Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Một thống kê cho thấy, ở một quốc gia X, tỉ lệ người mới bị mắc bệnh hiểm nghèo Y là $0,6\%$. Ông M đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo Y và nhận được kết quả âm tính. Biết rằng, nếu một người mắc bệnh hiểm nghèo Y thì khi xét nghiệm cho kết quả là $95\%$ dương tính; nếu một người không mắc bệnh hiểm nghèo Y thì khi xét nghiệm cho kết quả là $98\%$ âm tính. Gọi $A$ là biến cố "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo Y" và $B$ là biến cố "Xét nghiệm bệnh hiểm nghèo Y cho kết quả dương tính".

Câu 2. Trường THPT X có $800$ học sinh, trong đó có $360$ học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao. Trong số các học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao của trường có $188$ học sinh biết bơi. Trong số các học sinh của trường không tham gia câu lạc bộ thể thao có $132$ học sinh biết bơi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT X.
Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”. Gọi $B$ là biến cố: “Chọn được học sinh biết bơi”.

Câu 4. Một công ty công nghệ tổ chức một kỳ thi tuyển dụng với hai bài kiểm tra: một bài kiểm tra lập trình và một bài kiểm tra tư duy logic. Công ty nhận thấy rằng, $60\%$ ứng viên là nam, $40\%$ ứng viên là nữ. $80\%$ nam vượt qua bài kiểm tra lập trình, $70\%$ nữ vượt qua bài kiểm tra lập trình. $75\%$ nam vượt qua bài kiểm tra tư duy logic, $85\%$ nữ vượt qua bài kiểm tra tư duy logic. Giả sử các bài kiểm tra là độc lập giữa các giới tính.

Câu 3. Trước thềm trận siêu kinh điển (El Clasico) giữa Barcelona và Real Madrid, Đài truyền hình Marca thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ (biết rằng trong số những người được phỏng vấn, số người đang mặc áo thi đấu của hai đội chiếm $20\%$). Kết quả khảo sát cho thấy rằng $60\%$ người trả lời sẽ xem, $40\%$ người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, số liệu thực tế sau trận đấu cho thấy có sự sai lệch giữa câu trả lời và hành động thực:
- Trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là $90\%$.
- Trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự xem là $15\%$.

Gọi $A$ là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu".
Gọi $B$ là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ xem trận đấu".

Trong một khảo sát về sức khỏe cộng đồng tại thành phố Hà Nội. Giả sử tỉ lệ người dân của thành phố Hà Nội nghiện thuốc lá là $20\%$; Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$, trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$.
Gọi $A$ là biến cố "người nghiện thuốc lá".
Gọi $B$ là biến cố "người bị bệnh phổi".
Khi đó:

Tại trường THPT Ngô Quyền-Đông Anh có $20\%$ học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10\%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh của nhà trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Câu 2. Có $8$ con tem và $8$ bì thư, mỗi loại đều được đánh số từ $1$ đến $8$. Người ta dán ngẫu nhiên $8$ con tem lên $8$ bì thư, sao cho mỗi bì thư được dán đúng một con tem.
Gọi các biến cố $A$: “Có đúng $3$ con tem dán sai bì thư”; $B$: “Con tem số $1$ dán đúng bì thư”; $C$: “Con tem số $2$ và con tem số $3$ đều dán sai bì thư”.

Câu 3. Tại một địa phương, tỷ lệ người mắc một căn bệnh truyền nhiễm $X$ là $5\%$. Để phát hiện bệnh, người ta sử dụng một loại xét nghiệm nhanh có đặc tính sau: Nếu một người thực sự mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $90\%$. Tuy nhiên, nếu một người không mắc bệnh, vẫn có $10\%$ xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính (dương tính giả). Chọn ngẫu nhiên một người tại địa phương đó để làm xét nghiệm.

Câu 4. Cúm A (Influenza A) là bệnh nhiễm trùng đường hô hấp cấp tính do các virus cúm mùa gây nên. Virut cúm A có thể lây truyền trực tiếp trong không khí thông qua đường hô hấp. Giả sử Virut cúm A có khả năng lây nhiễm đối với người ngồi trong vòng bán kính $1,8\text{ m}$ là $80\%$ và đối với người ngồi cách hơn $1,8\text{ m}$ là $5\%$. An là một học sinh bị nhiễm cúm A nhưng bản thân không hay biết. An đi dự thi cuối kỳ. Phòng thi của An có $24$ bạn được xếp vào $24$ chỗ ngồi của một phòng thi có $4$ dãy, mỗi dãy $6$ chỗ ngồi như hình vẽ. Khoảng cách giữa hai người theo hàng ngang là $1,4\text{ m}$, theo hàng dọc là $1\text{ m}$. Do không biết trước An bị cúm A nên các thí sinh được xếp ngẫu nhiên vào phòng thi. Một bạn cùng phòng của An sau khi dự thi đi kiểm tra không thấy bị nhiễm cúm A. Xác suất để thí sinh đó ngồi gần An trong vòng $1,8\text{ m}$ là phân số tối giản có dạng $\frac{a}{b}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính tổng $S=a+2b$.

Câu 4. Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau: có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày, $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress. Trong số các bệnh nhân thường xuyên bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày. Chọn ngẫu nhiên $1$ bệnh nhân.

Câu 2. Một kho hàng có $85\%$ sản phẩm loại I và $15\%$ sản phẩm loại II, trong đó có $1\%$ sản phẩm loại I bị hỏng, $4\%$ sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên $1$ sản phẩm.
Biến cố $A$: "Khách hàng chọn được sản phẩm loại I".
Biến cố $B$: "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng".

