Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Một nhà máy sản xuất sản phẩm $M$ có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là $2\%$. Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:
Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $95\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $1\%$.
Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $90\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $5\%$.
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Gọi xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi là $P$. Giá trị của $\frac{49}{P}$ bằng bao nhiêu?

Lớp 12A1 có $50$ học sinh. Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới, có $30$ bạn trong lớp chăm chỉ ôn tập. Trước kỳ thi, giáo viên chủ nhiệm khảo sát ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Qua khảo sát, tỉ lệ tự tin trong số những bạn chăm chỉ ôn tập là $90\%$ và tỉ lệ tự tin trong số những bạn không chăm chỉ ôn tập là $15\%$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trước trận chung kết cúp C1 Châu Âu giữa hai câu lạc bộ bóng đá Arsenal và Paris Saint-Germain, một nhóm cổ động viên là sinh viên hai trường đại học A và đại học B đã tập trung tại một quán Cafe bóng đá. Tại đây, các cổ động viên được người quản lý cùng nhân viên phục vụ của quán hỏi về việc dự đoán câu lạc bộ nào sẽ lên ngôi vô địch. Người quản lý thống kê được kết quả như sau:
- Có $100$ cổ động viên đến từ trường đại học A, $150$ cổ động viên đến từ trường đại học B.
- Mỗi cổ động viên đều dự đoán đội vô địch, không có cổ động viên nào không dự đoán kết quả.
- Trong số các cổ động viên đến từ trường đại học A, có $38\%$ số người dự đoán Arsenal vô địch.
- Có tất cả $115$ cổ động viên dự đoán Paris Saint-Germain vô địch.
Chọn ngẫu nhiên một cổ động viên, gọi $X$ là biến cố "Cổ động viên đó đến từ trường đại học A", $Y$ là biến cố "Cổ động viên đó dự đoán Arsenal vô địch".

Một hộp có chứa 5 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng, được đánh số khác nhau). Bạn Nam lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp và không hoàn lại, tiếp đó bạn Minh lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ trong hộp.

Công ty X giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất 20000 sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất 15000 sản phẩm và có tỷ lệ phế phẩm là $4\%$, xí nghiệp II có tỉ lệ phế phẩm là $6\%$. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó chỉ phát hiện được $95\%$ và hệ thống dự đoán đúng được $92\%$ nếu một sản phẩm không là phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Tính xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện A, người ta được kết quả như sau:
- Có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.
- Có $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress.
- Trong số các bệnh nhân bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.
Chọn ngẫu nhiên $1$ bệnh nhân.

Lớp 12/1 có $25$ bạn nam và $10$ bạn nữ; lớp 12/2 có $20$ bạn nam và $15$ bạn nữ. Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt giao lưu với đơn vị kết nghĩa, Đoàn trường chọn ngẫu nhiên từ hai lớp trên mỗi lớp $2$ học sinh. Sau khi nhóm $4$ bạn đã tập hợp, cả nhóm bầu ngẫu nhiên một bạn trong số đó làm nhóm trưởng.

Có $3$ hộp đựng bi: Hộp I có $3$ bi trắng và $2$ bi đen. Hộp II có $1$ bi trắng và $4$ bi đen. Hộp III có $4$ bi đen.

Người ta gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất.
• Nếu con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn thì lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II; sau đó lắc đều hộp II và lấy ngẫu nhiên đồng thời ra $2$ viên bi.
• Nếu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ thì lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp I bỏ vào hộp III; sau đó lắc đều hộp III và lấy ngẫu nhiên đồng thời ra $2$ viên bi.
Biết rằng $2$ viên bi lấy ra ở bước cuối cùng là $2$ viên bi màu đen. Tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một đợt khảo sát về hành vi người dùng trên ứng dụng ngân hàng số của một ngân hàng thương mại, bộ phận dữ liệu nhận thấy: xác suất để một khách hàng có sử dụng dịch vụ thanh toán hóa đơn bằng mã QR là $0,7$; xác suất để khách hàng có sử dụng dịch vụ gửi tiết kiệm trực tuyến là $0,5$ và xác suất để khách hàng sử dụng cả hai dịch vụ này là $0,3$.

