quy định của quy trình là ứng viên chỉ được đi tiếp vào vòng sau nếu vượt qua vòng trước đó và sẽ bị loại ngay lập tức nếu không đạt ở bất kỳ vòng nào. Giả sử xác suất để ứng viên này vượt qua các vòng như sau:
Xác suất vượt qua vòng 1 là $0,7$.
Nếu đã vượt qua vòng 1, xác suất để vượt qua vòng 2 là $0,6$.
Nếu đã vượt qua cả vòng 1 và vòng 2, xác suất vượt qua vòng 3 là $0,5$.
Biết rằng ứng viên này cuối cùng đã không trúng tuyển (bị loại). Tính xác suất để ứng viên đó bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 (tức là đã vượt qua được ít nhất vòng 1), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).