Câu 2. Tại tỉnh X, $20\%$ dân số thường xuyên chơi thể thao. Trong số những người thường xuyên chơi thể thao, có $70\%$ người có thể lực tốt. Trong số những người không thường xuyên chơi thể thao, có $15\%$ có thể lực tốt. Chọn ngẫu nhiên một người dân tỉnh X.

Câu 1. Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có $5$ thỏ đen và $10$ thỏ trắng. Chuồng II có $7$ thỏ đen và $3$ thỏ trắng. Đầu tiên, lấy ngẫu nhiên $1$ con thỏ từ chuồng I cho sang chuồng II, sau đó từ chuồng II lấy ngẫu nhiên $2$ con thỏ.

Câu 2. Sói đồng cỏ Bắc Mỹ (coyote) là một loài động vật hoang dã phân bố chủ yếu ở Bắc Mỹ. Tại bang Oklahoma, Hoa Kỳ, $70\%$ số coyote bị mắc một căn bệnh gọi là Ehrlichiosis. Người ta thực hiện xét nghiệm giúp phát hiện căn bệnh này. Kết quả xét nghiệm có thể là dương tính hoặc âm tính. Biết rằng nếu coyote bị bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính là $97\%$; nếu coyote không bị bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả âm tính là $95\%$. Các bác sĩ thú y bắt ngẫu nhiên $1$ con coyote ở Oklahoma và tiến hành xét nghiệm cho nó.

Câu 4. Một hệ thống AI được sử dụng để tự động kiểm tra và phân loại linh kiện điện tử trong một nhà máy bằng cách "đánh dấu" các linh kiện nghi ngờ bị lỗi để loại bỏ. Qua một thời gian dài theo dõi, người ta thống kê được: trong số tất cả linh kiện đi qua hệ thống, có $20\%$ số linh kiện bị đánh dấu. Trong số các linh kiện bị đánh dấu, có $5\%$ số linh kiện thực chất là đạt chuẩn (không lỗi). Trong số các linh kiện không bị đánh dấu, có $10\%$ số linh kiện thực chất bị lỗi.
Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử đã qua kiểm tra.

Câu 6. Có 3 hộp đựng bi: hộp I có $6$ bi đỏ và $4$ bi trắng; hộp II có $4$ bi đỏ và $6$ bi trắng; hộp III có $5$ bi đỏ và $5$ bi trắng. Lấy ra ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp I và $1$ viên bi từ hộp II rồi bỏ $2$ viên bi này vào hộp III. Sau đó từ hộp III lấy ra ngẫu nhiên $2$ viên bi. Biết rằng $2$ viên bi lấy ra từ hộp III có đủ cả hai màu, xác suất để các viên bi đó là viên bi được chuyển từ hộp I và hộp II sang hộp III là $\frac{p}{q}$ với $p,q$ là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q$.

Câu 2. Virus Hanta là một loại virus gây bệnh truyền nhiễm, lây lan chủ yếu từ động vật sang người, phần lớn thông qua các loại động vật gặm nhấm (đặc biệt là chuột). Đầu tháng 5/2026, theo thông tin của Tổ chức Y tế thế giới (WHO), thế giới đã ghi nhận chùm ca mắc bệnh do virus Hanta gây ra, trong đó đã có ca tử vong.

Xét những người dân sống một khu vực X được xác nhận có chuột nhiễm virus Hanta. Xác suất để một người *tiếp xúc trực tiếp* với chuột nhiễm bệnh là $30\%$, *tiếp xúc gián tiếp* với chuột nhiễm bệnh (thông qua nước tiểu, phân, nước bọt của chuột nhiễm bệnh tại nơi chuột nhiễm bệnh làm tổ hay trú ẩn) là $70\%$. Nếu tiếp xúc trực tiếp với chuột nhiễm bệnh, xác suất để người đó nhiễm bệnh là $90\%$. Nếu tiếp xúc gián tiếp với chuột nhiễm bệnh, xác suất để người đó không nhiễm bệnh là $36\%$. Chọn ngẫu nhiên một người dân sống trong khu vực X (Lưu ý: Người nhiễm bệnh dưới đây được hiểu là nhiễm bệnh do virus Hanta gây ra).

Câu 1. Một hệ thống AI được sử dụng để kiểm tra đạo văn trong các bài viết học sinh nộp. Theo thống kê có $1\%$ bài viết là đạo văn; $99\%$ bài viết là chính chủ (không đạo văn). Phần mềm kiểm tra có độ chính xác như sau: Nếu bài viết là đạo văn, phần mềm phát hiện đúng với xác suất $98\%$; Nếu bài viết là chính chủ, phần mềm cảnh báo nhầm là đạo văn với xác suất là $3\%$.

Cho hai biến cố $A,B$ sao cho $P(A)=0,6;P(B)=0,5;P(A\mid B)=0,2$. Khi đó $P(B\mid A)$ bằng

Khi sử dụng rượu bia, dạ dày và ruột non sẽ hấp thu ethanol vào máu đi khắp cơ thể, trong đó có phổi. Đây chính là cơ sở để cảnh sát giao thông thực hiện đo nồng độ cồn trong hơi thở bằng máy đo nồng độ cồn khi nghi ngờ tài xế uống rượu bia khi lái xe. Theo con số thống kê của một tỉnh A năm 2024, có khoảng $40\%$ các vụ tai nạn giao thông nghiêm trọng là có liên quan đến người lái có nồng độ cồn cao. Giả sử tỉ lệ số người say khi lái xe là $4\%$. Hỏi việc có nồng độ cao khi lái xe làm tăng khả năng gây ra tai nạn nghiêm trọng lên bao nhiêu lần?