Trong một trung tâm tiếng Anh, thống kê cho thấy tỷ lệ học sinh tại trung tâm sử dụng AI để làm bài tập về nhà kỹ năng viết là $10\%$. Để đảm bảo tính công bằng, trung tâm áp dụng quy trình kiểm tra bài viết ở nhà của học sinh như sau:
Vòng 1. Quét phần mềm tự động – áp dụng cho $100\%$ các bài nộp. Phần mềm này có độ nhạy (phát hiện đúng bài có dùng AI) là $80\%$. Tuy nhiên, do đôi khi văn phong của học sinh vô tình giống văn mẫu, phần mềm có tỷ lệ báo nhầm một bài học sinh tự viết hoàn toàn thành “Có dùng AI” là $15\%$.
Vòng 2. Trợ giảng lớp chấm trực tiếp, chỉ thực hiện trên những bài đã bị vòng 1 báo “Có dùng AI”. Đây là bước kiểm tra sâu, nếu học sinh thực sự dùng AI, trợ giảng có khả năng phát hiện tuyệt đối $100\%$. Tuy nhiên, do bị “ám thị” bởi cảnh báo của phần mềm, trợ giảng vẫn có xác suất $5\%$ đánh giá nhầm một bài học sinh tự viết hoàn toàn thành “Có dùng AI”.
Sau khi thực hiện quy trình kiểm tra, các bài viết được gắn nhãn “Có dùng AI” hoặc “Tự viết hoàn toàn”. Chọn ngẫu nhiên một bài viết ở nhà của học sinh đã trải qua quy trình kiểm tra. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Giả sử $5\%$ email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là $95\%$ và có $10\%$ những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc.

Các nhà khoa học thử nghiệm một loại xét nghiệm để phát hiện virus X-Omega. Tuy nhiên, bộ xét nghiệm này không chính xác hoàn toàn. Theo thống kê tại khu vực nghiên cứu:
+ Tỉ lệ người thực sự nhiễm virus là $10\%$;
+ Nếu một người nhiễm virus, xét nghiệm sẽ cho dương tính với xác suất $95\%$.
+ Nếu một người không nhiễm virus, xét nghiệm vẫn có thể cho dương tính giả với xác suất $5\%$.
Chọn ngẫu nhiên một người trong khu vực nghiên cứu.

Câu 3. Một thư viện có hai phòng riêng biệt, phòng I và phòng II. Chọn ngẫu nhiên một cuốn sách ở thư viện đó. Biết rằng, xác suất để chọn được một cuốn sách Toán và ở phòng I là $0,21$; xác suất để chọn được một cuốn sách Toán và ở phòng II là $0,63$. Nếu cuốn sách được chọn là sách Toán thì xác suất để cuốn sách đó ở phòng I bằng bao nhiêu?

Câu 2. Cho một hộp kín có $6$ thẻ ATM của BIDV và $4$ thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt $2$ thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của BIDV.

Câu 4. Trong hộp có $9$ chiếc bút bi xanh và $3$ chiếc bút bi đen. Bình lấy ngẫu nhiên một chiếc bút, sau đó An lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong $11$ chiếc còn lại.

Câu 2. Tại một sân bay, hệ thống kiểm tra hành lý tự động được sử dụng để phát hiện hành lý có chứa vật cấm. Nếu một hành lý có chứa vật cấm, hệ thống phát hiện đúng và báo động với xác suất $0,98$. Nếu một hành lý không chứa vật cấm, hệ thống vẫn báo động nhầm với xác suất $0,02$. Theo thống kê, tỉ lệ hành lý có chứa vật cấm là $1\%$. Chọn ngẫu nhiên một hành lý được kiểm tra. Tính xác suất để hành lý đó thực sự có chứa vật cấm biết rằng hành lý đó bị báo động. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 6. Trong một trò chơi, có $3$ chiếc rương bề ngoài giống hệt nhau. Rương I chứa $3$ đồng tiền vàng. Rương II chứa $3$ đồng tiền bạc. Rương III chứa $2$ đồng tiền vàng và $1$ đồng tiền bạc. Người chơi chọn ngẫu nhiên một chiếc rương và từ rương đó (không nhìn) rút ngẫu nhiên ra $1$ đồng tiền. Sau đó chọn một trong $2$ rương còn lại, rồi rút tiếp $1$ đồng tiền. Tính xác suất để lần $2$ rút được đồng tiền vàng biết rằng lần $1$ đã rút được đồng tiền vàng.

Câu 10. Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(A)=0,3,P(B)=0,5$ và $P(A\mid B)=0,9$. Khi đó xác suất của biến cố $A\cap B$ bằng

Câu 12. Lớp 10A có $45$ học sinh trong đó có $20$ học sinh nam và $25$ học sinh nữ. Trong bài kiểm tra môn Toán cả lớp có $22$ học sinh đạt điểm giỏi (trong đó có $10$ học sinh nam và $12$ học sinh nữ). Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh từ danh sách lớp. Tính xác suất để giáo viên chọn được một học sinh đạt điểm giỏi môn Toán biết học sinh đó là học sinh nữ.

Cho $A,B$ là các biến cố thỏa mãn $\mathrm{P}(\overline{A}\cap \overline{B})=0,35$; $\mathrm{P}(A)=0,25$; $\mathrm{P}(B)=0,6$. Giá trị của $\mathrm{P}(A\mid B)$ bằng